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首頁精彩閱讀什么是卡方分布，有什么特征？
什么是卡方分布，有什么特征？
2020-06-24
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一、卡方分布定義

卡方分布 (χ2分布)是概率論與統(tǒng)計學中常用的一種概率分布。k 個獨立的標準正態(tài)分布變量的平方和服從自由度為k 的卡方分布?？ǚ椒植汲Ｓ糜?a href='/map/jiashejianyan/' style='color:#000;font-size:inherit;'>假設檢驗和置信區(qū)間的計算。

若k 個隨機變量Z1、……、Zk 相互獨立，且數(shù)學期望為0、方差為 1(即服從標準正態(tài)分布)，則隨機變量X

X=\sum_{n=1}^k Z_n^2

被稱為服從自由度為 k 的卡方分布，記作

X\ \sim\ \chi^2(k)

二、卡方分布特征

卡方分布的概率密度函數(shù)為：

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

其中x≥0. 當x≤0時fk(x) = 0.這里Γ代表Gamma 函數(shù)。

卡方分布的累積分布函數(shù)為：

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2.x/2)}{\Gamma(k/2)}

其中γ(k,z)為不完全Gamma函數(shù)

在大多數(shù)涉及卡方分布的書中都會提供它的累積分布函數(shù)的對照表。此外許多表格計算軟件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函數(shù)。

卡方分布可以用來測試隨機變量之間是否相互獨立，也可用來檢測統(tǒng)計模型是否符合實際要求。

自由度為 k 的卡方變量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽瑪分布的一個特例，它的熵為：

H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)

其中ψ(x) 是 Digamma function。

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