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首頁(yè)精彩閱讀什么是卡方分布，有什么特征？
什么是卡方分布，有什么特征？
2020-06-24
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一、卡方分布定義

卡方分布 (χ2分布)是概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種概率分布。k 個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的平方和服從自由度為k 的卡方分布?？ǚ椒植汲Ｓ糜?a href='/map/jiashejianyan/' style='color:#000;font-size:inherit;'>假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間的計(jì)算。

若k 個(gè)隨機(jī)變量Z1、……、Zk 相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望為0、方差為 1(即服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)，則隨機(jī)變量X

X=\sum_{n=1}^k Z_n^2

被稱為服從自由度為 k 的卡方分布，記作

X\ \sim\ \chi^2(k)

二、卡方分布特征

卡方分布的概率密度函數(shù)為：

f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

其中x≥0. 當(dāng)x≤0時(shí)fk(x) = 0.這里Γ代表Gamma 函數(shù)。

卡方分布的累積分布函數(shù)為：

F_k(x)=\frac{\gamma(k/2.x/2)}{\Gamma(k/2)}

其中γ(k,z)為不完全Gamma函數(shù)

在大多數(shù)涉及卡方分布的書中都會(huì)提供它的累積分布函數(shù)的對(duì)照表。此外許多表格計(jì)算軟件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函數(shù)。

卡方分布可以用來(lái)測(cè)試隨機(jī)變量之間是否相互獨(dú)立，也可用來(lái)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)模型是否符合實(shí)際要求。

自由度為 k 的卡方變量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽瑪分布的一個(gè)特例，它的熵為：

H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)

其中ψ(x) 是 Digamma function。

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