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特征向量與特征空間有什么區(qū)別?
2020-05-21
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事物的每個屬性值,都是在一定范圍內(nèi)變化的,如:修改桌子高度一般在0.5米-1.5米范圍內(nèi)變化,寬度在0.6米-1.5米范圍內(nèi)變化,長度是1米-3米的范圍內(nèi)變化,則由這三個范圍限度的一個三維空間就是桌子的特征空間。


歸納來說,我們討論問題的特征向量可能取值范圍的全體就是特征空間。


特征向量,指對一個具體事物(樣本)往往可用其多個屬性來描述,因此,描述該事物用了多個特征,將這些特征有序地排列起來,如一個桌子用長、寬、高三種屬性的度量值有序地排列起來,就成為了一個向量,這種向量就被成為特征向量,每個屬性成為它的一個分量,或一個元素。

可見,如果把矩陣看作是運動,那么特征值就是運動的速度,特征向量就是運動的方向。

特征向量在一個矩陣的作用下作伸縮運動,伸縮的幅度由特征值確定。特征值大于1,所有屬于此特征值的特征向量變長;特征值大于0小于1,特征向量縮短;特征值小于0,特征向量縮過了界,反方向到原點那邊去了。
 
其實,特征值和特征向量在我們的生活中,也非常普遍。

(1)可以用在研究物理、化學領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動力系統(tǒng)中。例如,在力學中,慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的關(guān)鍵數(shù)據(jù);

(2)數(shù)學生態(tài)學家用來預測原始森林遭到何種程度的砍伐,會造成貓頭鷹的種群滅亡;

(3)著名的圖像處理中的PCA方法,選取特征值最高的k個特征向量來表示一個矩陣,從而達到降維分析+特征顯示的方法,還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別,數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面。

(4)在譜系圖論中,一個圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值,或者(更多的是)圖的拉普拉斯算子矩陣,Google的PageRank算法就是一個例子。

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