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特征向量和特征值存在什么樣的內(nèi)在關(guān)系？
2020-05-20
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特征向量（eigenvector），矩陣?yán)碚撋弦粋€(gè)非常重要的概念，被廣泛的應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個(gè)非簡并的向量，其方向在該變換下不變，該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

特征值也有翻譯成本征值，特征值在微分方程里描述了狀態(tài)變量的變化規(guī)律。



矩陣A當(dāng)然是一個(gè)變換，然后這個(gè)變換的特殊之處是當(dāng)它作用在特征向量u上的時(shí)候， u只發(fā)生了縮放變換，它的方向并沒有改變，并沒有旋轉(zhuǎn)。

特征向量是經(jīng)過了變換，這個(gè)向量可能會(huì) scale， 但是仍舊保持其原有的方向，與特定的特征值對(duì)應(yīng)。所以特征向量某種意義上展示了這個(gè)變換的‘特征’。

特征值是為兩個(gè)，可以是復(fù)數(shù)，特征向量也可以包含復(fù)數(shù)(其實(shí)如果我們看3d的旋轉(zhuǎn)，會(huì)更加的清楚，旋轉(zhuǎn)軸就是旋轉(zhuǎn)矩陣的特征向量。

wikipedia上一些常見的變換對(duì)應(yīng)的特征向量如下：



從這個(gè)圖當(dāng)中，我們可以得到一些結(jié)論。

scaling: 特征值雖然只有一個(gè)（當(dāng)然嚴(yán)密一點(diǎn)也可以說兩個(gè)相等），但是對(duì)應(yīng)的特征向量可以有無數(shù)個(gè)；


unequal scaling：特征值兩個(gè)，特征向量兩個(gè)；


rotation：特征值是為兩個(gè)，可以是復(fù)數(shù)，特征向量也可以包含復(fù)數(shù)(其實(shí)如果我們看3d的旋轉(zhuǎn)，會(huì)更加的清楚，旋轉(zhuǎn)軸就是旋轉(zhuǎn)矩陣的特征向量。)；


horizontal shear：特征值一個(gè)，特征向量一個(gè)。

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