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特征向量和特征值存在什么樣的內(nèi)在關(guān)系？
2020-05-20
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特征向量（eigenvector），矩陣理論上一個非常重要的概念，被廣泛的應用于各個領(lǐng)域。

數(shù)學上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非簡并的向量，其方向在該變換下不變，該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

特征值也有翻譯成本征值，特征值在微分方程里描述了狀態(tài)變量的變化規(guī)律。



矩陣A當然是一個變換，然后這個變換的特殊之處是當它作用在特征向量u上的時候， u只發(fā)生了縮放變換，它的方向并沒有改變，并沒有旋轉(zhuǎn)。

特征向量是經(jīng)過了變換，這個向量可能會 scale， 但是仍舊保持其原有的方向，與特定的特征值對應。所以特征向量某種意義上展示了這個變換的‘特征’。

特征值是為兩個，可以是復數(shù)，特征向量也可以包含復數(shù)(其實如果我們看3d的旋轉(zhuǎn)，會更加的清楚，旋轉(zhuǎn)軸就是旋轉(zhuǎn)矩陣的特征向量。

wikipedia上一些常見的變換對應的特征向量如下：



從這個圖當中，我們可以得到一些結(jié)論。

scaling: 特征值雖然只有一個（當然嚴密一點也可以說兩個相等），但是對應的特征向量可以有無數(shù)個；


unequal scaling：特征值兩個，特征向量兩個；


rotation：特征值是為兩個，可以是復數(shù)，特征向量也可以包含復數(shù)(其實如果我們看3d的旋轉(zhuǎn)，會更加的清楚，旋轉(zhuǎn)軸就是旋轉(zhuǎn)矩陣的特征向量。)；


horizontal shear：特征值一個，特征向量一個。

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