作者 | 小小挖掘機(jī)

來源 | SIGAI

主成分分析

主成分分析是一種數(shù)據(jù)降維和去除相關(guān)性的方法，它通過線性變換將向量投影到低維空間。對向量進(jìn)行投影就是對向量左乘一個矩陣，得到結(jié)果向量：

y = Wx

結(jié)果向量的維數(shù)小于原始向量的維數(shù)。降維要確保的是在低維空間中的投影能很好的近似表達(dá)原始向量，即重構(gòu)誤差最小化：

其中e為投影后空間的基向量，是標(biāo)準(zhǔn)正交基；a為重構(gòu)系數(shù)，也是投影到低維空間后的坐標(biāo)。如果定義如下的散布矩陣：

其中m和μ為所有樣本的均值向量。則上面的重構(gòu)誤差最小化等價于求解如下問題：

通過拉格朗日乘數(shù)法可以證明，使得該函數(shù)取最小值的ej為散度矩陣最大的d'個特征值對應(yīng)的單位長度特征向量。矩陣W的列ej是我們要求解的基向量，由它們構(gòu)成投影矩陣。計(jì)算時，先計(jì)算散布矩陣（或者協(xié)方差矩陣），再對該進(jìn)行進(jìn)行特征值分解，找到最大的一部分特征值和對應(yīng)的特征向量，構(gòu)成投影矩陣?？梢宰C明，協(xié)方差矩陣或散布矩陣是實(shí)對稱半正定矩陣，因此所有特征值非負(fù)。進(jìn)行降維時，先將輸入向量減掉均值向量，然后左乘投影矩陣，即可得到投影后的向量。

主成分分析一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，也是一種線性方法。

線性判別分析

線性判別分析向最大化類間差異、最小化類內(nèi)差異的方向線性投影。其基本思想是通過線性投影來最小化同類樣本間的差異，最大化不同類樣本間的差異。具體做法是尋找一個向低維空間的投影矩陣W，樣本的特征向量x經(jīng)過投影之后得到的新向量：

y = Wx

同一類樣投影后的結(jié)果向量差異盡可能小，不同類的樣本差異盡可能大。簡單的說，就是經(jīng)過這個投影之后同一類的樣本進(jìn)來聚集在一起，不同類的樣本盡可能離得遠(yuǎn)。這種最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異的做法，在機(jī)器學(xué)習(xí)的很多地方都有使用。

類內(nèi)散布矩陣定義為：

它衡量的內(nèi)類樣本的發(fā)散程度。其中mi為每個類的均值向量，m為所有樣本的均值向量。類間散布矩陣定義為：

它衡量的了各類樣本之間的差異。訓(xùn)練時的優(yōu)化目標(biāo)是類間差異與類內(nèi)差異的比值：

上面的問題帶有冗余，如果w是最優(yōu)解，將其乘以一個不為0的系數(shù)之后還是最優(yōu)解。為了消掉冗余，加上如下約束：

然后使用拉格朗日乘數(shù)法，最后歸結(jié)于求解矩陣的特征值與特征向量：

LDA是有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，在計(jì)算過程中利用了樣本標(biāo)簽值，是線性模型。LDA也不能直接用于分類和回歸問題，要對降維后的向量進(jìn)行分類還需要借助其他算法。

kNN算法

kNN算法將樣本分到離它最相似的樣本所屬的類。算法本質(zhì)上使用了模板匹配的思想。要確定一個樣本的類別，可以計(jì)算它與所有訓(xùn)練樣本的距離，然后找出和該樣本最接近的k個樣本，統(tǒng)計(jì)這些樣本的類別進(jìn)行投票，票數(shù)最多的那個類就是分類結(jié)果。

由于需要計(jì)算樣本間的距離，因此需要依賴距離定義，常用的有歐氏距離，Mahalanobis距離，Bhattacharyya距離。另外，還可以通過學(xué)習(xí)得到距離函數(shù)，這就是距離度量學(xué)習(xí)。

kNN算法是一種判別模型，即支持分類問題，也支持回歸問題，是一種非線性模型。它天然的支持多分類問題。kNN算法沒有訓(xùn)練過程，是一種基于實(shí)例的算法。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種仿生的方法，參考了動物的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。從本質(zhì)上看，它是一個多層復(fù)合函數(shù)。對于多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即權(quán)連接網(wǎng)絡(luò)，每一層實(shí)現(xiàn)的變換為：

其中W為權(quán)重矩陣，b為偏置向量，f為激活函數(shù)。正向傳播時反復(fù)用上上對每一層的輸出值進(jìn)行計(jì)算，得到最終的輸出。使用激活函數(shù)是為了保證非線性，萬能逼近定理保證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以比較閉區(qū)間上任意一個連續(xù)函數(shù)。

權(quán)重和偏置通過訓(xùn)練得到，采用的是反向傳播算法。反向傳播算法從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出，用于計(jì)算損失函數(shù)對權(quán)重，偏置的梯度值。算法從最外層的導(dǎo)數(shù)值算起，依次遞推的計(jì)算更內(nèi)層的導(dǎo)數(shù)值，這對應(yīng)于從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層算起，反向計(jì)算每個隱含層參數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。其核心是誤差項(xiàng)的定義，定義誤差項(xiàng)為損失函數(shù)對臨時變量u的梯度：

其中，nl是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)。最后一個層的誤差項(xiàng)可以直接求出，其他層的誤差項(xiàng)根據(jù)上面的遞推公式進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)誤差項(xiàng)，可以計(jì)算出損失函數(shù)對每一層權(quán)重矩陣的梯度值：

以及對偏置向量的梯度值：

然后用梯度下降法對它們的值進(jìn)行更新。參數(shù)初始化一般采用隨機(jī)數(shù)，而不是簡單的初始化為0。為了加快收斂速度，還可以使用動量項(xiàng)，它積累了之前的梯度信息。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時的損失函數(shù)不是凸函數(shù)，因此有陷入局部極值，鞍點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。另外，隨著層數(shù)的增加，會導(dǎo)致梯度消失問題，這是因?yàn)槊看斡?jì)算誤差項(xiàng)時都需要乘以激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，如果其絕對值小于1，多次連乘之后導(dǎo)致誤差項(xiàng)趨向于0，從而使得計(jì)算出來的參數(shù)梯度值接近于0，參數(shù)無法有效的更新。

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) + 梯度下降法

標(biāo)準(zhǔn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，它是一種非線性模型，它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題，并且支持多分類問題。

支持向量機(jī)

支持向量機(jī)的核心思想是最大化分類間隔。簡單的支持向量機(jī)就是讓分類間隔最大化的線性分類器，找到多維空間中的一個超平面。它在訓(xùn)練是求解的問題為：

這從點(diǎn)到超平面的距離方程導(dǎo)出，通過增加一個約束條件消掉了優(yōu)化變量的冗余。可以證明，這個問題是凸優(yōu)化問題，并且滿足Slater條件。這個問題帶有太多的不等式約束，不易求解，因此通過拉格朗日對偶轉(zhuǎn)換為對偶問題求解：

同樣的，這個問題也是凸優(yōu)化問題。此時支持向量機(jī)并不能解決非線性分類問題，通過使用核函數(shù)，將向量變換到高維空間，使它們更可能是線性可分的。而對向量先進(jìn)行映射再做內(nèi)積，等價于先做內(nèi)積再做映射，因此核函數(shù)并不用顯式的對向量進(jìn)行映射，而是對兩個向量的內(nèi)積進(jìn)行映射，這是核函數(shù)的精髓。

加入核函數(shù)K之后的對偶問題變?yōu)椋?/span>

預(yù)測函數(shù)為：

其中b通過KKT條件求出。如果使用正定核，這個問題也是凸優(yōu)化問題。求解采用了SMO算法，這是一種分治法，每次挑選出兩個變量進(jìn)行優(yōu)化，其他變量保持不動。選擇優(yōu)化變量的依據(jù)是KKT條件，對這兩個變量的優(yōu)化是一個帶等式和不等式約束的二次函數(shù)極值問題，可以直接得到公式解。另外，這個子問題同樣是一個凸優(yōu)化問題。

標(biāo)準(zhǔn)的支持向量機(jī)只能解決二分類問題。對于多分類問題，可以用這種二分類器的組合來解決，有以下幾種方案：

1對剩余方案。對于有k個類的分類問題，訓(xùn)練k個二分類器。訓(xùn)練時第i個分類器的正樣本是第i類樣本，負(fù)樣本是除第i類之外其他類型的樣本，這個分類器的作用是判斷樣本是否屬于第i類。在進(jìn)行分類時，對于待預(yù)測樣本，用每個分類器計(jì)算輸出值，取輸出值最大那個作為預(yù)測結(jié)果。

1對1方案。如果有k個類，訓(xùn)練Ck2個二分類器，即這些類兩兩組合。訓(xùn)練時將第i類作為正樣本，其他各個類依次作為負(fù)樣本，總共有k (k ? 1) / 2種組合。每個分類器的作用是判斷樣本是屬于第i類還是第j類。對樣本進(jìn)行分類時采用投票的方法，依次用每個二分類器進(jìn)行預(yù)測，如果判定為第m類，則m類的投票數(shù)加1，得票最多的那個類作為最終的判定結(jié)果。

除了通過二分類器的組合來構(gòu)造多類分類器之外，還可以通過直接優(yōu)化多類分類的目標(biāo)函數(shù)得到多分類器。

SVM是一種判別模型。它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題。標(biāo)準(zhǔn)的SVM只能支持二分類問題，使用多個分類器的組合，可以解決多分類問題。如果不使用核函數(shù)，SVM是一個線性模型，如果使用非線性核，則是非線性模型，這可以從上面的預(yù)測函數(shù)看出。

logistic回歸

logistic回歸是一種二分類算法，直接為樣本估計(jì)出它屬于正負(fù)樣本的概率。先將向量進(jìn)行線性加權(quán)，然后計(jì)算logistic函數(shù)，可以得到[0,1]之間的概率值，它表示樣本x屬于正樣本的概率：

正樣本標(biāo)簽值為1，負(fù)樣本為0。使用logistic函數(shù)的原因是它單調(diào)增，并且值域在(0, 1)之間，剛好符合概率的要求。訓(xùn)練時采用最大似然估計(jì)，求解對數(shù)似然函數(shù)的極值：

可以證明這是一個凸優(yōu)化問題，求解時可以用梯度下降法，也可以用牛頓法。如果正負(fù)樣本的標(biāo)簽為+1和-1，則可以采用另外一種寫法：

訓(xùn)練時的目標(biāo)同樣是最大化對數(shù)似然函數(shù)：

同樣的，這也是一個凸優(yōu)化問題。預(yù)測時并不需要計(jì)算logistic函數(shù)，而是直接計(jì)算：

Logistic回歸是一種二分類算法，雖然使用了概率，但它是一種判別模型！另外要注意的是，logistic回歸是一種線性模型，這從它的預(yù)測函數(shù)就可以看出。它本身不能支持多分類問題，它的擴(kuò)展版本softmax回歸可以解決多分類問題。

K均值算法

K均值算法是一種聚類算法，把樣本分配到離它最近的類中心所屬的類，類中心由屬于這個類的所有樣本確定。

k均值算法是一種無監(jiān)督的聚類算法。算法將每個樣本分配到離它最近的那個類中心所代表的類，而類中心的確定又依賴于樣本的分配方案。

在實(shí)現(xiàn)時，先隨機(jī)初始化每個類的類中心，然后計(jì)算樣本與每個類的中心的距離，將其分配到最近的那個類，然后根據(jù)這種分配方案重新計(jì)算每個類的中心。這也是一種分階段優(yōu)化的策略。

與k近鄰算法一樣，這里也依賴于樣本之間的距離，因此需要定義距離的計(jì)算方式，最常用的是歐氏距離，也可以采用其他距離定義。算法在實(shí)現(xiàn)時要考慮下面幾個問題：

1.類中心向量的初始化。一般采用隨機(jī)初始化。最簡單的是Forgy算法，它從樣本集中隨機(jī)選擇k個樣本作為初始類中心。第二種方案是隨機(jī)劃分，它將所有樣本隨機(jī)的分配給k個類中的一個，然后按照這種分配方案計(jì)算各個類的類中心向量。

2.參數(shù)k的設(shè)定。可以根據(jù)先驗(yàn)知識人工指定一個值，或者由算法自己確定。

3.迭代終止的判定規(guī)則。一般做法是計(jì)算本次迭代后的類中心和上一次迭代時的類中心之間的距離，如果小于指定閾值，則算法終止。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是對全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，它使用卷積層，池化層自動學(xué)習(xí)各個尺度上的特征。卷積運(yùn)算為：

在這里需要注意多通道卷積的實(shí)現(xiàn)，它的輸入圖像，卷積核都有多個通道，分別用各個通道的卷積核對輸入圖像的各個通道進(jìn)行卷積，然后再累加。這里也使用了激活函數(shù)，原因和全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相同。池化運(yùn)算最常見的有均值池化，max池化，分別用均值和最大值代替圖像的一塊矩形區(qū)域。使用池化的原因是為了降維，減小圖像的尺寸，另外，它還帶來了一定程度的平移和旋轉(zhuǎn)的不變性。Max池化是非線性操作，現(xiàn)在用的更多。

對于經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，包括LeNet-5網(wǎng)絡(luò)，AlexNet，VGG網(wǎng)絡(luò)，GoogLeNet，殘差網(wǎng)絡(luò)等經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新點(diǎn)，要熟記于心。

自Alex網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)之后，各種改進(jìn)的卷積網(wǎng)絡(luò)不斷被提出。這些改進(jìn)主要在以下幾個方面進(jìn)行：卷積層，池化層，激活函數(shù)，損失函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。對于這些典型的改進(jìn)，也要深刻理解。

由于引入了卷積層和池化層，因此反向傳播算法需要為這兩種層進(jìn)行考慮。卷積層誤差項(xiàng)的反向傳播的公式為：

根據(jù)誤差項(xiàng)計(jì)算卷積核梯度值的公式為：

如果采用均值池化，池化層的誤差項(xiàng)反向傳播計(jì)算公式為：

如果使用max池化，則為：

注意，池化層沒有需要訓(xùn)練得到的參數(shù)。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有遷移學(xué)習(xí)的能力，我們可以把這個網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)作為訓(xùn)練的初始值，在新的任務(wù)上繼續(xù)訓(xùn)練，這種做法稱為fine-tune，即網(wǎng)絡(luò)微調(diào)。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和應(yīng)用結(jié)果證明，這種微調(diào)是有效的。這說明卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在一定程度上具有遷移學(xué)習(xí)的能力，卷積層學(xué)習(xí)到的特征具有通用性。VGG網(wǎng)絡(luò)在ImageNet數(shù)據(jù)集上的訓(xùn)練結(jié)果在進(jìn)行微調(diào)之后，被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)檢測、圖像分割等任務(wù)。

和全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個判別模型，它既可以用于分類問題，也可以用用于回歸問題，并且支持多分類問題。

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有記憶功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，每次計(jì)算時，利用了上一個時刻的記憶值，特別適合序列數(shù)據(jù)分析。網(wǎng)絡(luò)接受的是一個序列數(shù)據(jù)，即一組向量，依次把它們輸入網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算每個時刻的輸出值。記憶功能通過循環(huán)神層實(shí)現(xiàn)：

它同時利用了本時刻的輸入值和上一個時刻的記憶值。輸出層的變換為：

這和普通神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒什么區(qū)別。由于引入了循環(huán)層，因此反向傳播算法有所不同，稱為BPTT，即時間軸上的反向傳播算法。算法從最后一個時刻算起，沿著時間軸往前推。誤差項(xiàng)的遞推公式為：

遞推的終點(diǎn)為最后一個時刻。

根據(jù)誤差項(xiàng)計(jì)算對權(quán)重和偏置的梯度值的公式為：

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣存在梯度消失問題，因此出現(xiàn)了LSTM，GRU等結(jié)構(gòu)。

以循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為基礎(chǔ)，構(gòu)造出了兩類通用的框架，分別是連接主義時序分類（CTC），以及序列到序列學(xué)習(xí)（seq2seq）。用于解決語音識別，自然語言處理中的問題。其中，seq2seq采用了編碼器-解碼器結(jié)構(gòu)，用兩個循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合起來完成計(jì)算，一個充當(dāng)編碼器，一個充當(dāng)解碼器。

和其他類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個判別模型，既支持分類問題，也支持回歸問題，并且支持多分類問題。

高斯混合模型

高斯混合模型通過多個正態(tài)分布的加權(quán)和來描述一個隨機(jī)變量的概率分布，概率密度函數(shù)定義為：

其中x為隨機(jī)向量，k為高斯分布的個數(shù)，wi為權(quán)重，μ為高斯分布的均值向量，∑為協(xié)方差矩陣。所有權(quán)重之和為1，即：

任意一個樣本可以看作是先從k個高斯分布中選擇出一個，選擇第i個高斯分布的概率為wi，再由第i個高斯分布

產(chǎn)生出這個樣本數(shù)據(jù)x。高斯混合模型可以逼近任何一個連續(xù)的概率分布，因此它可以看做是連續(xù)性概率分布的萬能逼近器。之所有要保證權(quán)重的和為1，是因?yàn)楦怕拭芏群瘮?shù)必須滿足在

內(nèi)的積分值為1。

指定高斯分布的個數(shù)，給定一組訓(xùn)練樣本，可以通過期望最大化EM算法確定高斯混合模型的參數(shù)。每次迭代時，在E步計(jì)算期望值，在M步最大化期望值，如此循環(huán)交替。

EM算法

EM算法是一種迭代法，其目標(biāo)是求解似然函數(shù)或后驗(yàn)概率的極值，而樣本中具有無法觀測的隱含變量。因?yàn)殡[變量的存在，我們無法直接通過最大化似然函數(shù)來確定參數(shù)的值?？梢圆捎靡环N策略，構(gòu)造出對數(shù)似然函數(shù)的一個下界函數(shù)，這個函數(shù)不含有隱變量，然后優(yōu)化這個下界。不斷的提高這個下界，使原問題達(dá)到最優(yōu)解，這就是EM算法所采用的思路。算法的構(gòu)造依賴于Jensen不等式。

算法在實(shí)現(xiàn)時首先隨機(jī)初始化參數(shù)θ的值，接下來循環(huán)迭代，每次迭代時分為兩步：

E步，基于當(dāng)前的參數(shù)估計(jì)值

，計(jì)算在給定x時對z的條件概率的數(shù)學(xué)期望：

M步，求解如下極值問題，更新θ的值：

實(shí)現(xiàn)Qi 時可以按照下面的公式計(jì)算：

迭代終止的判定規(guī)則是相鄰兩次函數(shù)值之差小于指定閾值。需要注意的是，EM算法只能保證收斂到局部極小值。