作者 | By Luciano Strika

來源 | CDA數(shù)據(jù)分析研究院

5 Probability Distributions Every Data Scientist Should Know

概率分布就像3D眼鏡。它們?cè)试S熟練的數(shù)據(jù)科學(xué)家識(shí)別其他完全隨機(jī)變量的模式。在某種程度上，大多數(shù)其他數(shù)據(jù)科學(xué)或機(jī)器學(xué)習(xí)技能都基于對(duì)數(shù)據(jù)概率分布的某些假設(shè)。這使得概率知識(shí)成為統(tǒng)計(jì)學(xué)家構(gòu)建工具箱的基礎(chǔ)。如果您正在尋找如何成為數(shù)據(jù)科學(xué)家的第一步。不用多說，讓我們切入正題。

什么是概率分布？

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)值的東西，比如“我看到的下一個(gè)人的身高”。給定一個(gè)隨機(jī)變量X，我們想要一種描述它的值的方法。更重要的是，我們想要描述該變量獲取特定值x的可能性。

例如，如果X是“我的女朋友有多少只貓”，那么這個(gè)數(shù)字可能是1的非零概率。有人可能會(huì)認(rèn)為這個(gè)值甚至可能是5或10的非零概率。然而，沒有辦法（因此沒有可能）一個(gè)人會(huì)有負(fù)數(shù)的貓。因此，我們想要一種明確的數(shù)學(xué)方法來表達(dá)變量X可以采用的每個(gè)可能值x，以及事件（X = x）的可能性。

為了做到這一點(diǎn)，我們定義函數(shù)P，使得P（X = x）是變量X具有值x的概率。對(duì)于間隔而不是離散值，我們也可以要求P（X <x）或P（X> x）。這將很快變得更加重要。P是變量的密度函數(shù)，它表征變量的分布。

隨著時(shí)間的推移，科學(xué)家們開始意識(shí)到自然界中的許多事物，現(xiàn)實(shí)生活往往表現(xiàn)相似，變量共享一個(gè)分布，或具有相同的密度函數(shù)（或類似的函數(shù)改變其中的一些常數(shù)）。

有趣的是，對(duì)于P是一個(gè)實(shí)際的密度函數(shù)，有些事情必須適用。

?對(duì)于任何值 x,P（X = x）<= 1。是再確定不過的事情了。

?對(duì)于任何值 x，P（X = x）> = 0。也沒有什么疑義。

?和最后一個(gè)：所述之和的P（X = x）的所有可能的值X為1。

最后一個(gè)意味著“X在宇宙中取任何價(jià)值的概率,必須加起來為1。 ##離散與連續(xù)隨機(jī)變量分布 最后，隨機(jī)變量可以被認(rèn)為屬于兩組：離散和連續(xù)隨機(jī)變量。

離散隨機(jī)變量

離散變量具有一組離散的可能值，每個(gè)值都具有非零概率。 例如，如果我們說，當(dāng)翻轉(zhuǎn)硬幣時(shí)X =“1表示花色，0表示數(shù)字” 然后P（X = 1）= P（X = 0）= 0.5。 但是請(qǐng)注意，離散集合不必是有限的。 被用于建模的一些事件的概率的幾率p之后發(fā)生k的概率。 它具有以下密度公式。 P(X=k)=p(1-p)^k 0<=p<=1 其中k可以采用具有正概率的任何非負(fù)值。 注意所有可能值的概率之和如何仍然加起來為1。

連續(xù)隨機(jī)變量

如果你說X =“從我頭上隨機(jī)拔毛的長度（以毫米為單位）”X可以采用哪些可能的值？我們可能都認(rèn)為負(fù)值在這里沒有任何意義。但是，如果你說它只是1毫米，而不是1.1853759 ......或類似的東西，我會(huì)懷疑你的測量技巧，或你的測量錯(cuò)誤報(bào)告。連續(xù)隨機(jī)變量可以在給定（連續(xù)）間隔中取任何值。因此，如果我們?yōu)槠渌锌赡苤捣峙淞朔橇愀怕剩瑒t它們的總和不會(huì)加起來為1。

為了解決這個(gè)問題，如果X是連續(xù)的，我們?yōu)樗衚設(shè)置 P（X = x）= 0，而是為X賦予一個(gè)非零的機(jī)會(huì)獲取某個(gè)間隔的值。為了表示在值a和b之間放置X的概率，我們說P（a <X <b）。而不是僅僅在一個(gè)密度函數(shù)替換值，得到P（A <X <B）為X連續(xù)變量，你會(huì)集成 X的密度函數(shù)a到b。

哇，你已經(jīng)完成了整個(gè)理論部分！現(xiàn)在您已經(jīng)知道了概率分布是什么，讓我們了解一些最常見的分布！

伯努利概率分布

具有伯努利分布的隨機(jī)變量是最簡單的。它代表一個(gè)二進(jìn)制事件：“這件事發(fā)生” VS“這種情況沒有發(fā)生”，并采取了值 p作為其唯一的參數(shù)，它代表的概率是會(huì)發(fā)生的事件。具有參數(shù)p的伯努利分布的隨機(jī)變量B將具有以下密度函數(shù)：

P（B = 1）= p，P（B = 0）=（1-p）

這里B = 1表示事件發(fā)生，B = 0表示事件沒發(fā)生。注意兩個(gè)概率如何加起來為1，因此B的不可能會(huì)是其他值。

統(tǒng)一概率分布

有兩種均勻隨機(jī)變量：離散變量和連續(xù)變量。

離散均勻分布 將采取(有限的)值的集合s，為每個(gè)值分配1 / n的概率，其中n是S中元素的數(shù)量。這樣，如果我的變量 Y 在{1,2,3}中是均勻的，則每個(gè)值出現(xiàn)的概率為33％。

在骰子中可以找到離散均勻隨機(jī)變量的典型情況，其中典型的骰子具有一組值{1,2,3,4,5,6}。連續(xù)均勻分布，只取兩個(gè)值a和b作為參數(shù)，并為它們之間的間隔中的每個(gè)值分配相同的密度。 這意味著Y 在一個(gè)區(qū)間(從 c 到 d) 取值的概率與相對(duì)于整個(gè)區(qū)間（ba）的大小成比例。 因此，如果 Y 在a 和 b之間均勻分布，那么這樣，如果Y 是1和2之間的均勻隨機(jī)變量， P（1 <X <2）= 1 且 P（1 <X <1.5）= 0.5

Python的 random 包的 random 方法在0和1之間采樣均勻分布的連續(xù)變量。 有趣的是，可以證明， 在給定均勻隨機(jī)值生成器和一些微積分的情況下，可以對(duì) 任何其他分布進(jìn)行采樣 。

正態(tài)概率分布

通常分布的變量 在自然界中很常見，它們實(shí)際上是標(biāo)注規(guī)格。這實(shí)際上就是這個(gè)名字的來源。 如果你把所有的同事都圍起來并測量他們的身高，或者對(duì)測量體重并用結(jié)果繪制直方圖，則可能會(huì)接近正態(tài)分布。 當(dāng)我向您展示探索性數(shù)據(jù)分析示例時(shí)，我實(shí)際上看到了這種效果。

還可以證明，如果您采用任意隨機(jī)變量的樣本并對(duì)這些度量進(jìn)行平均，并多次重復(fù)該過程，則該平均值也將具有正態(tài)分布。這個(gè)事實(shí)非常重要，它被稱為統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本定理。 通常分布的變量：

? 是對(duì)稱的，以均值為中心（通常稱為 μ）。

? 可以在真實(shí)空間中獲取所有值，但僅在5％的時(shí)間內(nèi)偏離規(guī)范的兩個(gè)sigmas。

? 幾乎無處不在。

大多數(shù)情況下，如果你測量任何經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)并且它是對(duì)稱的，假設(shè)它是正常的將有點(diǎn)工作。

例如，滾動(dòng) K 骰子并將結(jié)果相加將分配非常正常。

對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布

對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布是正常概率分布的不常見的姐妹。 如果變量 Y = log（X） 遵循正態(tài)分布， 則稱變量X是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。 當(dāng)在直方圖中繪制時(shí)，對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布是不對(duì)稱的，并且如果它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差更大則變得更加如此。 我認(rèn)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布值得一提，因?yàn)榇蠖鄶?shù)基于貨幣的變量都是這樣的。

如果你看一下與錢有關(guān)的任何變量的概率分布，比如

? 在某個(gè)銀行的最新轉(zhuǎn)賬上發(fā)送的金額。

? 華爾街最新交易量。

? 一組公司在特定季度的季度收益。

它們通常沒有正態(tài)的概率分布，但會(huì)更接近對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量。

指數(shù)概率分布

指數(shù)概率分布也隨處可見。它們與稱為泊松過程的概率概念密切相關(guān) 。 直接從維基百科竊取，泊松過程是“ 事件以恒定的平均速率連續(xù)且獨(dú)立地發(fā)生的過程 ”。 所有這些意味著，如果：

? 你有很多活動(dòng)。

? 它們以一定的速率發(fā)生（不隨時(shí)間變化）。

? 僅僅因?yàn)橐粋€(gè)發(fā)生了另一個(gè)發(fā)生的機(jī)會(huì)不改變。

然后你有一個(gè)泊松過程。

一些例子可能是來到服務(wù)器的請(qǐng)求，在超市中發(fā)生的交易，或在某個(gè)湖中捕魚的鳥類。想象一下頻率為λ的泊松過程（比如，事件每秒發(fā)生一次）。指數(shù)隨機(jī)變量模擬事件發(fā)生后下一個(gè)事件發(fā)生所需的時(shí)間。有趣的是，在泊松過程中 ，事件可以在任何時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生在0到無窮大之間（降低概率）的任何地方。

這意味著無論您等待多久，事件都不會(huì)發(fā)生非零事件。這也意味著它可能在很短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生很多次。 在課堂上，我們常常開玩笑的是巴士到達(dá)泊松過程。我認(rèn)為將WhatsApp消息發(fā)送給某些人時(shí)的響應(yīng)時(shí)間也符合標(biāo)準(zhǔn)。 但是，λ參數(shù)調(diào)節(jié)事件的頻率。它將使事件實(shí)際發(fā)生的預(yù)期時(shí)間以某個(gè)值為中心。這意味著如果我們知道出租車每隔15分鐘通過我們的街區(qū)，即使理論上我們可以永遠(yuǎn)等待它，我們也很可能不會(huì)等待30分鐘。

數(shù)據(jù)科學(xué)中的指數(shù)概率分布

這是指數(shù)分布隨機(jī)變量的密度函數(shù)：

假設(shè)您有一個(gè)來自變量的樣本，并希望查看它是否可以使用指數(shù)分布變量建模。 最佳λ參數(shù)可以很容易地估計(jì)為采樣值平均值的倒數(shù)。指數(shù)變量非常適合用非常罕見但巨大（和平均值）的異常值對(duì)任何概率分布進(jìn)行建模。這是因?yàn)樗鼈兛梢匀∪魏畏秦?fù)值但以較小值為中心，隨著值的增加頻率降低。 在特別是異常繁重的樣本中，您可能希望將λ估計(jì)為中位數(shù)而不是平均值，因?yàn)橹形粩?shù)對(duì)異常值更為穩(wěn)健。

結(jié)論

總而言之，作為數(shù)據(jù)科學(xué)家，我認(rèn)為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)我們很重要。 概率和統(tǒng)計(jì)可能不像深度學(xué)習(xí)或無監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)那樣華麗，但它們是數(shù)據(jù)科學(xué)的基石。特別是機(jī)器學(xué)習(xí)。 根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，提供具有功能的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，而不知道他們遵循哪種分布，這是一個(gè)糟糕的選擇。 記住無處不在的指數(shù)和正態(tài)概率分布以及它們較小的對(duì)應(yīng)物，對(duì)數(shù)正態(tài)分布也是很好的 。 在訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型時(shí)，了解它們的屬性，用途和外觀會(huì) 改變游戲規(guī)則。在進(jìn)行任何類型的數(shù)據(jù)分析時(shí)，記住它們通常也很好。