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對反向傳播算法（Back-Propagation）的推導與一點理解
2018-08-27
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對反向傳播算法（Back-Propagation）的推導與一點理解

本文在推導過程中忽略了偏置的存在，這樣做是為了更簡單明晰的闡述BP算法的操作過程，并不是說偏置不重要，希望不會引起誤會。

我們知道，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大多采取正向傳播預測，反向傳播誤差的結(jié)構(gòu)。反向傳播算法是運用在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進行網(wǎng)絡(luò)權(quán)重等最優(yōu)值計算算法，其核心就是梯度下降 + 鏈式法則求偏導，下面就對反向傳播算法進行一下簡單的推導：

在下面的推導過程中，表示連接前一層神經(jīng)元 和后一層神經(jīng)元 的權(quán)值。

對于輸出層神經(jīng)元 ，它的輸入 按下式進行計算(忽略偏置):

可以看到它的輸入等于前一層所有神經(jīng)元的輸出和對應連接的加權(quán)和, 如上圖，而的輸出按下式計算:

對于有監(jiān)督訓練, 期望輸出即樣本類標簽d和實際輸出y都是已知的, 可以定義誤差或者loss function為:

        前期的準備工作已經(jīng)完成了，下面開始正式的推導過程：
     


這樣，我們就可以根據(jù)最后求出的誤差來對權(quán)重進行更新，這種誤差反向傳遞的方式就是反向傳播算法的精髓所在。

處理完輸出層神經(jīng)元，我們再來看一下輸出層之前的一層神經(jīng)元的權(quán)值更新，我們定義表示連接前一層神經(jīng)元和后一層神經(jīng)元的權(quán)值。

相信大家已經(jīng)看出誤差反向傳導的內(nèi)涵了，每一層所產(chǎn)生的誤差會逐漸向之前的層次傳播，而各層的權(quán)重根據(jù)梯度下降算法不斷地優(yōu)化。總之，反向傳播算法的核心就是梯度下降 + 鏈式法則求偏導，雖然看起來很繁瑣并且計算復雜度有點高，但是實際上BP算法的精確性和易用性是很難被其他算法替代的，這也是現(xiàn)在比如CNN等很火的深度學習算法普遍采用BP算法的原因。


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