機器學習中的損失函數(shù)

損失函數(shù)（loss function）是用來估量你模型的預測值f(x)與真實值Y的不一致程度，它是一個非負實值函數(shù),通常使用L(Y, f(x))來表示，損失函數(shù)越小，模型的魯棒性就越好。損失函數(shù)是經(jīng)驗風險函數(shù)的核心部分，也是結構風險函數(shù)重要組成部分。模型的結構風險函數(shù)包括了經(jīng)驗風險項和正則項，通常可以表示成如下式子：

其中，前面的均值函數(shù)表示的是經(jīng)驗風險函數(shù)，L代表的是損失函數(shù)，后面的是正則化項（regularizer）或者叫懲罰項（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正則函數(shù)。整個式子表示的意思是找到使目標函數(shù)最小時的值。下面主要列出幾種常見的損失函數(shù)。

一、log對數(shù)損失函數(shù)（邏輯回歸）

有些人可能覺得邏輯回歸的損失函數(shù)就是平方損失，其實并不是。平方損失函數(shù)可以通過線性回歸在假設樣本是高斯分布的條件下推導得到，而邏輯回歸得到的并不是平方損失。在邏輯回歸的推導中，它假設樣本服從伯努利分布（0-1分布），然后求得滿足該分布的似然函數(shù)，接著取對數(shù)求極值等等。而邏輯回歸并沒有求似然函數(shù)的極值，而是把極大化當做是一種思想，進而推導出它的經(jīng)驗風險函數(shù)為：最小化負的似然函數(shù)（即max F(y, f(x)) —-> min -F(y, f(x)))。從損失函數(shù)的視角來看，它就成了log損失函數(shù)了。

log損失函數(shù)的標準形式：

剛剛說到，取對數(shù)是為了方便計算極大似然估計，因為在MLE中，直接求導比較困難，所以通常都是先取對數(shù)再求導找極值點。損失函數(shù)L(Y, P(Y|X))表達的是樣本X在分類Y的情況下，使概率P(Y|X)達到最大值（換言之，就是利用已知的樣本分布，找到最有可能（即最大概率）導致這種分布的參數(shù)值；或者說什么樣的參數(shù)才能使我們觀測到目前這組數(shù)據(jù)的概率最大）。因為log函數(shù)是單調遞增的，所以logP(Y|X)也會達到最大值，因此在前面加上負號之后，最大化P(Y|X)就等價于最小化L了。
邏輯回歸的P(Y=y|x)表達式如下：

將它帶入到上式，通過推導可以得到logistic的損失函數(shù)表達式，如下：

邏輯回歸最后得到的目標式子如下：

如果是二分類的話，則m值等于2，如果是多分類，m就是相應的類別總個數(shù)。這里需要解釋一下：之所以有人認為邏輯回歸是平方損失，是因為在使用梯度下降來求最優(yōu)解的時候，它的迭代式子與平方損失求導后的式子非常相似，從而給人一種直觀上的錯覺。

這里有個PDF可以參考一下：Lecture 6: logistic regression.pdf.

二、平方損失函數(shù)（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）

最小二乘法是線性回歸的一種，OLS將問題轉化成了一個凸優(yōu)化問題。在線性回歸中，它假設樣本和噪聲都服從高斯分布（為什么假設成高斯分布呢？其實這里隱藏了一個小知識點，就是中心極限定理，可以參考【central limit theorem】），最后通過極大似然估計（MLE）可以推導出最小二乘式子。最小二乘的基本原則是：最優(yōu)擬合直線應該是使各點到回歸直線的距離和最小的直線，即平方和最小。換言之，OLS是基于距離的，而這個距離就是我們用的最多的歐幾里得距離。為什么它會選擇使用歐式距離作為誤差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下幾個原因：

簡單，計算方便；

歐氏距離是一種很好的相似性度量標準；

在不同的表示域變換后特征性質不變。

平方損失（Square loss）的標準形式如下：

(Y,f(X))=(Y?f(X))2L(Y,f(X))=(Y?f(X))2

當樣本個數(shù)為n時，此時的損失函數(shù)變?yōu)椋?br />
Y-f(X)表示的是殘差，整個式子表示的是殘差的平方和，而我們的目的就是最小化這個目標函數(shù)值（注：該式子未加入正則項），也就是最小化殘差的平方和（residual sum of squares，RSS）。

而在實際應用中，通常會使用均方差（MSE）作為一項衡量指標，公式如下：

上面提到了線性回歸，這里額外補充一句，我們通常說的線性有兩種情況，一種是因變量y是自變量x的線性函數(shù)，一種是因變量y是參數(shù)的線性函數(shù)。在機器學習中，通常指的都是后一種情況。

三、指數(shù)損失函數(shù)（Adaboost）

學過Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一個加和模型，損失函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)。在Adaboost中，經(jīng)過m此迭代之后，可以得到:

Adaboost每次迭代時的目的是為了找到最小化下列式子時的參數(shù) 和G：

而指數(shù)損失函數(shù)(exp-loss）的標準形式如下

可以看出，Adaboost的目標式子就是指數(shù)損失，在給定n個樣本的情況下，Adaboost的損失函數(shù)為：

關于Adaboost的推導，可以參考Wikipedia：AdaBoost或者《統(tǒng)計學習方法》P145.

四、Hinge損失函數(shù)（SVM）

在機器學習算法中，hinge損失函數(shù)和SVM是息息相關的。在線性支持向量機中，最優(yōu)化問題可以等價于下列式子：

下面來對式子做個變形，令：

于是，原式就變成了：

如若取，式子就可以表示成：

可以看出，該式子與下式非常相似：

前半部分中的就是hinge損失函數(shù)，而后面相當于L2正則項。

Hinge 損失函數(shù)的標準形式

可以看出，當|y|>=1時，L(y)=0。

更多內容，參考Hinge-loss。

補充一下：在libsvm中一共有4中核函數(shù)可以選擇，對應的是-t參數(shù)分別是：

0-線性核；

1-多項式核；

2-RBF核；

3-sigmoid核。

五、其它損失函數(shù)

除了以上這幾種損失函數(shù)，常用的還有：

0-1損失函數(shù)

絕對值損失函數(shù)

下面來看看幾種損失函數(shù)的可視化圖像，對著圖看看橫坐標，看看縱坐標，再看看每條線都表示什么損失函數(shù)，多看幾次好好消化消化。

OK，暫時先寫到這里，休息下。最后，需要記住的是：參數(shù)越多，模型越復雜，而越復雜的模型越容易過擬合。過擬合就是說模型在訓練數(shù)據(jù)上的效果遠遠好于在測試集上的性能。此時可以考慮正則化，通過設置正則項前面的hyper parameter，來權衡損失函數(shù)和正則項，減小參數(shù)規(guī)模，達到模型簡化的目的，從而使模型具有更好的泛化能力。