神經(jīng)網(wǎng)絡從原理到實現(xiàn)

1.簡單介紹
    在機器學習和認知科學領域，人工神經(jīng)網(wǎng)絡（artificial neural network，縮寫ANN），簡稱神經(jīng)網(wǎng)絡（neural network，縮寫NN）或類神經(jīng)網(wǎng)絡，是一種模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡(動物的中樞神經(jīng)系統(tǒng)，特別是大腦)的結(jié)構(gòu)和功能的數(shù)學模型或計算模型，用于對函數(shù)進行估計或近似。神經(jīng)網(wǎng)絡由大量的人工神經(jīng)元聯(lián)結(jié)進行計算。大多數(shù)情況下人工神經(jīng)網(wǎng)絡能在外界信息的基礎上改變內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是一種自適應系統(tǒng)。現(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡是一種非線性統(tǒng)計性數(shù)據(jù)建模工具。典型的神經(jīng)網(wǎng)絡具有以下三個部分：
    結(jié)構(gòu) （Architecture）結(jié)構(gòu)指定了網(wǎng)絡中的變量和它們的拓撲關(guān)系。例如，神經(jīng)網(wǎng)絡中的變量可以是神經(jīng)元連接的權(quán)重（weights）和神經(jīng)元的激勵值（activities of the neurons）。
    激勵函數(shù)（Activity Rule）大部分神經(jīng)網(wǎng)絡模型具有一個短時間尺度的動力學規(guī)則，來定義神經(jīng)元如何根據(jù)其他神經(jīng)元的活動來改變自己的激勵值。一般激勵函數(shù)依賴于網(wǎng)絡中的權(quán)重（即該網(wǎng)絡的參數(shù)）。
    學習規(guī)則（Learning Rule）學習規(guī)則指定了網(wǎng)絡中的權(quán)重如何隨著時間推進而調(diào)整。這一般被看做是一種長時間尺度的動力學規(guī)則。一般情況下，學習規(guī)則依賴于神經(jīng)元的激勵值。它也可能依賴于監(jiān)督者提供的目標值和當前權(quán)重的值。
2.初識神經(jīng)網(wǎng)絡

如上文所說，神經(jīng)網(wǎng)絡主要包括三個部分：結(jié)構(gòu)、激勵函數(shù)、學習規(guī)則。圖1是一個三層的神經(jīng)網(wǎng)絡，輸入層有d個節(jié)點，隱層有q個節(jié)點，輸出層有l(wèi)個節(jié)點。除了輸入層，每一層的節(jié)點都包含一個非線性變換。

圖1

那么為什么要進行非線性變換呢？

（1）如果只進行線性變換，那么即使是多層的神經(jīng)網(wǎng)絡，依然只有一層的效果。類似于0.6*(0.2x1+0.3x2)=0.12x1+0.18x2。
（2）進行非線性變化，可以使得神經(jīng)網(wǎng)絡可以擬合任意一個函數(shù),圖2是一個四層網(wǎng)絡的圖。

圖2

下面使用數(shù)學公式描述每一個神經(jīng)元工作的方式

（1）輸出x
（2）計算z=w*x
（3）輸出new_x = f(z)，這里的f是一個函數(shù)，可以是sigmoid、tanh、relu等，f就是上文所說到的激勵函數(shù)。

3.反向傳播(bp)算法

有了上面的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和激勵函數(shù)之后，這個網(wǎng)絡是如何學習參數(shù)（學習規(guī)則）的呢？

首先我們先定義下本文使用的激活函數(shù)、目標函數(shù)

（1）激活函數(shù)（sigmoid）：

def sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))
sigmoid函數(shù)有一個十分重要的性質(zhì)：，即計算導數(shù)十分方便。

def sigmoid_prime(z):
    return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

下面給出一個簡單的證明：

（2）目標函數(shù)（差的平方和），公式中的1/2是為了計算導數(shù)方便。

然后，這個網(wǎng)絡是如何運作的

（1）數(shù)據(jù)從輸入層到輸出層，經(jīng)過各種非線性變換的過程即前向傳播。

def feedforward(self, a):
    for b, w in zip(self.biases, self.weights):
        a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
    return a
其中，初始的權(quán)重（w）和偏置（b）是隨機賦值的

biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
weights = [np.random.randn(y, x) for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]
（2）參數(shù)更新，即反向傳播

在寫代碼之前，先進行推導，即利用梯度下降更新參數(shù)，以上面的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)（圖1）為例

（1）輸出層與隱層之間的參數(shù)更新

（2）隱層與輸入層之間的參數(shù)更新

有兩點需要強調(diào)下：

1. （2）中的結(jié)果比（1）中的結(jié)果多了一個求和公式，這是因為計算隱層與輸入層之間的參數(shù)時，輸出層與隱層的每一個節(jié)點都有影響。
2. （2）中參數(shù)更新的結(jié)果可以復用（1）中的參數(shù)更新結(jié)果，從某種程度上，與反向傳播這個算法名稱不謀而合，不得不驚嘆。

def backprop(self, x, y):
    """返回一個元組(nabla_b, nabla_w)代表目標函數(shù)的梯度."""
    nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
    nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
    # feedforward
    activation = x
    activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
    zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
    for b, w in zip(self.biases, self.weights):
        z = np.dot(w, activation)+b
        zs.append(z)
        activation = sigmoid(z)
        activations.append(activation)
    # backward pass
    delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * \
        sigmoid_prime(zs[-1])
    nabla_b[-1] = delta
    nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
    """l = 1 表示最后一層神經(jīng)元，l = 2 是倒數(shù)第二層神經(jīng)元, 依此類推."""
    for l in xrange(2, self.num_layers):
        z = zs[-l]
        sp = sigmoid_prime(z)
        delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
        nabla_b[-l] = delta
        nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
    return (nabla_b, nabla_w)
4.完整代碼實現(xiàn)

# -*- coding: utf-8 -*-

import random
import numpy as np

class Network(object):

    def __init__(self, sizes):
    """參數(shù)sizes表示每一層神經(jīng)元的個數(shù)，如[2,3,1],表示第一層有2個神經(jīng)元，第二層有3個神經(jīng)元，第三層有1個神經(jīng)元."""
        self.num_layers = len(sizes)
        self.sizes = sizes
        self.biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]]
        self.weights = [np.random.randn(y, x)
                        for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

    def feedforward(self, a):
        """前向傳播"""
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            a = sigmoid(np.dot(w, a)+b)
        return a

    def SGD(self, training_data, epochs, mini_batch_size, eta,
            test_data=None):
        """隨機梯度下降"""
        if test_data:
            n_test = len(test_data)
        n = len(training_data)
        for j in xrange(epochs):
            random.shuffle(training_data)
            mini_batches = [
                training_data[k:k+mini_batch_size]
                for k in xrange(0, n, mini_batch_size)]
            for mini_batch in mini_batches:
                self.update_mini_batch(mini_batch, eta)
            if test_data:
                print "Epoch {0}: {1} / {2}".format(j, self.evaluate(test_data), n_test)
            else:
                print "Epoch {0} complete".format(j)

    def update_mini_batch(self, mini_batch, eta):
        """使用后向傳播算法進行參數(shù)更新.mini_batch是一個元組(x, y)的列表、eta是學習速率"""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        for x, y in mini_batch:
            delta_nabla_b, delta_nabla_w = self.backprop(x, y)
            nabla_b = [nb+dnb for nb, dnb in zip(nabla_b, delta_nabla_b)]
            nabla_w = [nw+dnw for nw, dnw in zip(nabla_w, delta_nabla_w)]
        self.weights = [w-(eta/len(mini_batch))*nw
                        for w, nw in zip(self.weights, nabla_w)]
        self.biases = [b-(eta/len(mini_batch))*nb
                       for b, nb in zip(self.biases, nabla_b)]

    def backprop(self, x, y):
        """返回一個元組(nabla_b, nabla_w)代表目標函數(shù)的梯度."""
        nabla_b = [np.zeros(b.shape) for b in self.biases]
        nabla_w = [np.zeros(w.shape) for w in self.weights]
        # 前向傳播
        activation = x
        activations = [x] # list to store all the activations, layer by layer
        zs = [] # list to store all the z vectors, layer by layer
        for b, w in zip(self.biases, self.weights):
            z = np.dot(w, activation)+b
            zs.append(z)
            activation = sigmoid(z)
            activations.append(activation)
        # backward pass
        delta = self.cost_derivative(activations[-1], y) * sigmoid_prime(zs[-1])
        nabla_b[-1] = delta
        nabla_w[-1] = np.dot(delta, activations[-2].transpose())
        """l = 1 表示最后一層神經(jīng)元，l = 2 是倒數(shù)第二層神經(jīng)元, 依此類推."""
        for l in xrange(2, self.num_layers):
            z = zs[-l]
            sp = sigmoid_prime(z)
            delta = np.dot(self.weights[-l+1].transpose(), delta) * sp
            nabla_b[-l] = delta
            nabla_w[-l] = np.dot(delta, activations[-l-1].transpose())
        return (nabla_b, nabla_w)

    def evaluate(self, test_data):
        """返回分類正確的個數(shù)"""
        test_results = [(np.argmax(self.feedforward(x)), y) for (x, y) in test_data]
        return sum(int(x == y) for (x, y) in test_results)

    def cost_derivative(self, output_activations, y):
        return (output_activations-y)

def sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))
5.簡單應用

# -*- coding: utf-8 -*-

from network import *

def vectorized_result(j,nclass):
    """離散數(shù)據(jù)進行one-hot"""
    e = np.zeros((nclass, 1))
    e[j] = 1.0
    return e

def get_format_data(X,y,isTest):
    ndim = X.shape[1]
    nclass = len(np.unique(y))
    inputs = [np.reshape(x, (ndim, 1)) for x in X]
    if not isTest:
        results = [vectorized_result(y,nclass) for y in y]
    else:
        results = y
    data = zip(inputs, results)
    return data

#隨機生成數(shù)據(jù)
from sklearn.datasets import *
np.random.seed(0)
X, y = make_moons(200, noise=0.20)
ndim = X.shape[1]
nclass = len(np.unique(y))

#劃分訓練、測試集
from sklearn.cross_validation import train_test_split
train_x,test_x,train_y,test_y = train_test_split(X,y,test_size=0.2,random_state=0)

training_data = get_format_data(train_x,train_y,False)
test_data = get_format_data(test_x,test_y,True)

net = Network(sizes=[ndim,10,nclass])
net.SGD(training_data=training_data,epochs=5,mini_batch_size=10,eta=0.1,test_data=test_data)