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十分鐘搞定PCA主成分分析
2018-07-09
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十分鐘搞定PCA主成分分析

在數(shù)據(jù)建模當(dāng)中我們經(jīng)常會(huì)聽到一個(gè)詞叫做降維，首先咱們先來嘮一嘮數(shù)據(jù)為啥要降維呢？最主要的原因還是在于一方面使得我們需要計(jì)算的量更少啦，想象一下一個(gè)100維的數(shù)據(jù)和一個(gè)10維數(shù)據(jù)計(jì)算的速度肯定是不一樣的，另一方面如果我們的數(shù)據(jù)中有很無關(guān)特征，這些對結(jié)果看起來沒什么促進(jìn)的作用，那我們就干脆把有價(jià)值的拿出來，因?yàn)樗麄儾攀菦Q定模型的關(guān)鍵！

第一個(gè)強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵點(diǎn)：PCA是一種無監(jiān)督算法，也就是我們不需要標(biāo)簽也能對數(shù)據(jù)做降維，這就使得其應(yīng)用范圍更加廣泛了。那么PCA的核心思想是什么呢？這里我們提到了方差，咱們可以想象一下，如果一群人都堆疊在一起，我們想?yún)^(qū)分他們是不是比較困難，但是如果這群人站在馬路兩側(cè)，我們就可以很清晰的判斷出來應(yīng)該這是兩伙人。所以基于方差我們可以做的就是讓方差來去判斷咱們數(shù)據(jù)的擁擠程度，在這里我們認(rèn)為方差大的應(yīng)該辨識(shí)度更高一些，因?yàn)榉值谋容^開（一條馬路給隔開啦）。但是PCA也有一個(gè)問題，原來的數(shù)據(jù)中比如包括了年齡，性別，身高等指標(biāo)降維后的數(shù)據(jù)既然維度變小了，那么每一維都是什么含義呢？這個(gè)就很難解釋了，所以PCA本質(zhì)來說是無法解釋降維后的數(shù)據(jù)的物理含義，換句話說就是降維完啦計(jì)算機(jī)能更好的認(rèn)識(shí)這些數(shù)據(jù)，但是咱們就很難理解了。

在我們深入到PCA原理之前，先來解釋一下什么叫基，把這個(gè)搞清楚之后就好理解了，大家一般所認(rèn)識(shí)的坐標(biāo)系一般都是X,Y軸。

就像我們圖上面的，我說有一個(gè)向量（3，2），但是為什么這個(gè)向量是這樣的表示呢？因?yàn)樗谖覀兊淖鰳?biāo)系中，如果我把坐標(biāo)系換了，它就不是（3，2）了。作為基，首先的一個(gè)前提就是要相互垂直，或者說內(nèi)積為0，因?yàn)閄和Y它們表達(dá)的分別是兩種指標(biāo)，我們不希望它們之間內(nèi)部存在任何聯(lián)系，所以必須讓他們內(nèi)積為0，這樣就是各自獨(dú)立的啦！

那么對我們坐標(biāo)來說能否進(jìn)行變換呢？肯定是可以的，比如我現(xiàn)在把（3，2）變換到另外一組基中，它的表達(dá)方式就不一樣啦！這回咱們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)事了吧，所謂的降維就是要把我們的數(shù)據(jù)投影到最合適的基中，那下面我們的目標(biāo)就是尋找最好的基！

咱這之前，還是得先來了解下另外一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，叫做協(xié)方差，剛才我們已經(jīng)有了目標(biāo)就是尋找一個(gè)基，可以使得我們數(shù)據(jù)投影過去后方差能夠越大越好！這個(gè)是我們的前提，但是只滿足這一點(diǎn)就夠了嘛？還不可以，因?yàn)槲覀冞€需要保證基的前提就是相互垂直，這就可以用協(xié)方差來進(jìn)行表示啦，如果兩個(gè)變量他們之間是相互獨(dú)立的那么它們的協(xié)方差就必定為0，這就是我們的第二點(diǎn)要求啦，數(shù)據(jù)投影到的新基，其各個(gè)維度協(xié)方差都必須為0。（上圖中假定數(shù)據(jù)各個(gè)維度均值為0）

終于到啦要揭開謎底的時(shí)候啦！我們恰好遇到了一個(gè)東西叫做協(xié)方差矩陣，在公式中只需要對數(shù)據(jù)X進(jìn)行變換就可以得到的。觀察一下協(xié)方差矩陣，恰好發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)事，主對角線不就是我們的方差嘛（假設(shè)均值為0），非對角線上的元素又恰好是協(xié)方差。按照咱們之前的兩點(diǎn)約定，我們只需要讓方差越大越好，并且協(xié)方差等于0不就可以啦嘛！

怎么做上面的那件事呢？這就是我們的目標(biāo)了。讓非對角線全為0這就需要對矩陣進(jìn)行對角化啦，按照我們上面的定理，我們可以完成對角化操作，對我們所得的協(xié)方差矩陣求解其特征值與特征向量不就OK啦嘛。接下來按照特征值的大小進(jìn)行排列，如果你想把數(shù)據(jù)降到3維，那就取前3個(gè)特征值所對應(yīng)的特征向量就可以啦！

全部的過程就在這里啦，其實(shí)只需要得到協(xié)方差矩陣，然后對角化，將得到的特征向量進(jìn)行選擇就得到我們要投影到的基啦!數(shù)據(jù)降維操作就這么愉快的搞定啦！


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