數(shù)據(jù)科學(xué)家需要掌握的十大統(tǒng)計(jì)技術(shù)詳解

「數(shù)據(jù)科學(xué)家比程序員擅長統(tǒng)計(jì)，比統(tǒng)計(jì)學(xué)家擅長編程?！贡疚慕榻B了數(shù)據(jù)科學(xué)家需要掌握的十大統(tǒng)計(jì)技術(shù)，包括線性回歸、分類、重采樣、降維、無監(jiān)督學(xué)習(xí)等。

不管你對(duì)數(shù)據(jù)科學(xué)持什么態(tài)度，都不可能忽略分析、組織和梳理數(shù)據(jù)的重要性。Glassdoor 網(wǎng)站根據(jù)大量雇主和員工的反饋數(shù)據(jù)制作了「美國最好的 25 個(gè)職位」榜單，其中第一名就是數(shù)據(jù)科學(xué)家。盡管排名已經(jīng)頂尖了，但數(shù)據(jù)科學(xué)家的工作內(nèi)容一定不會(huì)就此止步。隨著深度學(xué)習(xí)等技術(shù)越來越普遍、深度學(xué)習(xí)等熱門領(lǐng)域越來越受到研究者和工程師以及雇傭他們的企業(yè)的關(guān)注，數(shù)據(jù)科學(xué)家繼續(xù)走在創(chuàng)新和技術(shù)進(jìn)步的前沿。

盡管具備強(qiáng)大的編程能力非常重要，但數(shù)據(jù)科學(xué)不全關(guān)于軟件工程（實(shí)際上，只要熟悉 Python 就足以滿足編程的需求）。數(shù)據(jù)科學(xué)家需要同時(shí)具備編程、統(tǒng)計(jì)學(xué)和批判思維能力。正如 Josh Wills 所說：「數(shù)據(jù)科學(xué)家比程序員擅長統(tǒng)計(jì)學(xué)，比統(tǒng)計(jì)學(xué)家擅長編程?！刮易约赫J(rèn)識(shí)很多軟件工程師希望轉(zhuǎn)型成為數(shù)據(jù)科學(xué)家，但是他們盲目地使用 TensorFlow 或 Apache Spark 等機(jī)器學(xué)習(xí)框架處理數(shù)據(jù)，而沒有全面理解其背后的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論知識(shí)。因此他們需要系統(tǒng)地研究統(tǒng)計(jì)機(jī)器學(xué)習(xí)，該學(xué)科脫胎于統(tǒng)計(jì)學(xué)和泛函分析，并結(jié)合了信息論、最優(yōu)化理論和線性代數(shù)等多門學(xué)科。

為什么學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)？理解不同技術(shù)背后的理念非常重要，它可以幫助你了解如何使用以及什么時(shí)候使用。同時(shí)，準(zhǔn)確評(píng)估一種方法的性能也非常重要，因?yàn)樗芨嬖V我們某種方法在特定問題上的表現(xiàn)。此外，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)也是一個(gè)很有意思的研究領(lǐng)域，在科學(xué)、工業(yè)和金融領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。最后，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)是訓(xùn)練現(xiàn)代數(shù)據(jù)科學(xué)家的基礎(chǔ)組成部分。統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法的經(jīng)典研究主題包括：

線性回歸模型

感知機(jī)

k 近鄰法

樸素貝葉斯法

決策樹

Logistic 回歸于最大熵模型

支持向量機(jī)

提升方法

EM 算法

隱馬爾可夫模型

條件隨機(jī)場

之后我將介紹 10 項(xiàng)統(tǒng)計(jì)技術(shù)，幫助數(shù)據(jù)科學(xué)家更加高效地處理大數(shù)據(jù)集的統(tǒng)計(jì)技術(shù)。在此之前，我想先厘清統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)和機(jī)器學(xué)習(xí)的區(qū)別：

機(jī)器學(xué)習(xí)是偏向人工智能的分支

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法是偏向統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支。

機(jī)器學(xué)習(xí)更側(cè)重大規(guī)模應(yīng)用和預(yù)測準(zhǔn)確率。

統(tǒng)計(jì)學(xué)系側(cè)重模型及其可解釋性，以及精度和不確定性。

二者之間的區(qū)別越來越模糊。

1. 線性回歸

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，線性回歸通過擬合因變量和自變量之間的最佳線性關(guān)系來預(yù)測目標(biāo)變量。最佳擬合通過盡量縮小預(yù)測的線性表達(dá)式和實(shí)際觀察結(jié)果間的距離總和來實(shí)現(xiàn)。沒有其他位置比該形狀生成的錯(cuò)誤更少，從這個(gè)角度來看，該形狀的擬合是「最佳」。線性回歸的兩個(gè)主要類型是簡單線性回歸和多元線性回歸。

簡單線性回歸使用一個(gè)自變量通過擬合最佳線性關(guān)系來預(yù)測因變量的變化情況。多元線性回歸使用多個(gè)自變量通過擬合最佳線性關(guān)系來預(yù)測因變量的變化趨勢。

任意選擇兩個(gè)日常使用且相關(guān)的物體。比如，我有過去三年月支出、月收入和每月旅行次數(shù)的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在我需要回答以下問題：

我下一年月支出是多少？

哪個(gè)因素（月收入或每月旅行次數(shù)）在決定月支出方面更重要

月收入和每月旅行次數(shù)與月支出之間是什么關(guān)系？

2. 分類

分類是一種數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)，為數(shù)據(jù)分配類別以幫助進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測和分析。分類是一種高效分析大型數(shù)據(jù)集的方法，兩種主要的分類技術(shù)是：logistic 回歸和判別分析（Discriminant Analysis）。

logistic 回歸是適合在因變量為二元類別的回歸分析。和所有回歸分析一樣，logistic 回歸是一種預(yù)測性分析。logistic 回歸用于描述數(shù)據(jù)，并解釋二元因變量和一或多個(gè)描述事物特征的自變量之間的關(guān)系。logistic 回歸可以檢測的問題類型如下：

體重每超出標(biāo)準(zhǔn)體重一磅或每天每抽一包煙對(duì)得肺癌概率（是或否）的影響。

卡路里攝入、脂肪攝入和年齡對(duì)心臟病是否有影響（是或否）？

在判別分析中，兩個(gè)或多個(gè)集合和簇等可作為先驗(yàn)類別，然后根據(jù)度量的特征把一個(gè)或多個(gè)新的觀察結(jié)果分類成已知的類別。判別分析對(duì)每個(gè)對(duì)應(yīng)類中的預(yù)測器分布 X 分別進(jìn)行建模，然后使用貝葉斯定理將其轉(zhuǎn)換成根據(jù) X 的值評(píng)估對(duì)應(yīng)類別的概率。此類模型可以是線性判別分析（Linear Discriminant Analysis），也可以是二次判別分析（Quadratic Discriminant Analysis）。

線性判別分析（LDA）：為每個(gè)觀察結(jié)果計(jì)算「判別值」來對(duì)它所處的響應(yīng)變量類進(jìn)行分類。這些分值可以通過找到自變量的線性連接來獲得。它假設(shè)每個(gè)類別的觀察結(jié)果都從多變量高斯分布中獲取，預(yù)測器變量的協(xié)方差在響應(yīng)變量 Y 的所有 k 級(jí)別中都很普遍。

二次判別分析（QDA）：提供另外一種方法。和 LDA 類似，QDA 假設(shè) Y 每個(gè)類別的觀察結(jié)果都從高斯分布中獲取。但是，與 LDA 不同的是，QDA 假設(shè)每個(gè)類別具備自己的協(xié)方差矩陣。也就是說，預(yù)測器變量在 Y 的所有 k 級(jí)別中不是普遍的。

3. 重采樣方法

重采樣方法（Resampling）包括從原始數(shù)據(jù)樣本中提取重復(fù)樣本。這是一種統(tǒng)計(jì)推斷的非參數(shù)方法。即，重采樣不使用通用分布來逼近地計(jì)算概率 p 的值。

重采樣基于實(shí)際數(shù)據(jù)生成一個(gè)獨(dú)特的采樣分布。它使用經(jīng)驗(yàn)性方法，而不是分析方法，來生成該采樣分布。重采樣基于數(shù)據(jù)所有可能結(jié)果的無偏樣本獲取無偏估計(jì)。為了理解重采樣的概念，你應(yīng)該先了解自助法（Bootstrapping）和交叉驗(yàn)證（Cross-Validation）：

自助法（Bootstrapping）適用于多種情況，如驗(yàn)證預(yù)測性模型的性能、集成方法、偏差估計(jì)和模型方差。它通過在原始數(shù)據(jù)中執(zhí)行有放回取樣而進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣，使用「未被選中」的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為測試樣例。我們可以多次執(zhí)行該操作，然后計(jì)算平均值作為模型性能的估計(jì)。

交叉驗(yàn)證用于驗(yàn)證模型性能，通過將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分成 k 部分來執(zhí)行。我們將 k-1 部分作為訓(xùn)練集，「留出」的部分作為測試集。將該步驟重復(fù) k 次，最后取 k 次分值的平均值作為性能估計(jì)。

通常對(duì)于線性模型而言，普通最小二乘法是擬合數(shù)據(jù)時(shí)主要的標(biāo)準(zhǔn)。下面 3 個(gè)方法可以提供更好的預(yù)測準(zhǔn)確率和模型可解釋性。

4 子集選擇

該方法將挑選 p 個(gè)預(yù)測因子的一個(gè)子集，并且我們相信該子集和所需要解決的問題十分相關(guān)，然后我們就能使用該子集特征和最小二乘法擬合模型。

最佳子集的選擇：我們可以為 p 個(gè)預(yù)測因子的每個(gè)組合擬合單獨(dú)的 OLS 回歸，然后再考察各模型擬合的情況。該算法分為兩個(gè)階段：（1）擬合包含 k 個(gè)預(yù)測因子的所有模型，其中 k 為模型的最大長度；（2）使用交叉驗(yàn)證預(yù)測損失選擇單個(gè)模型。使用驗(yàn)證或測試誤差十分重要，且不能簡單地使用訓(xùn)練誤差評(píng)估模型的擬合情況，這因?yàn)?nbsp;RSS 和 R^2 隨變量的增加而單調(diào)遞增。最好的方法就是通過測試集中最高的 R^2 和最低的 RSS 來交叉驗(yàn)證地選擇模型。

前向逐步地選擇會(huì)考慮 p 個(gè)預(yù)測因子的一個(gè)較小子集。它從不含預(yù)測因子的模型開始，逐步地添加預(yù)測因子到模型中，直到所有預(yù)測因子都包含在模型。添加預(yù)測因子的順序是根據(jù)不同變量對(duì)模型擬合性能提升的程度來確定的，我們會(huì)添加變量直到再?zèng)]有預(yù)測因子能在交叉驗(yàn)證誤差中提升模型

后向逐步選擇先從模型中所有 p 預(yù)測器開始，然后迭代地移除用處最小的預(yù)測器，每次移除一個(gè)。

混合法遵循前向逐步方法，但是在添加每個(gè)新變量之后，該方法可能還會(huì)移除對(duì)模型擬合無用的變量。

5. Shrinkage

這種方法涉及到使用所有 p 個(gè)預(yù)測因子進(jìn)行建模，然而，估計(jì)預(yù)測因子重要性的系數(shù)將根據(jù)最小二乘誤差向零收縮。這種收縮也稱之為正則化，它旨在減少方差以防止模型的過擬合。由于我們使用不同的收縮方法，有一些變量的估計(jì)將歸零。因此這種方法也能執(zhí)行變量的選擇，將變量收縮為零最常見的技術(shù)就是 Ridge 回歸和 Lasso 回歸。

Ridge 回歸非常類似于最小二乘法，只不過它通過最小化一個(gè)稍微不同的數(shù)值來估計(jì)系數(shù)。Ridge 回歸和 OLS 一樣尋求減少 RSS 的系數(shù)估計(jì)。然而當(dāng)系數(shù)收縮逼近零值時(shí)，它們都會(huì)對(duì)這種收縮進(jìn)行懲罰。我們不需要數(shù)學(xué)分析就能看出 Ridge 回歸很擅長于將特征收縮到最小的可能空間中。如主成分分析，Ridge 回歸將數(shù)據(jù)投影到 D 維空間，并在系數(shù)空間內(nèi)收縮較低方差的成分而保留有較高方差的成分

Ridge 回歸至少有一個(gè)缺點(diǎn)，它需要包含最終模型所有 p 個(gè)預(yù)測因子，這主要是因?yàn)榱P項(xiàng)將會(huì)令很多預(yù)測因子的系數(shù)逼近零，但又一定不會(huì)等于零。這對(duì)于預(yù)測準(zhǔn)確度來說通常并不是什么問題，但卻令模型的結(jié)果更難以解釋。Lasso 就克服了這一缺點(diǎn)，因?yàn)樗?nbsp;s 組后小的時(shí)候能迫使一些預(yù)測因子的系數(shù)歸零。因?yàn)?nbsp;s = 1 將導(dǎo)致正規(guī)的 OLS 回歸，而當(dāng) s 逼近 0 時(shí)，系數(shù)將收縮到零。因此 Lasso 回歸同樣是執(zhí)行變量選擇的一個(gè)好方法。

6. 降維

降維算法將 p+1 個(gè)系數(shù)的問題簡化為 M+1 個(gè)系數(shù)的問題，其中 M<p。算法執(zhí)行包括計(jì)算變量的 M 個(gè)不同線性組合或投射（projection）。然后這 M 個(gè)投射作為預(yù)測器通過最小二乘法擬合一個(gè)線性回歸模型。兩個(gè)主要的方法是主成分回歸（principal component regression）和偏最小二乘法（partial least squares）。

主成分回歸（PCR）可以看成一種從大型變量集合中導(dǎo)出低維特征集合的方法。數(shù)據(jù)中的第一主成分（first principal component）是指觀察數(shù)據(jù)沿著這個(gè)變量方向的變化最大。換言之，第一主成分是最接近擬合數(shù)據(jù)的線，總共可以用 p 個(gè)不同的主成分?jǐn)M合。第二主成分是和第一主成分不相關(guān)的變量的線性組合，且在該約束下有最大的方差。其主要思想是主成分能在各個(gè)互相垂直的方向使用數(shù)據(jù)的線性組合捕捉到最大的方差。使用這種方法，我們還能結(jié)合相關(guān)變量的效應(yīng)從數(shù)據(jù)中獲取更多的信息，畢竟在常規(guī)的最小二乘法中需要舍棄其中一個(gè)相關(guān)變量。

上面描述的 PCR 方法需要提取 X 的線性組合，以獲得對(duì)的預(yù)測器的最優(yōu)表征。由于 X 的輸出 Y 不能不能用于幫助決定主成分方向，這些組合（方向）使用無監(jiān)督方法提取。即，Y 不能監(jiān)督主成分的提取，從而無法保證這些方向是預(yù)測器的最優(yōu)表征，也無法保證能獲得最優(yōu)預(yù)測輸出（雖然通常假定如此）。偏最小二乘法（PLS）是一種監(jiān)督方法，作為 PCR 的代替方法。和 PCR 類似，PLS 也是一種降維方法，它首先提取一個(gè)新的較小的特征集合（原始特征的線性組合），然后通過最小二乘法將原來的模型擬合為一個(gè)新的具有 M 個(gè)特征的線性模型。

7. 非線性模型

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，非線性回歸屬于一種回歸分析形式，其中，觀測數(shù)據(jù)使用模型參數(shù)的非線性組合的函數(shù)（依賴于一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量）建模。其使用逐次逼近法擬合數(shù)據(jù)。下方是幾種處理非線性模型的重要技術(shù)。

階梯函數(shù)（step function），變量為實(shí)數(shù)，可以寫成區(qū)間的指示函數(shù)的有限線性組合的形式。非正式的解釋是，階梯函數(shù)是一種分段常數(shù)函數(shù)，只有有限的部分。

分段函數(shù)（piecewise function）通過多個(gè)子函數(shù)定義，每一個(gè)子函數(shù)被定義在主函數(shù)定義域的確定的區(qū)間上。分段實(shí)際上是一種表示函數(shù)的方式，而不是函數(shù)自身的特征，但通過額外的限定條件，它可以用于描述函數(shù)的本質(zhì)。例如，一個(gè)分段多項(xiàng)式函數(shù)是一個(gè)在每一個(gè)子定義上為多項(xiàng)式的函數(shù)，其中每一個(gè)多項(xiàng)式都可能是不同的。

樣條曲線（spline）是一種用多項(xiàng)式分段定義的特殊函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是一種分段多項(xiàng)式參數(shù)化曲線。由于結(jié)構(gòu)的簡單性、評(píng)估的簡易和高精度、通過曲線擬合和交互曲線設(shè)計(jì)以逼近復(fù)雜曲線的能力，樣條曲線很常用。

廣義加性模型（generalized additive model）是一種廣義線性模型，其中線性預(yù)測器線性依賴于某些預(yù)測器變量的未知平滑函數(shù)，其主要作用就是推測這些平滑函數(shù)

8. 基于樹的方法

基于樹的方法可以用于回歸和分類問題，包括將預(yù)測器空間分層或分割成幾個(gè)簡單區(qū)域。由于用于預(yù)測器空間的分離規(guī)則集合可以總結(jié)為一個(gè)樹，這類方法被稱為決策樹方法。以下的方法是幾種不同的樹，它們可以組合起來輸出單個(gè)一致的預(yù)測。

bagging 能減少預(yù)測的方差，即通過從原始數(shù)據(jù)中生成額外的數(shù)據(jù)（通過組合和重復(fù)生成和原始數(shù)據(jù)大小相同的多段數(shù)據(jù)）用于訓(xùn)練。通過增大訓(xùn)練集無法提高模型的預(yù)測能力，只能減小方差，仔細(xì)地調(diào)整預(yù)測以得到期望的輸出。

boosting 是一種計(jì)算輸出的方法，即使用多個(gè)不同的模型，然后使用加權(quán)平均的方法對(duì)結(jié)果取平均值。我們一般通過改變這些方法所占的權(quán)重而結(jié)合各方法的優(yōu)勢，此外，我們還可以使用不同的精細(xì)調(diào)整獲得對(duì)更寬泛輸入數(shù)據(jù)的預(yù)測能力。

隨機(jī)森林算法（random forest algorithm）實(shí)際上和 bagging 算法很相似，同樣是對(duì)訓(xùn)練集提取隨機(jī) bootstrap 樣本。然而，除了 bootstrap 樣本以外，還可以提取特征的隨機(jī)子集以訓(xùn)練單個(gè)樹；而在 bagging 中，需要給每個(gè)樹提供整個(gè)特征集。由于特征選擇是隨機(jī)的，相比常規(guī)的 bagging 算法，每個(gè)樹之間更加獨(dú)立，從而通常能獲得更好的預(yù)測性能（得益于更好的方差—偏差權(quán)衡）。且計(jì)算速度也更快，因?yàn)槊總€(gè)樹只需要學(xué)習(xí)特征的一個(gè)子集。

9. 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)（SVM）是一種常用的監(jiān)督學(xué)習(xí)分類技術(shù)。通俗地說，它用于尋找對(duì)兩類點(diǎn)集做出最佳分離的超平面（hyperplane，在 2D 空間中是線，在 3D 空間中是面，在高維空間中是超平面。更正式的說法是，一個(gè)超平面是一個(gè) n 維空間的 n-1 維子空間）。而支持向量機(jī)是保留最大的間隔的分離超平面，因此本質(zhì)上，它是一個(gè)約束最優(yōu)化問題，其中支持向量機(jī)的間隔在約束下被最大化，從而完美地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類（硬間隔分類器）。

那些「支持」著超平面的數(shù)據(jù)點(diǎn)被稱為「支持向量」。在上圖中，填充藍(lán)色圓和兩個(gè)填充方塊就是支持向量。在兩類數(shù)據(jù)不是線性可分的例子中，數(shù)據(jù)點(diǎn)將被投射到一個(gè)更高維空間中，使得數(shù)據(jù)變得線性可分。包含多個(gè)類別的數(shù)據(jù)點(diǎn)的問題可以分解成多個(gè)「一對(duì)一」（one-versus-one）或「一對(duì)剩余」（one-versus-rest）的二分類問題。

10. 無監(jiān)督學(xué)習(xí)

目前為止，我們都只討論過監(jiān)督學(xué)習(xí)技術(shù)，其中數(shù)據(jù)分類都是已知的，且提供給算法的經(jīng)驗(yàn)都是實(shí)體和其分類的關(guān)系。當(dāng)數(shù)據(jù)的分類是未知的時(shí)候，就需要使用另一種技術(shù)了。它們被稱為無監(jiān)督的，因?yàn)樗鼈冃枰约喝グl(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的模式。聚類（clustring）是無監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種，其中數(shù)據(jù)將根據(jù)相關(guān)性被分為多個(gè)群集。下方是幾種最常用的無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法：

主成分分析：通過保留具備最大方差和互相不相關(guān)的特征之間的線性連接，而幫助生成數(shù)據(jù)集的低維表示。該線性降維技術(shù)有助于理解無監(jiān)督學(xué)習(xí)中的隱變量交互。

k 均值聚類：根據(jù)數(shù)據(jù)到集群中心的距離將其分成 k 個(gè)不同的集群。

層次聚類：通過數(shù)據(jù)的層級(jí)表示而構(gòu)建不同的集群。