機器學習中常見的幾種最優(yōu)化方法

我們每個人都會在我們的生活或者工作中遇到各種各樣的最優(yōu)化問題，比如每個企業(yè)和個人都要考慮的一個問題“在一定成本下，如何使利潤最大化”等。最優(yōu)化方法是一種數(shù)學方法，它是研究在給定約束之下如何尋求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指標達到最優(yōu)的一些學科的總稱。隨著學習的深入，博主越來越發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化方法的重要性，學習和工作中遇到的大多問題都可以建模成一種最優(yōu)化模型進行求解，比如我們現(xiàn)在學習的機器學習算法，大部分的機器學習算法的本質(zhì)都是建立優(yōu)化模型，通過最優(yōu)化方法對目標函數(shù)（或損失函數(shù)）進行優(yōu)化，從而訓練出最好的模型。常見的最優(yōu)化方法有梯度下降法、牛頓法和擬牛頓法、共軛梯度法等等。

1. 梯度下降法（Gradient Descent）

梯度下降法是最早最簡單，也是最為常用的最優(yōu)化方法。梯度下降法實現(xiàn)簡單，當目標函數(shù)是凸函數(shù)時，梯度下降法的解是全局解。一般情況下，其解不保證是全局最優(yōu)解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的優(yōu)化思想是用當前位置負梯度方向作為搜索方向，因為該方向為當前位置的最快下降方向，所以也被稱為是”最速下降法“。最速下降法越接近目標值，步長越小，前進越慢。梯度下降法的搜索迭代示意圖如下圖所示：

牛頓法的缺點：

（1）靠近極小值時收斂速度減慢，如下圖所示；

（2）直線搜索時可能會產(chǎn)生一些問題；

（3）可能會“之字形”地下降。

從上圖可以看出，梯度下降法在接近最優(yōu)解的區(qū)域收斂速度明顯變慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。

在機器學習中，基于基本的梯度下降法發(fā)展了兩種梯度下降方法，分別為隨機梯度下降法和批量梯度下降法。

比如對一個線性回歸（Linear Logistics）模型，假設下面的h(x)是要擬合的函數(shù)，J(theta)為損失函數(shù)，theta是參數(shù)，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函數(shù)h(theta)就出來了。其中m是訓練集的樣本個數(shù)，n是特征的個數(shù)。

1）批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）

（1）將J(theta)對theta求偏導，得到每個theta對應的的梯度：

（2）由于是要最小化風險函數(shù)，所以按每個參數(shù)theta的梯度負方向，來更新每個theta：

（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優(yōu)解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數(shù)據(jù)，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度會相當?shù)穆Ｋ?，這就引入了另外一種方法——隨機梯度下降。

對于批量梯度下降法，樣本個數(shù)m，x為n維向量，一次迭代需要把m個樣本全部帶入計算，迭代一次計算量為m*n2。

2）隨機梯度下降（Random Gradient Descent，RGD）

（1）上面的風險函數(shù)可以寫成如下這種形式，損失函數(shù)對應的是訓練集中每個樣本的粒度，而上面批量梯度下降對應的是所有的訓練樣本：

（2）每個樣本的損失函數(shù)，對theta求偏導得到對應梯度，來更新theta：

（3）隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那么可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經(jīng)將theta迭代到最優(yōu)解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優(yōu)，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優(yōu)化方向。

隨機梯度下降每次迭代只使用一個樣本，迭代一次計算量為n2，當樣本個數(shù)m很大的時候，隨機梯度下降迭代一次的速度要遠高于批量梯度下降方法。兩者的關系可以這樣理解：隨機梯度下降方法以損失很小的一部分精確度和增加一定數(shù)量的迭代次數(shù)為代價，換取了總體的優(yōu)化效率的提升。增加的迭代次數(shù)遠遠小于樣本的數(shù)量。

對批量梯度下降法和隨機梯度下降法的總結：

批量梯度下降---最小化所有訓練樣本的損失函數(shù)，使得最終求解的是全局的最優(yōu)解，即求解的參數(shù)是使得風險函數(shù)最小，但是對于大規(guī)模樣本問題效率低下。

隨機梯度下降---最小化每條樣本的損失函數(shù)，雖然不是每次迭代得到的損失函數(shù)都向著全局最優(yōu)方向， 但是大的整體的方向是向全局最優(yōu)解的，最終的結果往往是在全局最優(yōu)解附近，適用于大規(guī)模訓練樣本情況。

2. 牛頓法和擬牛頓法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）

1）牛頓法（Newton's method）

牛頓法是一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法。方法使用函數(shù)f (x)的泰勒級數(shù)的前面幾項來尋找方程f (x) = 0的根。牛頓法最大的特點就在于它的收斂速度很快。

具體步驟：

首先，選擇一個接近函數(shù) f (x)零點的 x0，計算相應的 f (x0) 和切線斜率f  ' (x0)（這里f ' 表示函數(shù) f  的導數(shù)）。然后我們計算穿過點(x0,  f  (x0)) 并且斜率為f '(x0)的直線和 x 軸的交點的x坐標，也就是求如下方程的解：

我們將新求得的點的 x 坐標命名為x1，通常x1會比x0更接近方程f  (x) = 0的解。因此我們現(xiàn)在可以利用x1開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示：

已經(jīng)證明，如果f  ' 是連續(xù)的，并且待求的零點x是孤立的，那么在零點x周圍存在一個區(qū)域，只要初始值x0位于這個鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓法必定收斂。 并且，如果f  ' (x)不為0, 那么牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結果的有效數(shù)字將增加一倍。下圖為一個牛頓法執(zhí)行過程的例子。

由于牛頓法是基于當前位置的切線來確定下一次的位置，所以牛頓法又被很形象地稱為是"切線法"。牛頓法的搜索路徑（二維情況）如下圖所示：

牛頓法搜索動態(tài)示例圖：

關于牛頓法和梯度下降法的效率對比：

從本質(zhì)上去看，牛頓法是二階收斂，梯度下降是一階收斂，所以牛頓法就更快。如果更通俗地說的話，比如你想找一條最短的路徑走到一個盆地的最底部，梯度下降法每次只從你當前所處位置選一個坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時，不僅會考慮坡度是否夠大，還會考慮你走了一步之后，坡度是否會變得更大。所以，可以說牛頓法比梯度下降法看得更遠一點，能更快地走到最底部。（牛頓法目光更加長遠，所以少走彎路；相對而言，梯度下降法只考慮了局部的最優(yōu)，沒有全局思想。）

根據(jù)wiki上的解釋，從幾何上說，牛頓法就是用一個二次曲面去擬合你當前所處位置的局部曲面，而梯度下降法是用一個平面去擬合當前的局部曲面，通常情況下，二次曲面的擬合會比平面更好，所以牛頓法選擇的下降路徑會更符合真實的最優(yōu)下降路徑。

注：紅色的牛頓法的迭代路徑，綠色的是梯度下降法的迭代路徑。

牛頓法的優(yōu)缺點總結：

優(yōu)點：二階收斂，收斂速度快；

缺點：牛頓法是一種迭代算法，每一步都需要求解目標函數(shù)的Hessian矩陣的逆矩陣，計算比較復雜。

2）擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）

擬牛頓法是求解非線性優(yōu)化問題最有效的方法之一，于20世紀50年代由美國Argonne國家實驗室的物理學家W.C.Davidon所提出來。Davidon設計的這種算法在當時看來是非線性優(yōu)化領域最具創(chuàng)造性的發(fā)明之一。不久R. Fletcher和M. J. D. Powell證實了這種新的算法遠比其他方法快速和可靠，使得非線性優(yōu)化這門學科在一夜之間突飛猛進。

擬牛頓法的本質(zhì)思想是改善牛頓法每次需要求解復雜的Hessian矩陣的逆矩陣的缺陷，它使用正定矩陣來近似Hessian矩陣的逆，從而簡化了運算的復雜度。擬牛頓法和最速下降法一樣只要求每一步迭代時知道目標函數(shù)的梯度。通過測量梯度的變化，構造一個目標函數(shù)的模型使之足以產(chǎn)生超線性收斂性。這類方法大大優(yōu)于最速下降法，尤其對于困難的問題。另外，因為擬牛頓法不需要二階導數(shù)的信息，所以有時比牛頓法更為有效。如今，優(yōu)化軟件中包含了大量的擬牛頓算法用來解決無約束，約束，和大規(guī)模的優(yōu)化問題。

具體步驟：

擬牛頓法的基本思想如下。首先構造目標函數(shù)在當前迭代xk的二次模型：

　　這里Bk是一個對稱正定矩陣，于是我們?nèi)∵@個二次模型的最優(yōu)解作為搜索方向，并且得到新的迭代點：

　　其中我們要求步長ak 

滿足Wolfe條件。這樣的迭代與牛頓法類似，區(qū)別就在于用近似的Hesse矩陣Bk 

代替真實的Hesse矩陣。所以擬牛頓法最關鍵的地方就是每一步迭代中矩陣Bk

的更新。現(xiàn)在假設得到一個新的迭代xk+1，并得到一個新的二次模型：

 

　　從而得到

啟發(fā)式方法指人在解決問題時所采取的一種根據(jù)經(jīng)驗規(guī)則進行發(fā)現(xiàn)的方法。其特點是在解決問題時,利用過去的經(jīng)驗,選擇已經(jīng)行之有效的方法，而不是系統(tǒng)地、以確定的步驟去尋求答案。啟發(fā)式優(yōu)化方法種類繁多，包括經(jīng)典的模擬退火方法、遺傳算法、蟻群算法以及粒子群算法等等。

還有一種特殊的優(yōu)化算法被稱之多目標優(yōu)化算法，它主要針對同時優(yōu)化多個目標（兩個及兩個以上）的優(yōu)化問題，這方面比較經(jīng)典的算法有NSGAII算法、MOEA/D算法以及人工免疫算法等。