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線性代數(shù)之從線性方程組看線性組合
2018-03-18
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線性代數(shù)之從線性方程組看線性組合

對于一個線性方程組，我們可以通過畫出每條方程所代表的曲線，所有曲線的交點就是該線性方程組的解。這種做法可以看做是對矩陣方程Ax = b 的行解法。如果從列的角度看，就是線性組合了。

例如線性方程組：

寫成矩陣的形式就是：

 

行圖像：

首先我們畫出方程2x-y=0和-x+2y=0分別代表的直線：

很顯然，我們可以看到該方程組的解是(1,2)。這種解法就是從A矩陣的行的角度來分析的。矩陣A每一行都可以畫出一條直線，所有直線的交點就是方程組的解。

列圖像：

現(xiàn)在我們從列的角度來分析。事實上，我們可以將上面的矩陣方程拆成下面這樣:


如何理解這個方程呢？

我們可以把 看成向量。所以這里想用這兩個向量來制造出向量。如果從坐標中理解就是：


可以看到，要制造出向量， 也就是x = 1, y = 2。

以前學習直角坐標系的時候，我們知道任意的二維向量都可以用 這兩個基坐標來組合得到，這其實就是線性組合了。只不過現(xiàn)在我們把基坐標換成了，只要在二維平面內(nèi)，都可以用這兩個向量組合出任意的向量，在這里我們把這兩個向量叫做基底。

當然，要能夠組合出任意的向量， 必須不在同一條直線上，這個從圖上看很顯然。

對于n維向量也是同樣的道理，只是比較抽象，沒辦法用坐標來表示。

利用線性組合求解矩陣與向量的相乘：

有了線性組合的這種想法，在解A*b這種結(jié)構(gòu)的矩陣相乘時就可以利用線性組合的想法了。例如：

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