主成分分析、因子分析、聚類的概覽與比較

主成分分析：利用降維（線性變換）的思想，在損失很少信息的前提下把多個指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個綜合指標(biāo)（主成分），用綜合指標(biāo)來解釋多變量的方差——協(xié)方差結(jié)構(gòu)，即每個主成分都是原始變量的線性組合，且各主成分之間互不相關(guān)，使得主成分比原始變量具有某些更優(yōu)越的性能（主成分必須保留原始變量90%以上的信息），從而達(dá)到簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，抓住問題實質(zhì)的目的綜合指標(biāo)即為主成分。

求解主成分的方法：從協(xié)方差陣出發(fā)（協(xié)方差陣已知），從相關(guān)陣出發(fā)（相關(guān)陣R已知）。
        （實際研究中，總體協(xié)方差陣與相關(guān)陣是未知的，必須通過樣本數(shù)據(jù)來估計）
注意事項：

1.由協(xié)方差陣出發(fā)與由相關(guān)陣出發(fā)求解主成分所得結(jié)果不一致時，要恰當(dāng)?shù)倪x取某一種方法；

2.對于度量單位或是取值范圍在同量級的數(shù)據(jù)，可直接求協(xié)方差陣；對于度量單位不同的指標(biāo)或是取值范圍彼此差異非常大的指標(biāo)，應(yīng)考慮將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，再由協(xié)方差陣求主成分；

3.主成分分析不要求數(shù)據(jù)來源于正態(tài)分布；

4.在選取初始變量進(jìn)入分析時應(yīng)該特別注意原始變量是否存在多重共線性的問題（最小特征根接近于零，說明存在多重共線性問題）。

優(yōu)點：首先它利用降維方法用少數(shù)幾個綜合變量來代替原始多個變量，這些綜合變量集中了原始變量的大部分信息。其次它通過計算綜合主成分函數(shù)得分，對客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)評價。再次它在應(yīng)用上側(cè)重于信息貢獻(xiàn)影響力綜合評價。

缺點：當(dāng)主成分的因子負(fù)荷的符號有正有負(fù)時，綜合評價函數(shù)意義就不明確，命名清晰性低。

聚類分析：將個體（樣品）或者對象（變量）按相似程度（距離遠(yuǎn)近）劃分類別，使得同一類中的元素之間的相似性比其他類的元素的相似性更強。目的在于使類間元素的同質(zhì)性最大化和類與類間元素的異質(zhì)性最大化。

其主要依據(jù)是聚到同一個數(shù)據(jù)集中的樣本應(yīng)該彼此相似，而屬于不同組的樣本應(yīng)該足夠不相似。

常用聚類方法：系統(tǒng)聚類法，K-均值法，模糊聚類法，有序樣品的聚類，分解法，加入法。

注意事項：

1.系統(tǒng)聚類法可對變量或者記錄進(jìn)行分類，K-均值法只能對記錄進(jìn)行分類；

2. K-均值法要求分析人員事先知道樣品分為多少類；

3.對變量的多元正態(tài)性，方差齊性等要求較高。

應(yīng)用領(lǐng)域：細(xì)分市場，消費行為劃分，設(shè)計抽樣方案等

優(yōu)點：聚類分析模型的優(yōu)點就是直觀，結(jié)論形式簡明。

缺點：在樣本量較大時，要獲得聚類結(jié)論有一定困難。由于相似系數(shù)是根據(jù)被試的反映來建立反映被試間內(nèi)在聯(lián)系的指標(biāo)，而實踐中有時盡管從被試反映所得出的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)他們之間有緊密的關(guān)系，但事物之間卻無任何內(nèi)在聯(lián)系，此時，如果根據(jù)距離或相似系數(shù)得出聚類分析的結(jié)果，顯然是不適當(dāng)?shù)模?，聚類分析模型本身卻無法識別這類錯誤。

因子分析：利用 降維思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個綜合因子。因子分析是主成分的推廣，相對于主成分分析，更傾向于描述原始變量之間的相關(guān)關(guān)系，就是研究如何以最少的信息丟失，將眾多原始變量濃縮成少數(shù)幾個因子變量，以及如何使因子變量具有較強的可解釋性的一種多元統(tǒng)計分析方法。

求解因子載荷的方法：主成分法，主軸因子法，極大似然法，最小二乘法，a因子提取法。
注意事項：

因子分析中各個公共因子之間不相關(guān)，特殊因子之間不相關(guān)，公共因子和特殊因子之間不相關(guān)。（均不相關(guān)）

應(yīng)用領(lǐng)域：解決共線性問題，評價問卷的結(jié)構(gòu)效度，尋找變量間潛在的結(jié)構(gòu)，內(nèi)在結(jié)構(gòu)證實。

優(yōu)點:1）它不是對原有變量的取舍，而是根據(jù)原始變量的信息進(jìn)行重新組合，找出影響變量的共同因子，化簡數(shù)據(jù)；2）它通過旋轉(zhuǎn)使得因子變量更具有可解釋性，命名清晰性高。

缺點:在計算因子得分時，采用的是最小二乘法，此法有時可能會失效。

判別分析：從已知的各種分類情況中總結(jié)規(guī)律（訓(xùn)練出判別函數(shù)），當(dāng)新樣品進(jìn)入時，判斷其與判別函數(shù)之間的相似程度。

判別準(zhǔn)則：概率最大，距離最近，離差最小等。
常用判別方法：最大似然法，距離判別法，F(xiàn)isher判別法，Bayes判別法，逐步判別法等。

注意事項：

1.判別分析的基本條件：分組類型在兩組以上，解釋變量必須是可測的；

2.每個解釋變量不能是其它解釋變量的線性組合（比如出現(xiàn)多重共線性情況時，判別權(quán)重會出現(xiàn)問題）；

3.各 解釋變量之間服從多元正態(tài)分布（不符合時，可使用Logistic回歸替代），且各組解釋變量的協(xié)方差矩陣相等（各組 協(xié)方方差矩陣有顯著差異時，判別函數(shù)不相同）。

4.相對而言，即使判別函數(shù)違反上述適用條件，也很穩(wěn)健，對結(jié)果影響不大。

應(yīng)用領(lǐng)域：對客戶進(jìn)行信用預(yù)測，尋找潛在客戶（是否為消費者，公司是否成功，學(xué)生是否被錄用等等），臨床上用于鑒別診斷。

對應(yīng)分析/最優(yōu)尺度分析：利用降維思想以達(dá)到簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的目的，同時對數(shù)據(jù)表中的行與列 進(jìn)行處理，尋求以低維圖形表示數(shù)據(jù)表中行與列之間的關(guān)系。

對應(yīng)分析：用于展示變量（兩個/多個分類）間的關(guān)系（變量的分類數(shù)較多時較佳）；

最優(yōu)尺度分析：可同時分析多個變量間的關(guān)系，變量的類型可以是無序多分類，有序多分類或連續(xù)性變量，并對多選題的分析提供了支持。

典型相關(guān)分析：借用主成分分析 降維思想，分別對兩組變量提取主成分，且使從兩組變量提取的主成分之間的相關(guān)程度達(dá)到最大，而從同一組內(nèi)部提取的各主成分之間互不相關(guān)。

相同點：

1.主成分分析法和因子分析法都是用少數(shù)的幾個變量（因子） 來綜合反映原始變量（因子）的主要信息，變量雖然較原始變量少，但所包含的信息量卻占原始信息的85 %以上，所以即使用少數(shù)的幾個新變量，可信度也很高，也可以有效地解釋問題。并且新的變量彼此間互不相關(guān)，消除了多重共線性。

2.這兩種分析法得出的新變量，并不是原始變量篩選后剩余的變量。在主成分分析中，最終確定的新變量是原始變量的線性組合，如原始變量為x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，經(jīng)過坐標(biāo)變換，將原有的p個相關(guān)變量xi 作線性變換，每個主成分都是由原有p個變量線性組合得到。在諸多主成分Zi 中，Z1 在方差中占的比重最大，說明它綜合原有變量的能力最強，越往后主成分在方差中的比重也小，綜合原信息的能力越弱。

因子分析是要利用少數(shù)幾個公共因子去解釋較多要觀測變量中存在的復(fù)雜關(guān)系，它不是對原始變量的重新組合，而是對原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子與特殊因子兩部分。公共因子是由所有變量共同具有的少數(shù)幾個因子；特殊因子是每個原始變量獨自具有的因子。

3.對新產(chǎn)生的主成分變量及因子變量計算其得分，就可以將主成分得分或因子得分代替原始變量進(jìn)行進(jìn)一步的分析，因為主成分變量及因子變量比原始變量少了許多，所以起到了降維作用。
4.聚類分析是把研究對象視作多維空間中的許多點，并合理地分成若干類，因此它是一種根據(jù)變量域之間的相似性而逐步歸群成類的方法，它能客觀地反映這些變量或區(qū)域之間的內(nèi)在組合關(guān)系。它是通過一個大的對稱矩陣來探索相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)分析方法，是多元統(tǒng)計分析方法，分析的結(jié)果為群集。對向量聚類后，我們對數(shù)據(jù)的處理難度也自然降低，所以從某種意義上說，聚類分析也起到了降維作用。

不同之處：

1.主成分分析是求出少數(shù)幾個主成分(變量) 通過少數(shù)幾個主成分來解釋多變量的方差——協(xié)方差結(jié)構(gòu)的分析方法，使它們盡可能多地保留原始變量的信息，且彼此不相關(guān)。它是一種把給定的一組變量通過線性變換，轉(zhuǎn)換為一組不相關(guān)的變量(兩兩相關(guān)系數(shù)為0 ，或樣本向量彼此相互垂直的隨機變量)的數(shù)學(xué)變換方法。在這種變換中，保持變量的總方差(方差之和) 不變，同時具有最大方差，稱為第一主成分；具有次大方差，稱為第二主成分。依次類推。若共有p 個變量，實際應(yīng)用中一般不是找p 個主成分，而是找出m (m < p) 個主成分就夠了，只要這m 個主成分能反映原來所有變量的絕大部分的方差。主成分分析可以作為因子分析的一種方法出現(xiàn)。
2.因子分析是尋找潛在的起支配作用的因子模型的方法。因子分析是根據(jù)相關(guān)性大小把變量分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關(guān)性較高，但不同的組的變量相關(guān)性較低，每組變量代表一個基本結(jié)構(gòu)，這個基本結(jié)構(gòu)稱為公共因子。對于所研究的問題就可試圖用最少個數(shù)的不可測的所謂公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和來描述原來觀測的每一分量。通過因子分析得來的新變量是對每個原始變量進(jìn)行內(nèi)部剖析。因子分析不是對原始變量的重新組合，而是對原始變量進(jìn)行分解，分解為公共因子和特殊因子兩部分。具體地說，就是要找出某個問題中可直接測量的具有一定相關(guān)性的諸指標(biāo)，如何受少數(shù)幾個在專業(yè)中有意義、又不可直接測量到、且相對獨立的因子支配的規(guī)律，從而可用各指標(biāo)的測定來間接確定各因子的狀態(tài)。因子分析只能解釋部分變異，主成分分析能解釋所有變異。

3.聚類分析算法是給定m 維空間R 中的n 個向量，把每個向量歸屬到k個聚類中的某一個，使得每一個向量與其聚類中心的距離最小。聚類可以理解為: 類內(nèi)的相關(guān)性盡量大，類間相關(guān)性盡量小。聚類問題作為一種無指導(dǎo)的學(xué)習(xí)問題，目的在于通過把原來的對象集合分成相似的組或簇，來獲得某種內(nèi)在的數(shù)據(jù)規(guī)律。
從三類分析的基本思想可以看出，聚類分析中并沒于產(chǎn)生新變量，但是主成分分析和因子分析都產(chǎn)生了新變量。

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化方面的區(qū)別：

總結(jié)：