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奇異值分解SVD的理解與應(yīng)用
2017-12-22
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奇異值分解SVD的理解與應(yīng)用

為更好的理解這篇文章，現(xiàn)在這里列出幾個(gè)文中出現(xiàn)的概念，想要更深的理解這些概念，可以看我的另一篇文章：關(guān)于特征值的理解。

向量的內(nèi)積：兩向量a=[a1,a2,…,an]和b=[b1,b2,…,bn],其內(nèi)積為 a?b=a1b1+a2b2+……+anbn。

特征值與特征向量：對(duì)一個(gè)m×m矩陣A和向量x，如果存在λ使得下式成立，Ax＝λx，則稱λ為矩陣A的特征值，x稱為矩陣的特征向量。

對(duì)角矩陣：對(duì)角矩陣是除對(duì)角線外所有元素都為零的方陣。

正交矩陣：正交是一個(gè)方塊矩陣V，行與列皆為正交的單位向量，即Vn×nVTn×n＝In，使得該矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為其逆矩陣，VT＝V?1。

直接進(jìn)入正題，矩陣當(dāng)中有一個(gè)非常著名的理論，即：

一個(gè)n×n的對(duì)稱矩陣A可以分解為：A=VDVT。其中，V是一個(gè)n×n正交矩陣，并且列向量是矩陣A的特征向量；D是一個(gè)n×n對(duì)角矩陣，并且對(duì)角線上的值為對(duì)應(yīng)特征向量的特征值。

上面的理論是針對(duì)一個(gè)n×n的對(duì)稱矩陣，那么對(duì)于任意的一個(gè)m×n的矩陣A，有沒有類似的表達(dá)方法呢。答案是肯定的，svd正是用來解決這個(gè)問題的。

對(duì)任意一個(gè)m×n的矩陣A，可以將其分解為：A＝USVT。其中U是一個(gè)m×m的正交矩陣；S是一個(gè)m×n的矩陣，其主對(duì)角元素≥0，非主對(duì)角元素均為0；V是一個(gè)n×n的正交矩陣。


關(guān)于svd的證明過程，似乎更多是數(shù)值上的工作，本文想給出更多intuitive上的理解。想要了解證明的可以參考這篇論文：Kalman D. A singularly valuable decomposition: the SVD of a matrix。

這樣，對(duì)任意一個(gè)矩陣，我都可以分解成三個(gè)矩陣的內(nèi)積。讓我們看一下它有什么神奇的性質(zhì)。

AAT＝USVTVSTUT＝USSTUT＝UDUT(1)

由于V是一個(gè)正交矩陣，VT＝V?1，所以VT＊V＝I。S只有主對(duì)角元素不為0，那么SST的結(jié)果為一個(gè)m×m的對(duì)角矩陣D。而雖然A是任意的一個(gè)m×n的矩陣，但AAT是一個(gè)m×m的對(duì)稱矩陣。這樣一看，AAT=UDUT是不是和前面那個(gè)理論非常相似。那么U的列向量應(yīng)該是對(duì)稱矩陣AAT的特征向量，D應(yīng)該是一個(gè)對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上值是對(duì)稱矩陣AAT的特征值。

ATA＝VSTUTUSVT＝VSTSVT＝VWVT(2)

同樣，V的列向量則是對(duì)稱矩陣ATA的特征向量,而W則是一個(gè)n×n的對(duì)角矩陣。這里W和D實(shí)際上是相同的，只是對(duì)角線上后面的0的數(shù)量不一樣。



可以看出，矩陣S主對(duì)角線上的值，實(shí)際上是對(duì)稱矩陣AAT或ATA特征值的平方根。

所以，實(shí)際上svd是一個(gè)矩陣分解方法，對(duì)于任意一個(gè)m×n的矩陣A，svd都可以將其分解成為A＝USVT。其中矩陣U的列向量是對(duì)稱矩陣AAT的特征向量，稱作左奇異矩陣；矩陣V的的列向量是對(duì)稱矩陣ATA的特征向量；S是一個(gè)m×n的矩陣，主對(duì)角線上的值是對(duì)稱矩陣AAT或ATA特征值的平方根，稱作奇異值，且非對(duì)角線上的值為0.

不知道寫到這里，大家是不是對(duì)svd有了一個(gè)比較具體的印象。然而，上面只是從數(shù)學(xué)上解釋了svd的構(gòu)成，我們好奇的是，從很多地方，我們都聽到了svd，即使如上面所述，它長的是這個(gè)樣子，但是我們它到底可以用來做什么事情呢？

下面我們舉幾個(gè)svd的實(shí)際應(yīng)用，加深我們對(duì)它的理解。

1）有損的數(shù)據(jù)壓縮
假設(shè)我們有一個(gè)m×n的矩陣A，它表示一組數(shù)據(jù)

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