奇異值分解SVD應(yīng)用——LSI

在自然語言處理中，最常見的兩類的分類問題分別是，將文本按主題歸類（比如將所有介紹亞運(yùn)會(huì)的新聞歸到體育類）和將詞匯表中的字詞按意思?xì)w類（比如將各種體育運(yùn)動(dòng)的名稱個(gè)歸成一類）。這兩種分類問題都可用通過矩陣運(yùn)算來圓滿地、同時(shí)解決。為了說明如何用矩陣這個(gè)工具類解決這兩個(gè)問題的，讓我們先來來回顧一下我們在余弦定理和新聞分類中介紹的方法。
分類的關(guān)鍵是計(jì)算相關(guān)性。我們首先對兩個(gè)文本計(jì)算出它們的內(nèi)容詞，或者說實(shí)詞的向量，然后求這兩個(gè)向量的夾角。當(dāng)這兩個(gè)向量夾角為零時(shí)，新聞就相關(guān)；當(dāng)它們垂直或者說正交時(shí)，新聞則無關(guān)。當(dāng)然，夾角的余弦等同于向量的內(nèi)積。從理論上講，這種算法非常好。但是計(jì)算時(shí)間特別長。通常，我們要處理的文章的數(shù)量都很大，至少在百萬篇以上，二次回標(biāo)有非常長，比如說有五十萬個(gè)詞（包括人名地名產(chǎn)品名稱等等）。如果想通過對一百萬篇文章兩篇兩篇地成對比較，來找出所有共同主題的文章，就要比較五千億對文章?，F(xiàn)在的計(jì)算機(jī)一秒鐘最多可以比較一千對文章，完成這一百萬篇文章相關(guān)性比較就需要十五年時(shí)間。注意，要真正完成文章的分類還要反復(fù)重復(fù)上述計(jì)算。
在文本分類中，另一種辦法是利用矩陣運(yùn)算中的奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱 SVD)。現(xiàn)在讓我們來看看奇異值分解是怎么回事。首先，我們可以用一個(gè)大矩陣A來描述這一百萬篇文章和五十萬詞的關(guān)聯(lián)性。這個(gè)矩陣中，每一行對應(yīng)一篇文章，每一列對應(yīng)一個(gè)詞。

在上面的圖中，M=1,000,000，N=500,000。第 i 行，第 j 列的元素，是字典中第 j 個(gè)詞在第 i 篇文章中出現(xiàn)的加權(quán)詞頻（比如，TF/IDF)。讀者可能已經(jīng)注意到了，這個(gè)矩陣非常大，有一百萬乘以五十萬，即五千億個(gè)元素。
奇異值分解就是把上面這樣一個(gè)大矩陣，分解成三個(gè)小矩陣相乘，如下圖所示。比如把上面的例子中的矩陣分解成一個(gè)一百萬乘以一百的矩陣X，一個(gè)一百乘以一百的矩陣B，和一個(gè)一百乘以五十萬的矩陣Y。這三個(gè)矩陣的元素總數(shù)加起來也不過1.5億，僅僅是原來的三千分之一。相應(yīng)的存儲(chǔ)量和計(jì)算量都會(huì)小三個(gè)數(shù)量級(jí)以上。

三個(gè)矩陣有非常清楚的物理含義。第一個(gè)矩陣X中的每一列表示一類主題，其中的每個(gè)非零元素表示一個(gè)主題與一篇文章的相關(guān)性，數(shù)值越大越相關(guān)。最后一個(gè)矩陣Y中的每一列表示100個(gè)關(guān)鍵詞，每個(gè)key word與500，000個(gè)詞的相關(guān)性。中間的矩陣則表示文章主題和keyword之間的相關(guān)性。因此，我們只要對關(guān)聯(lián)矩陣A進(jìn)行一次奇異值分解，w 我們就可以同時(shí)完成了近義詞分類和文章的分類。（同時(shí)得到每類文章和每類詞的相關(guān)性）。

比如降至2維（rank=2），則document-term的關(guān)系可以在下面二維圖中展現(xiàn)：

在圖上，每一個(gè)紅色的點(diǎn)，都表示一個(gè)詞，每一個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)，都表示一篇文檔，這樣我們可以對這些詞和文檔進(jìn)行聚類，比如說stock 和 market可以放在一類，因?yàn)樗麄兝鲜浅霈F(xiàn)在一起，real和estate可以放在一類，dads，guide這種詞就看起來有點(diǎn)孤立了，我們就不對他們進(jìn)行合并了。按這樣聚類出現(xiàn)的效果，可以提取文檔集合中的近義詞，這樣當(dāng)用戶檢索文檔的時(shí)候，是用語義級(jí)別（近義詞集合）去檢索了，而不是之前的詞的級(jí)別。這樣一減少我們的檢索、存儲(chǔ)量，因?yàn)檫@樣壓縮的文檔集合和PCA是異曲同工的，二可以提高我們的用戶體驗(yàn)，用戶輸入一個(gè)詞，我們可以在這個(gè)詞的近義詞的集合中去找，這是傳統(tǒng)的索引無法做到的。

現(xiàn)在剩下的唯一問題，就是如何用計(jì)算機(jī)進(jìn)行奇異值分解。這時(shí)，線性代數(shù)中的許多概念，比如矩陣的特征值等等，以及數(shù)值分析的各種算法就統(tǒng)統(tǒng)用上了。在很長時(shí)間內(nèi)，奇異值分解都無法并行處理。（雖然 Google 早就有了MapReduce 等并行計(jì)算的工具，但是由于奇異值分解很難拆成不相關(guān)子運(yùn)算，即使在 Google 內(nèi)部以前也無法利用并行計(jì)算的優(yōu)勢來分解矩陣。）最近，Google 中國的張智威博士和幾個(gè)中國的工程師及實(shí)習(xí)生已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了奇異值分解的并行算法，我認(rèn)為這是 Google 中國對世界的一個(gè)貢獻(xiàn)。

最后說說個(gè)人拙見，這里我們可以把document和term（word）中間加上一層latent semantics項(xiàng)，那么上圖中的X和Y矩陣就可以分別表示同一個(gè)latent semantics對不同document之間的相關(guān)性和同一latent semantics在不同terms之間的相關(guān)性聯(lián)系。X和Y的大小分別是m*r與r*n，r為A矩陣的rank（秩），最后，B是A的r個(gè)奇異值組成的對角方陣（r*r），在譜分解中也就是A的r個(gè)特征值。