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【機(jī)器學(xué)習(xí)】梯度、Hessian矩陣、平面方程的法線以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的含義
2017-07-24
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【機(jī)器學(xué)習(xí)】梯度、Hessian矩陣、平面方程的法線以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的含義

想必單獨(dú)論及“ 梯度、Hessian矩陣、平面方程的法線以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)”等四個(gè)基本概念的時(shí)候，絕大部分人都能夠很容易地談個(gè)一二三，基本沒(méi)有問(wèn)題。

其實(shí)在應(yīng)用的時(shí)候，這幾個(gè)概念經(jīng)常被混淆，本文試圖把這幾個(gè)概念之間的關(guān)系整理一下，以便應(yīng)用之時(shí)得心應(yīng)手。

這四個(gè)概念中，Hessian矩陣是最不容易混淆，但卻是很多人難以記住的概念，其它三個(gè)概念很容易記住，但卻在某些時(shí)候很容易混淆。

Hessian矩陣：設(shè)有凸函數(shù)f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，Hessian矩陣M定義為：M的第i行,第j列元素為df(X)/dxidxj, 即為f(X)對(duì)于變量xi和xj的二次偏導(dǎo)數(shù)。

梯度：設(shè)有凸函數(shù)f(X)，X是向量（x1,x2,..., xn)，函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0處的梯度是一個(gè)向量，等于（df(X0)/dx1, df(X0)/dx2, ...., df(X0)/dxn), 即是對(duì)于各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)的向量。例子：如果方程是z=f(x,y)，梯度是在XOY平面內(nèi)的一個(gè)向量，與z無(wú)關(guān)。因此要特別注意梯度不是點(diǎn)(X，f(X))處的切線方向。

平面方程的法線：設(shè)平面方程Ax+By+Cz+D = 0，向量（A, B, C)為這個(gè)平面的法線方向。

函數(shù)導(dǎo)數(shù)：二維直線的方程y= kx+b，我們說(shuō)k是直線的斜率；二維曲線y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f '(x)表示在點(diǎn)x處的切線的斜率，注意是切線的斜率，不是切線的方向，它是標(biāo)量，不是向量。任意曲線y=f(x1,x2,...xn)，對(duì)每一個(gè)變量求取偏導(dǎo)數(shù)，得到一個(gè)向量（df(X)/dx1, df(X)/dx2, ...., df(X)/dxn)，這個(gè)向量就是函數(shù)在點(diǎn)X處的梯度，即梯度是表示曲線f(X)在X處變化最劇烈的方向，特別注意梯度并不是在點(diǎn)(X, f(X))處的切線方向, 梯度只是在點(diǎn)(X, f(X))處的切線方向在X構(gòu)成的“平面”上的投影。注意，對(duì)于二維直線y=kx+b，它也是可以求取梯度的，它的梯度是向量（k），只有一個(gè)值，表示的是x方向上的向量，大小是x方向上的單位變化導(dǎo)致y變化量的大小，即就是切線的斜率。

一個(gè)問(wèn)題，我們把二維直線方程y=-kx-b寫(xiě)為平面方程的形式，kx + y+b = 0，這個(gè)時(shí)候怎么理解？我們可以理解為把y=-kx-b這條直線往z軸的兩個(gè)方向拉伸得到的平面，就是kx+y+b=0。那么這個(gè)平面方程的法線就是（k, 1, 0)，這個(gè)法線向量與平面kx+y+b=0垂直，這個(gè)時(shí)候如果我們用XOY平面去與這個(gè)平面相交，即令z=0，就表示直線y=-kx-b，因此法線（k,1)是與直線垂直的。注意y=-kx -b的導(dǎo)數(shù)的含義：（-k）表示的是x軸方向的梯度，值為直線的斜率。
一定要注意平面方程的形式與其它三個(gè)概念的方程形式是不同的，平面方程的右邊是0，而其它三個(gè)概念的方程中必須有一個(gè)變量在等式的左邊，可以表示為f(X)，或者y等形式，本質(zhì)上f(X)和y都表示的是一個(gè)變量，只有方程的形式對(duì)的時(shí)候才能適用相關(guān)的計(jì)算，例如，我們不能對(duì)方程Ax+By+Cz+D =0，使用梯度或者導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，這個(gè)地方非常容易混淆，特此提醒！


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