R語(yǔ)言與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)（核密度估計(jì)）

核密度估計(jì)是在概率論中用來(lái)估計(jì)未知的密度函數(shù)，屬于非參數(shù)檢驗(yàn)方法之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。

假設(shè)我們有n個(gè)數(shù)X1-Xn,我們要計(jì)算某一個(gè)數(shù)X的概率密度有多大。核密度估計(jì)的方法是這樣的：

其中K為核密度函數(shù),h為設(shè)定的窗寬。

核密度估計(jì)的原理其實(shí)是很簡(jiǎn)單的。在我們對(duì)某一事物的概率分布的情況下。如果某一個(gè)數(shù)在觀察中出現(xiàn)了，我們可以認(rèn)為這個(gè)數(shù)的概率密度很大，和這個(gè)數(shù)比較近的數(shù)的概率密度也會(huì)比較大，而那些離這個(gè)數(shù)遠(yuǎn)的數(shù)的概率密度會(huì)比較小?；谶@種想法，針對(duì)觀察中的第一個(gè)數(shù)，我們都可以f(x-xi)去擬合我們想象中的那個(gè)遠(yuǎn)小近大概率密度。當(dāng)然其實(shí)也可以用其他對(duì)稱(chēng)的函數(shù)。針對(duì)每一個(gè)觀察中出現(xiàn)的數(shù)擬合出多個(gè)概率密度分布函數(shù)之后，取平均。如果某些數(shù)是比較重要，某些數(shù)反之，則可以取加權(quán)平均。

但是核密度的估計(jì)并不是，也不能夠找到真正的分布函數(shù)。我們可以舉一個(gè)極端的例子：在R中輸入：

plot(density(rep(0, 1000)))

可以看到它得到了正態(tài)分布的曲線，但實(shí)際上呢？從數(shù)據(jù)上判斷，它更有可能是一個(gè)退化的單點(diǎn)分布。

但是這并不意味著核密度估計(jì)是不可取的，至少他可以解決許多模擬中存在的異方差問(wèn)題。比如說(shuō)我們要估計(jì)一下下面的一組數(shù)據(jù)：

可以看出它是由300個(gè)服從gamma（2,2）與100個(gè)gamma（10,2）的隨機(jī)數(shù)構(gòu)成的，他用參數(shù)統(tǒng)計(jì)的辦法是沒(méi)有辦法得到一個(gè)好的估計(jì)的。那么我們嘗試使用核密度估計(jì)：

plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))  

將利用正態(tài)核密度與標(biāo)準(zhǔn)密度函數(shù)作對(duì)比

得到下圖：

（紅色的曲線為真實(shí)密度曲線）

可以看出核密度與真實(shí)密度相比，得到大致的估計(jì)是不成問(wèn)題的。至少趨勢(shì)是得到了的。如果換用gamma分布的核效果無(wú)疑會(huì)更好，但是遺憾的是r中并沒(méi)有提供那么多的核供我們挑選（其實(shí)我們知道核的選擇遠(yuǎn)沒(méi)有窗寬的選擇來(lái)得重要），所以也無(wú)需介懷。

R中提供的核：kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular",                   "triangular", "biweight","cosine", "optcosine")。

我們先來(lái)看看窗寬的選擇對(duì)核密度估計(jì)的影響：

得到下圖，我們可以清楚的看到帶寬為0.8恰好合適，其余的不是擬合不足便是過(guò)擬合。

窗寬究竟該如何選擇呢？

我們這里不加證明的給出最佳窗寬選擇公式：

(這個(gè)基于積分均方誤差最小的角度得到的)

這里介紹兩個(gè)可操作的窗寬估計(jì)辦法：(這兩種方法都比較容易導(dǎo)致過(guò)分光滑)

1、  Silverman大拇指法則

這里使用R(phi’’)/sigma^5估計(jì)R（f’’），phi代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)，得到h的表達(dá)式：

h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma

2、  極大光滑原則

h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma

當(dāng)然也有比較麻煩的窗寬估計(jì)辦法，比如缺一交叉驗(yàn)證，插入法等，可以參閱《computational statistics》一書(shū)

我們用上面的兩種辦法得到的窗寬是多少，他的核密度估計(jì)效果好嗎？

我們還是以上面的混合正態(tài)數(shù)據(jù)為例來(lái)看看效果。

使用大拇指法則，將數(shù)據(jù)n=400,sigma=3.030658,帶入公式，h=0.9685291

使用極大光滑原則，假設(shè)K為正態(tài)核，R(K)=1/(sqrt(2*pi))，h=1.121023

可以看出他們都比我們認(rèn)為的h=0.8要大一些，作圖如下：

    plot(density(data,bw=0.9685))  

plot(density(data,bw=1.1210)) 

由我們給出的

以Gauss核為例做核密度估計(jì)

用Gauss核做核密度估計(jì)的R程序如下（還是使用我們的混合正態(tài)密度的例子）：

作圖如下：

最后說(shuō)一個(gè)R的內(nèi)置函數(shù)density（）。其實(shí)我覺(jué)得如果不是為了簡(jiǎn)要介紹核密度估計(jì)的一些常識(shí)我們完全可以只學(xué)會(huì)這個(gè)函數(shù)

先看看函數(shù)的基本用法：

density(x, ...)

## Default S3 method:

density(x, bw = "nrd0", adjust = 1,

        kernel = c("gaussian", "epanechnikov", "rectangular",

                   "triangular", "biweight",

                   "cosine", "optcosine"),

        weights = NULL, window = kernel, width,

        give.Rkern = FALSE,

        n = 512, from, to, cut = 3, na.rm = FALSE, ...)

對(duì)重要參數(shù)做出較為詳細(xì)的說(shuō)明：

X:我們要進(jìn)行核密度估計(jì)的數(shù)據(jù)

Bw:窗寬，這里可以由我們自己制定，也可以使用默認(rèn)的辦法nrd0: Bandwidth selectors for Gaussian kernels。我們還可以使用bw.SJ(x,nb = 1000, lower = 0.1 * hmax, upper = hmax,      method = c("ste","dpi"), tol = 0.1 * lower)，這里的method =”dpi”就是前面提到過(guò)的插入法，”ste”代表solve-the-equationplug-in，也是插入法的改進(jìn)

Kernel：核的選擇

Weights:對(duì)比較重要的數(shù)據(jù)采取加權(quán)處理

對(duì)于上述混合正態(tài)數(shù)據(jù)data，有

> density(data)

Call:

       density.default(x = data)

Data: data (400 obs.);  Bandwidth 'bw' = 0.8229

      x                 y           

 Min.  :-7.5040   Min.   :0.0000191

 1stQu.:-3.5076   1st Qu.:0.0064919

 Median : 0.4889   Median :0.0438924

 Mean   :0.4889   Mean   :0.0624940

 3rdQu.: 4.4853   3rd Qu.:0.1172919

 Max.   :8.4817   Max.   :0.1615015

知道帶寬：h=0.8229（采取正態(tài)密度核）那么帶入密度估計(jì)式就可以寫(xiě)出密度估計(jì)函數(shù)。

最后以faithful數(shù)據(jù)集為例說(shuō)明density的用法：

R數(shù)據(jù)集faithful是old faithful火山爆發(fā)的數(shù)據(jù)，其中“eruption”是火山爆發(fā)的持續(xù)時(shí)間，waiting是時(shí)間間隔

對(duì)數(shù)據(jù)“eruption”做核密度估計(jì)

R程序：

知道h= 0.3348

作圖：