R語言主成分分析

解決自變量之間的多重共線性和減少變量個(gè)數(shù)

根據(jù)主成分分析的原理，它一方面可以將k個(gè)不獨(dú)立的指標(biāo)變量通過線性變換變成k個(gè)相互獨(dú)立的新變量，這是解決多重共線性問題的一個(gè)重要方法；另一方面。主成分分析可以用較少的變量取代較多的不獨(dú)立的原變量，減少分析中變量的個(gè)數(shù)。概括地說，主成分分析有以下幾方面的應(yīng)用。

I.相關(guān)R函數(shù)以及實(shí)例
主成分分析相關(guān)的R函數(shù)：
prinpomp() 作主成分分析最重要的函數(shù)
summary() 提取主成分的信息
loadings() 顯示主成分分析或因子分析中的loadings(載荷)，在這里是主成分對應(yīng)的各列
predict() 預(yù)測主成分的值
screeplot() 畫出主成分的碎石圖
biplot() 畫出數(shù)據(jù)關(guān)于主成分的散點(diǎn)圖和原坐標(biāo)在主成分下的方向

例1. 肝病患者功能指標(biāo)的主成分分析：

某醫(yī)學(xué)院測得20例肝病患者的4項(xiàng)肝功能指標(biāo)：SGPT（轉(zhuǎn)氨酶）、肝大指數(shù)、ZnT（硫酸鋅濁度）和AFP（胎甲球蛋白），分別用X1-X4表示，研究數(shù)據(jù)見以下程序，試進(jìn)行主成分分析
#從sas導(dǎo)出數(shù)據(jù)存為csv格式，輸入數(shù)據(jù)
princomp1 <- read.csv("princomp1.csv",header=T)
#生成相關(guān)矩陣  p513
cor(princomp1)

#作主成分分析
princomp1.pr <- princomp(princomp1,cor = TRUE)
#或者用 princomp1.pr <- princomp(~X1+X2+X3+X4,data=princomp1,cor=TRUE)
#顯示分析結(jié)果，loadings（載荷）
summary(princomp1.pr,loadings = TRUE)
##predict(princomp1.pr),顯示各樣本的主成分的值，數(shù)據(jù)太多不顯示
#畫出主成分的碎石圖,主成分特征值的大小構(gòu)成的陡坡圖
screeplot(princomp1.pr,type = "lines")
#畫出數(shù)據(jù)關(guān)于前兩個(gè)主成分的散點(diǎn)圖和原坐標(biāo)在主成分下的方向(比如，傾向第一主成分，可選擇4、9、8等編號。箭頭代表xi在主成分下的方向)
biplot(princomp1.pr)
summary()列出結(jié)果的重要信息,Standard deviation行表示的是主成分的標(biāo)準(zhǔn)差，也就是特征值λ1，λ2，λ3，λ4的開方
Proportion of Variance行表示的是方差的貢獻(xiàn)率
Cumulative Proportion行表示的是方差的累計(jì)貢獻(xiàn)率

前兩個(gè)特征值均大于1，第3個(gè)接近于1，第4個(gè)遠(yuǎn)小于1。特征值越大，它所對應(yīng)的主成分變量包含的信息就越多，第1-4個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率分別為42.95%、27.33%、24.53%、5.17%，前3個(gè)主成分就包含了原來4個(gè)指標(biāo)的94.82的信息，即能夠解釋94.82%的方差。因此，確定主成分的個(gè)數(shù)為3比較合理

loadings=TRUE，則結(jié)果列出了loadings（載荷）的內(nèi)容，它實(shí)際上是主成分對于原始變量X1，X2，X3，X4的系數(shù)。也是特征值對應(yīng)的特征向量，它們是線性無關(guān)的單位向量。第1列表示第1主成分z1的得分系數(shù)，依次類推。據(jù)此可以寫出由標(biāo)準(zhǔn)化變量所表達(dá)的各主成分的關(guān)系式，即：
Z1 = 0.700X1 +0.690X2 +0.163X4
Z2、Z3、Z4同上

由碎石圖可以看出 第二個(gè)主成分之后 圖線變化趨于平穩(wěn) 因此可以選擇前兩個(gè)主成分做分析

在各主成分的表達(dá)式中，各標(biāo)準(zhǔn)化指標(biāo)Xi前面的系數(shù)與該主成分所對應(yīng)的特征值之平方根的乘積是該主成分與該指標(biāo)之間的相關(guān)系數(shù)。系數(shù)的絕對值越大，說明該主成分受該指標(biāo)的影響也越大。因此，決定第1主成分Z1大小的主要為X1和X2，即SGPT和肝大指數(shù)；決定第2主成分Z2大小的主要為X3，即ZnT；決定第3主成分Z3大小的主要為X4，即AFP；決定第4主成分大小的主要為X1和X2，但作用相反。這提示：Z1指向急性炎癥；Z2指向慢性炎癥；Z3指向原發(fā)性肝癌可疑；Z4貢獻(xiàn)率很小，僅作參考，它可能指向其他肝病。

II.主成分分析的應(yīng)用

除了減少自變量的個(gè)數(shù)外，主成分分析可以用來解決自變量共線性的問題。線性回歸分析要求自變量是相互獨(dú)立的，但是在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到自變量相關(guān)的問題。這時(shí)，一個(gè)好的可行的方法就是借助于主成分分析，用主成分回歸來求回歸系數(shù)。即先用主成分分析法計(jì)算出主成分表達(dá)式和主成分得分變量，而主成分得分變量相互獨(dú)立，因此可以將因變量對主成分得分變量回歸，然后將主成分的表達(dá)式代回回歸模型中，即可得到標(biāo)準(zhǔn)化自變量與因變量的回歸模型，最后將標(biāo)準(zhǔn)化自變量轉(zhuǎn)為原始自變量。

例2. 影響女大學(xué)生肺活量因素的多元回歸分析

某學(xué)校20名一年級大學(xué)生體重（公斤）、胸圍（厘米）、肩寬（厘米）及肺活量（升）實(shí)測值如下表所示，試對影響女大學(xué)生肺活量的有關(guān)因素作多元回歸分析
1） 模型共線性診斷

princomp2 <- read.csv("princomp2.csv",header=T)
#作線性回歸
lm.sol<-lm(y~x1+x2+x3, data=princomp2)
summary(lm.sol)

由summary結(jié)果，按三個(gè)變量得到回歸方程： Y=-4.71 + 0.06X1 +0.036X2 +0.049X3

從參數(shù)估計(jì)值t檢驗(yàn)的結(jié)果可以看出：變量x1和x2的參數(shù)估計(jì)值顯著性均<0.05，說明參數(shù)估計(jì)值與0有顯著的區(qū)別，而x3的參數(shù)估計(jì)值與0無顯著的區(qū)別。

共線性診斷

#共線性診斷
#利用kappa函數(shù),計(jì)算自變量矩陣的條件數(shù);從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的角度,一般若條件數(shù)<100,則認(rèn)為多重共線性的程度很小,若100<=條件數(shù)<=1000,則認(rèn)為存在中等程度的多重共線性,若條件數(shù)>1000,則認(rèn)為存在嚴(yán)重的多重共線性.
x <- cor(princomp2)
kappa(x, exact=T)
#可以計(jì)算X矩陣的秩qr(X)$rank，如果不是滿秩的，說明其中有Xi可以用其他的X的線性組合表示
qr(princomp2)$rank

#相關(guān)系數(shù)矩陣
cor(princomp2[,-c(0,4)])

#特征根法。根據(jù)矩陣性質(zhì)，矩陣的行列式等于其特征根的連乘積。因而當(dāng)行列式|X′X|→0，矩陣X′X至少有一個(gè)特征根近似等于零。說明解釋變量之間存在多重共線性。
#輸出的內(nèi)容分別為特征值和相對應(yīng)的特征向量，矩陣中的每一列都為特征向量。
x <- cbind(rep(1,length(princomp2[,1])),princomp2[,-c(0,4)])  
x <- as.matrix(x)     #以1，x1，x2，x3為四列的矩陣
eigen(t(x)%*%x)   #x的轉(zhuǎn)置*x 的特征向量

#條件指數(shù)法（Conditional Index，CI）。條件指數(shù)CI=（λmax/λmin）0.5，其中λmax，λmin分別是矩陣XX′的最大和最小特征根。條件指數(shù)度量了矩陣XX′的特征根散布程度，可以用來判斷多重共線性是否存在以及多重共線性的嚴(yán)重程度。一般認(rèn)為，當(dāng)0<CI<10 時(shí)，X 沒有多重共線性；當(dāng)10<CI<100 時(shí)， X存在較強(qiáng)的多重共線性；當(dāng)CI>100 時(shí)，存在嚴(yán)重的多重共線性。
#條件判別法，計(jì)算的條件指數(shù)值
CI <- eigen(t(x)%*%x)$values[1]/eigen(t(x)%*%x)$value[3]    #value指eigen()函數(shù)的特征值value的第一個(gè)值
CI

#方差膨脹因子（Variance Inflation Factors，VIF）。自變量j X 的方差擴(kuò)大因子VIFj=Cjj=1/（1-Rj2），j=1，2，…p，其中C j j為(X ' X)???1中第 j個(gè)對角元素， R j 2為Xj為因變量,其余 p ???1個(gè)自變量為自變量的回歸可決系數(shù),也即復(fù)相關(guān)系數(shù)。

#方差膨脹因子法.若變量膨脹因子都很大，則表明存在嚴(yán)重的多重共線性
library(car)
vif(lm.sol)

觀察特征向量，x2和x3出現(xiàn)0.91981490和0.999931723，這個(gè)結(jié)果接近1。如果一個(gè)模型中同時(shí)包含這兩個(gè)變量，得到的結(jié)果就會很不穩(wěn)定，甚至產(chǎn)生誤導(dǎo)

2） 對原始變量主成分分析
#基本統(tǒng)計(jì)量，包括mean，sd，相關(guān)系數(shù)矩陣,相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值特征向量
mean <- c( mean(princomp2$x1),mean(princomp2$x2),mean(princomp2$x3))
sd <- c(sd(princomp2$x1),sd(princomp2$x2),sd(princomp2$x3))
rbind(mean,sd)
cor(princomp2[,-c(0,4)])    #相關(guān)系數(shù)矩陣，設(shè)置[]就只取x1，x2，x3三列，不取y  
eigen(cor(princomp2[,-c(0,4)]))    #求princomp2[]的特征值和特征向量

#作主成分分析
princomp2.pr<-princomp(~x1+x2+x3, data=princomp2, cor=T)
summary(princomp2.pr, loadings=TRUE)
#predict(princomp2.pr) 各樣本的主成分的值，結(jié)果篇幅太長，略

從特征值和解釋比例來看，第一主成分和第二主成分的特征值很大，能夠解釋的因變量變動(dòng)已經(jīng)達(dá)到0.8827，因此，我們可以選擇前兩個(gè)主成分來表示3個(gè)指標(biāo)的信息。用原始變量表達(dá)前兩個(gè)主成分的式子如下：

Z1=-0.585003X1-0.447445X2-0.676435X3

Z2=0.55658X1-0.828133X2+0.066442X3

其中Xi為標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)變量，Xi = (xi-x均)/si, i=1,2,3
3） 對主成分得分變量進(jìn)行回歸分析

# 預(yù)測樣本主成分, 并作主成分分析
pre<-predict(princomp2.pr)
princomp2$z1<-pre[,1]
princomp2$z2<-pre[,2]
princomp2$z3<-pre[,3]
lm.sol<-lm(y~z1+z2+z3, data=princomp2)
summary(lm.sol)

#write.csv(princomp2,"princomp2_test.csv")

模型檢驗(yàn)的結(jié)果F值為21.23，顯著性P<0.001，拒絕原假設(shè)，說明主成分得分變量z1和z2均與因變量y具有顯著的相關(guān)關(guān)系

截距項(xiàng)和β1的t檢驗(yàn)顯著性p值均<0.0001，說明主成分z1與y顯著相關(guān)，而β2的顯著性沒有意義（p=0.942），則因變量y在主成分上的線性回歸方程式:
                    Y=2.76300-0.309737  * z1

                     =2.76300-0.309737 * (-0.585003 * X1-0.447445 * X2-0.676435 * X3)   

                     =2.76300 + 0.1811971 * X1 +0.1385903 * X2 + 0.2095169 * X3         

#以x1，x2，x3為三列組成的矩陣A
A <- cbind(princomp2$x1,princomp2$x2,princomp2$x3)
#取x1,x2,x3和X1，X2，X3
x1 <- A[,1]
x2 <- A[,2]
x3 <- A[,3]
X1 <- (x1 - mean(princomp2$x1)) / sd(princomp2$x1)
X2 <- (x2 - mean(princomp2$x2)) / sd(princomp2$x2)
X3 <- (x3 - mean(princomp2$x3)) / sd(princomp2$x3)
#建模算得的結(jié)果
Y <- 2.76300 + 0.1811971 * X1 +0.1385903 * X2 + 0.2095169 * X3
Y  #去除β2影響的回歸方程
Z <- -4.128216 + 0.04583787 * x1 + 0.02943588 * x2 + 0.06849709 * x3
Z  #換算成用x1，x2，x3表示的式子
I <- -4.27585990 + 0.04774617 * x1 + 0.02930425 * x2 + 0.07038718 * x3
I  #編寫計(jì)算系數(shù)的函數(shù)結(jié)果，沒有去除β2影響的回歸方程
X1=(x1-49.510)/3.953

X2=(x2-78.790000)/4.708212

X3=(x3-33.615000)/3.058771

將標(biāo)準(zhǔn)自變量還原為原始自變量，X1，X2，X3用x1，x2，x3表示，得到因變量y對原始自變量的回歸模型：

Y = 2.76300 + 0.1811971 * (x1-49.510)/3.953 + 0.1385903 * (x2-78.790000)/4.708212 + 0.2095169 * (x3-33.615000)/3.058771

= 2.76300 + 0.04583787 * (x1-49.51000) + 0.02943588 * (x2-78.79000) + 0.06849709 * (x3-33.615000)

即: Y= -4.128216 + 0.04583787 * x1 + 0.02943588 * x2 + 0.06849709 * x3

這就是用主成分回歸分析方法求得的線性回歸模型

上述例子是先求summary(lm())，根據(jù)p值得到主成分，去除其他zi，得到回歸方程

我們還可以先確定主成分，只將主成分的預(yù)測值存放在數(shù)據(jù)框中，lm()函數(shù)中y~只對主成分，直接得到回歸方程
下面是這種方法回歸方程系數(shù)的計(jì)算函數(shù)：

編寫計(jì)算系數(shù)的函數(shù)
#這里得到回歸方程的系數(shù)，是沒有去除z2（β2）影響的，在上面用I表示
#作變換，得到原坐標(biāo)下的關(guān)系表達(dá)式
beta<-coef(lm.sol); A<-loadings(princomp2.pr)
x.bar<-princomp2.pr$center; x.sd<-princomp2.pr$scale
coef<-(beta[2]*A[,1]+ beta[3]*A[,2])/x.sd
beta0 <- beta[1]- sum(x.bar * coef)
c(beta0, coef)
* 回歸方程為： Y = -4.27585990 + 0.04774617 x1 + 0.02930425 * x2 + 0.07038718 * x3 **

write.csv(princomp1,"write_princomp1.csv")
write.csv(princomp2,"write_princomp2.csv")