SPSS分析技術(shù):最小一乘法;制造企業(yè)如何合理安排生產(chǎn)計(jì)劃

最小二乘法的原理是以預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值之差（殘差）的平方和達(dá)到最小作為判斷模型優(yōu)劣的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)用十分廣泛。沒有放之四海而皆準(zhǔn)的真理，最小二乘法同樣不是萬(wàn)能的，它也有自身的弱點(diǎn)，最主要的缺點(diǎn)就是對(duì)強(qiáng)影響點(diǎn)（極端數(shù)據(jù)值）特別敏感。大家可以想象，最小二乘法評(píng)價(jià)模型好壞的標(biāo)準(zhǔn)是殘差平方和，因此，絕對(duì)值越大的殘差（極端值），平方之后，該數(shù)據(jù)值的影響就會(huì)被放得更大，從而導(dǎo)致回歸線會(huì)明顯偏向強(qiáng)影響點(diǎn)。因此，在存在異常值（極端值）時(shí)，可以考慮采用其它的回歸模型擬合方法。本篇文章介紹的就是其中一種替代性方法，最小一乘法。

最小一乘法的原理其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是將最小二乘法中考察的殘差平方和換成殘差絕對(duì)值，這樣可以在一定程度上減小極端值（異常值）對(duì)模型趨勢(shì)的影響力。由于原理簡(jiǎn)單，本篇文章就不在原理上多費(fèi)筆墨，直接用例題來介紹如何使用最小一乘法，以及它的效果如何。

應(yīng)用實(shí)例

超耗是制造企業(yè)都不愿意看到額外成本支出，特別是快消品類的制造企業(yè)，提高生產(chǎn)穩(wěn)定性，減低超耗成本直接關(guān)系到企業(yè)的生產(chǎn)成本。某國(guó)際知名的食品公司在中國(guó)投巨資建設(shè)了一家高度自動(dòng)化的熟食制造企業(yè)，在產(chǎn)品調(diào)試過程中超耗異常嚴(yán)重，所以計(jì)劃部門在前期物料準(zhǔn)備時(shí)都按倉(cāng)庫(kù)的最大存儲(chǔ)量備貨。生產(chǎn)逐步穩(wěn)定以后，計(jì)劃部門希望能夠通過對(duì)前期數(shù)據(jù)的分析，找到合理的原料儲(chǔ)備量，這樣既能夠減低原料過期風(fēng)險(xiǎn)，也能夠減少滯留在原料上的生產(chǎn)成本。已知該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品由5種原料構(gòu)成，但是成本主要受其中兩種原材料的影響，為及時(shí)調(diào)整生產(chǎn)，協(xié)調(diào)庫(kù)存，計(jì)劃部門收集了一批產(chǎn)品產(chǎn)量與兩種原材料消耗量的數(shù)據(jù)，希望建立原材料消耗量與產(chǎn)品產(chǎn)量間的回歸方程，用于生產(chǎn)原料預(yù)測(cè)和采購(gòu)參考。

分析思路

案例共有兩個(gè)自變量（兩種生產(chǎn)原料），一個(gè)因變量（產(chǎn)品產(chǎn)量）。根據(jù)常識(shí)可知，標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)的產(chǎn)品都是固定規(guī)格的，因此原料和產(chǎn)量間的關(guān)系是非常明確的線性關(guān)系，但是由于生產(chǎn)線上殘次品，生產(chǎn)工藝缺陷原因造成的物料損耗等必然超耗的存在，每種原料的真實(shí)使用量與產(chǎn)品規(guī)格內(nèi)原料比例存在差異。這里的超耗可以分成兩種情況，如果是由生產(chǎn)線不穩(wěn)定引起的，那么超耗的波動(dòng)是很大的，而且時(shí)高時(shí)低；如果是由工藝缺陷引起的超耗，那么這部分損耗在工藝缺陷沒有改進(jìn)取值會(huì)一直穩(wěn)定的存在。根據(jù)以上的分析，可以先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，然后與原有規(guī)格比例對(duì)比。

線性回歸分析

線性回歸分析的SPSS操作過程已經(jīng)在前面介紹過了（回顧：數(shù)據(jù)分析技術(shù)：多重線性模型；也難也不難的建模從這里開始吧！），這里省略操作步驟，直接解釋結(jié)果。

由上表的分析結(jié)果可知，兩種原材料都和產(chǎn)品產(chǎn)量有線性關(guān)系，相應(yīng)的二元線性回歸方程為：

為了觀察數(shù)據(jù)分布情況和回歸方程的擬合情況，繪制兩種原材料消耗量與產(chǎn)品產(chǎn)量之間散點(diǎn)圖：

從上圖可以看出，兩種原料消耗量和產(chǎn)量間均呈較明顯的線性關(guān)系，圖中還分別繪制出采用最小二乘法擬合出的兩個(gè)自變量回歸方程的回歸線。但其中原料1和原料2都存在一些數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離主要趨勢(shì)較遠(yuǎn)的情況出現(xiàn)，這也充分體現(xiàn)了新生產(chǎn)線生產(chǎn)過程不穩(wěn)定的特點(diǎn)，偶爾出現(xiàn)生產(chǎn)故障導(dǎo)致的原料消耗過多，在回歸模型中表現(xiàn)為強(qiáng)影響點(diǎn)（異常值）。由于后期生產(chǎn)會(huì)越來越穩(wěn)定，在保證生產(chǎn)的前提下，原料的使用量受極端值的影響情況會(huì)越來越少，因此可以考慮降低極端值對(duì)回歸曲線的影響力，采用最小一乘法擬合線性模型。

操作步驟

1、選擇菜單【分析】-【回歸】-【非線性回歸】，在跳出的對(duì)話框中進(jìn)行如下操作。在因變量框中選擇產(chǎn)量，在模型表達(dá)式框中輸入二元線性回歸方程a+b1*x1+b2*x2。由于線性回歸模型比較簡(jiǎn)單，可以將模型的三個(gè)參數(shù)初始擬合值都選為1。

2、由于我們希望對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小一乘法擬合，所以還需要進(jìn)行損失設(shè)置。點(diǎn)擊右上角的【損失】按鈕，在跳出的對(duì)話框中進(jìn)行如下操作。

3、點(diǎn)擊繼續(xù)，完成設(shè)置，然后點(diǎn)擊確定，輸出結(jié)果。

結(jié)果分析

由于最小一乘法在統(tǒng)計(jì)理論上無(wú)法進(jìn)行最小二乘法那樣嚴(yán)密的推導(dǎo)，所以分析結(jié)果非常簡(jiǎn)單，僅給出了迭代計(jì)算過程，最終迭代終止時(shí)的參數(shù)值即為參數(shù)估計(jì)值。下表是結(jié)果輸出的迭代計(jì)算記錄表，進(jìn)行了14次迭代計(jì)算。

從最后的迭代計(jì)算結(jié)果可知，最小的殘差絕對(duì)值之和為1029. 896。根據(jù)第14次的結(jié)果，可以寫出生產(chǎn)數(shù)據(jù)經(jīng)過最小一乘法擬合之后，得到的回歸方程結(jié)果為：

與最小二乘法得到的模型相比，三個(gè)模型參數(shù)的估計(jì)值都有很大變化，特別是常數(shù)項(xiàng)，從124減少為9.441。究竟哪個(gè)模型更為合理？由于過往用于判斷模型效果的決定系數(shù)、剩余標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)都是基于最小二乘法推導(dǎo)而來，因此無(wú)法使用它們來判斷。不過我們可以通過殘差分布圖來直觀判斷兩種結(jié)果的效果。

從散點(diǎn)圖可知，對(duì)于大部分紀(jì)錄，最小一乘法的預(yù)測(cè)殘差都要小于最小二乘法殘差，這說明一乘法模型對(duì)大部分散點(diǎn)的擬合效果是比二乘法好的。注意紅框中的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，最小一乘法的殘差明顯大于最小二乘法的，這說明最小一乘法對(duì)于強(qiáng)影響點(diǎn)（極端值）更有耐受力。我們可以做出下面的結(jié)論：最小一乘法擬合的模型對(duì)大多數(shù)散點(diǎn)的擬合效果比最小二乘法擬合的模型好，但對(duì)于個(gè)別強(qiáng)影響點(diǎn)的擬合效果是更差的。