SPSS因子分析法-例子解釋

因子分析的基本概念和步驟

一、因子分析的意義

在研究實(shí)際問題時(shí)往往希望盡可能多地收集相關(guān)變量，以期望能對(duì)問題有比較全面、完整的把握和認(rèn)識(shí)。例如，對(duì)高等學(xué)?？蒲袪顩r的評(píng)價(jià)研究，可能會(huì)搜集諸如投入科研活動(dòng)的人數(shù)、立項(xiàng)課題數(shù)、項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)、經(jīng)費(fèi)支出、結(jié)項(xiàng)課題數(shù)、發(fā)表論文數(shù)、發(fā)表專著數(shù)、獲得獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)等多項(xiàng)指標(biāo)；再例如，學(xué)生綜合評(píng)價(jià)研究中，可能會(huì)搜集諸如基礎(chǔ)課成績(jī)、專業(yè)基礎(chǔ)課成績(jī)、專業(yè)課成績(jī)、體育等各類課程的成績(jī)以及累計(jì)獲得各項(xiàng)獎(jiǎng)學(xué)金的次數(shù)等。雖然收集這些數(shù)據(jù)需要投入許多精力，雖然它們能夠較為全面精確地描述事物，但在實(shí)際數(shù)據(jù)建模時(shí)，這些變量未必能真正發(fā)揮預(yù)期的作用，“投入”和“產(chǎn)出”并非呈合理的正比，反而會(huì)給統(tǒng)計(jì)分析帶來很多問題，可以表現(xiàn)在：

?計(jì)算量的問題

由于收集的變量較多，如果這些變量都參與數(shù)據(jù)建模，無疑會(huì)增加分析過程中的計(jì)算工作量。雖然，現(xiàn)在的計(jì)算技術(shù)已得到了迅猛發(fā)展，但高維變量和海量數(shù)據(jù)仍是不容忽視的。

?變量間的相關(guān)性問題

收集到的諸多變量之間通常都會(huì)存在或多或少的相關(guān)性。例如，高?？蒲袪顩r評(píng)價(jià)中的立項(xiàng)課題數(shù)與項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)、經(jīng)費(fèi)支出等之間會(huì)存在較高的相關(guān)性；學(xué)生綜合評(píng)價(jià)研究中的專業(yè)基礎(chǔ)課成績(jī)與專業(yè)課成績(jī)、獲獎(jiǎng)學(xué)金次數(shù)等之間也會(huì)存在較高的相關(guān)性。而變量之間信息的高度重疊和高度相關(guān)會(huì)給統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用帶來許多障礙。例如，多元線性回歸分析中，如果眾多解釋變量之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，即存在高度的多重共線性，那么會(huì)給回歸方程的參數(shù)估計(jì)帶來許多麻煩，致使回歸方程參數(shù)不準(zhǔn)確甚至模型不可用等。類似的問題還有很多。

為了解決這些問題，最簡(jiǎn)單和最直接的解決方案是削減變量的個(gè)數(shù)，但這必然又會(huì)導(dǎo)致信息丟失和信息不完整等問題的產(chǎn)生。為此，人們希望探索一種更為有效的解決方法，它既能大大減少參與數(shù)據(jù)建模的變量個(gè)數(shù)，同時(shí)也不會(huì)造成信息的大量丟失。因子分析正式這樣一種能夠有效降低變量維數(shù)，并已得到廣泛應(yīng)用的分析方法。

因子分析的概念起源于20世紀(jì)初Karl Pearson和Charles Spearmen等人關(guān)于智力測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析。目前，因子分析已成功應(yīng)用于心理學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象、地址、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，并因此促進(jìn)了理論的不斷豐富和完善。

因子分析以最少的信息丟失為前提，將眾多的原有變量綜合成較少幾個(gè)綜合指標(biāo)，名為因子。通常，因子有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

?因子個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原有變量的個(gè)數(shù)

原有變量綜合成少數(shù)幾個(gè)因子之后，因子將可以替代原有變量參與數(shù)據(jù)建模，這將大大減少分析過程中的計(jì)算工作量。

?因子能夠反映原有變量的絕大部分信息

因子并不是原有變量的簡(jiǎn)單取舍，而是原有變量重組后的結(jié)果，因此不會(huì)造成原有變量信息的大量丟失，并能夠代表原有變量的絕大部分信息。

?因子之間的線性關(guān)系并不顯著

由原有變量重組出來的因子之間的線性關(guān)系較弱，因子參與數(shù)據(jù)建模能夠有效地解決變量多重共線性等給分析應(yīng)用帶來的諸多問題。

?因子具有命名解釋性

通常，因子分析產(chǎn)生的因子能夠通過各種方式最終獲得命名解釋性。因子的命名解

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釋性有助于對(duì)因子分析結(jié)果的解釋評(píng)價(jià)，對(duì)因子的進(jìn)一步應(yīng)用有重要意義。例如，對(duì)高?？蒲星闆r的因子分析中，如果能夠得到兩個(gè)因子，其中一個(gè)因子是對(duì)科研人力投入、經(jīng)費(fèi)投入、立項(xiàng)項(xiàng)目數(shù)等變量的綜合，而另一個(gè)是對(duì)結(jié)項(xiàng)項(xiàng)目數(shù)、發(fā)表論文數(shù)、獲獎(jiǎng)成果數(shù)等變量的綜合，那么，該因子分析就是較為理想的。因?yàn)檫@兩個(gè)因子均有命名可解釋性，其中一個(gè)反映了科研投入方面的情況，可命名為科研投入因子，另一個(gè)反映了科研產(chǎn)出方面的情況，可命名為科研產(chǎn)出因子。

總之，因子分析是研究如何以最少的信息丟失將眾多原有變量濃縮成少數(shù)幾個(gè)因子，如何使因子具有一定的命名解釋性的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。

二、因子分析的基本概念

1、因子分析模型

因子分析模型中，假定每個(gè)原始變量由兩部分組成：共同因子（common factors）和唯一因子（unique factors）。共同因子是各個(gè)原始變量所共有的因子，解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系。唯一因子顧名思義是每個(gè)原始變量所特有的因子，表示該變量不能被共同因子解釋的部分。原始變量與因子分析時(shí)抽出的共同因子的相關(guān)關(guān)系用因子負(fù)荷（factor loadings）表示。 因子分析最常用的理論模式如下：

Zj?aj1F1?aj2F2?aj3F3?????ajmFm?Uj（j=1,2,3…,n，n為原始變量總數(shù)） 可以用矩陣的形式表示為Z?AF?U。其中F稱為因子，由于它們出現(xiàn)在每個(gè)原始變量的線性表達(dá)式中（原始變量可以用Xj表示，這里模型中實(shí)際上是以F線性表示各個(gè)原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)Zj），因此又稱為公共因子。因子可理解為高維空間中互相垂直的m個(gè)坐標(biāo)軸，A稱為因子載荷矩陣，aji(j?1,2,3...n,i?1,2,3...m)稱為因子載荷，是第j個(gè)原始變量在第i個(gè)因子上的負(fù)荷。如果把變量Zj看成m維因子空間中的一個(gè)向量，則

相當(dāng)于多元線性回歸模型中的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)；U稱為aji表示Zj在坐標(biāo)軸Fi上的投影，

特殊因子，表示了原有變量不能被因子解釋的部分，其均值為0，相當(dāng)于多元線性回歸模型中的殘差。

其中，

（1）Zj為第j個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)；

（2）Fi（i=1,2,…,m）為共同因素；

（3）m為所有變量共同因素的數(shù)目；

（4）Uj為變量Zj的唯一因素；

（5）aji為因素負(fù)荷量。

2、因子分析數(shù)學(xué)模型中的幾個(gè)相關(guān)概念

?因子載荷（因素負(fù)荷量factor loadings）

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所謂的因子載荷就是因素結(jié)構(gòu)中，原始變量與因素分析時(shí)抽取出共同因素的相關(guān)?？梢宰C明，在因子不相關(guān)的前提下，因子載荷aji是變量Zj和因子Fi的相關(guān)系數(shù)，反映了變量Zj與因子Fi的相關(guān)程度。因子載荷aji值小于等于1，絕對(duì)值越接近1，表明因子Fi與變量Zj的相關(guān)性越強(qiáng)。同時(shí)，因子載荷aji也反映了因子Fi對(duì)解釋變量Zj的重要作用和程度。因子載荷作為因子分析模型中的重要統(tǒng)計(jì)量，表明了原始變量和共同因子之間的相關(guān)關(guān)系。因素分析的理想情況，在于個(gè)別因素負(fù)荷量aji不是很大就是很小，這樣每個(gè)變量才能與較少的共同因素產(chǎn)生密切關(guān)聯(lián)，如果想要以最少的共同因素?cái)?shù)來解釋變量間的關(guān)系程度，則Uj彼此間或與共同因素間就不能有關(guān)聯(lián)存在。一般說來，負(fù)荷量為0.3或更大被認(rèn)為有意義。所以，當(dāng)要判斷一個(gè)因子的意義時(shí)，需要查看哪些變量的負(fù)荷達(dá)到了0.3或0.3以上。