一、正態(tài)分布參數(shù)檢驗

例1. 某種原件的壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布N（μ, σ)其中μ, σ2均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下：

159 280 101 212 224 379 179 264
                  222 362 168 250 149 260 485 170

問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于255小時？

解：按題意，需檢驗

H0： μ ≤ 225     H1: μ >  225

此問題屬于單邊檢驗問題

可以使用R語言t.test

t.test(x,y=NULL,

alternative=c("two.sided","less","greater"),

mu=0,paired=FALSE,var.equal=FALSE,

conf.level=0.95)

其中x,y是又?jǐn)?shù)據(jù)構(gòu)成e向量，（如果只提供x,則作單個正態(tài)總體的均值檢驗，如果提供x,y則作兩個總體的均值檢驗)，alternative表示被則假設(shè)，two.sided(缺省)，雙邊檢驗(H1:μ≠H0),less表示單邊檢驗(H1:μ<μ0),greater表示單邊檢驗(H1:μ>μ0)，mu表示原假設(shè)μ0，conf.level置信水平，即1-α，通常是0.95，var.equal是邏輯變量，var.equal=TRUE表示兩樣品方差相同，var.equal=FALSE（缺?。┍硎緝蓸颖痉讲畈煌?。

R代碼：

X<-c(159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264,
              222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170)
       t.test(X,alternative = "greater",mu=225)

結(jié)果：

可見P值為0.257 > 0.05 ，不能拒絕原假設(shè)，接受H0，即平均壽命不大于225小時。

例2.在平爐上進(jìn)行的一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加剛的得率，試驗時在同一個平爐上進(jìn)行的，每煉一爐剛時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同，先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10爐，其得率分別為

標(biāo)準(zhǔn)方法    78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
                           新方法        79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1

設(shè)這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體N（μ1, σ2)和N（μ2, σ2)，其中μ1，μ2和σ2未知。問新的操作能否提高得率？（取α=0.05）

解1：根據(jù)題意，需要假設(shè)

H0： μ1 ≥  μ2     H1: μ1 <  μ2  

這里假定σ12=σ22=σ2，因此選擇t.test，var.equal=TRUE

R代碼：

X<-c(78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3)
    Y<-c(79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1)
    t.test(X,Y,var.equal = TRUE,alternative = "less")

結(jié)果：

可見P值<0.05，接受備擇假設(shè)，即新的操作能夠提高得率。

二、二項分布參數(shù)檢驗

例3.有一批蔬菜種子的平均發(fā)芽率p0=0.85，現(xiàn)隨即抽取500粒，用種衣劑進(jìn)行浸種處理，結(jié)果有445粒發(fā)芽。試檢驗種衣劑對種子發(fā)芽率有無效果。

解：根據(jù)題意，所檢驗的問題為

H0：p=p0=0.85， H1：p≠p0

可以用R語言的binom.test

binom.test(x, n, p = 0.5,
                    alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
                     conf.level = 0.95)

其中x是成功的次數(shù)；或是一個由成功數(shù)和失敗數(shù)組成的二維向量。n是試驗總數(shù)，當(dāng)x是二維向量時，此值無效。P是原假設(shè)的概率。

R語言代碼：

binom.test(445,500,p=0.85)

結(jié)果：

可知P值0.01207<0.05，拒絕原假設(shè)，說明種衣劑對種子的發(fā)芽率有顯著效果。

三、其它重要的非參數(shù)檢驗法

3.1.理論分布完全已知的情況下

3.1.1.皮爾森擬合優(yōu)度檢驗

例5.某消費者協(xié)會為了確定市場上消費者對5種品牌啤酒的喜好情況，隨即抽取了1000名啤酒愛好者作為樣品進(jìn)行試驗：每個人得到5種品牌的啤酒各一瓶，但未標(biāo)明牌子。這5種啤酒分別按著A、B、C、D、E字母的5張紙片隨即的順序送給每一個人。下表是根據(jù)樣本資料整理的各種品牌啤酒愛好者的頻數(shù)分布。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)判斷消費者對這5種品牌啤酒的愛好有無明顯差異？

最喜歡的牌子    A          B          C          D          E

人數(shù)X               210      312       170      85        223

解：如果消費者對5種品牌的啤酒無顯著差異，那么，就可以認(rèn)為喜好這5種拍品啤酒的人呈均勻分布，即5種品牌啤酒愛好者人數(shù)各占20%。據(jù)此假設(shè)

H0：喜好5種啤酒的人數(shù)分布均勻

可以使用Pearson χ2擬合優(yōu)度檢驗，R語言中調(diào)用chisq.test(X)

chisq.test(x, y = NULL, correct = TRUE,
                   p = rep(1/length(x), length(x)), rescale.p = FALSE,
                   simulate.p.value = FALSE, B = 2000)

其中x是由觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量或者矩陣，y是數(shù)據(jù)向量（當(dāng)x為矩陣時，y無效)。correct是邏輯變量，標(biāo)明是否用于連續(xù)修正，TRUE(缺省值)表示修正，F(xiàn)ALSE表示不修正。p是原假設(shè)落在小區(qū)間的理論概率，缺省值表示均勻分布，rescale.p是邏輯變量，選擇FALSE（缺省值）時，要求輸入的p滿足和等于1；選擇TRUE時，并不要求這一點，程序?qū)⒅匦掠嬎鉷值。simulate.p.value邏輯變量（缺省值為FALSE），當(dāng)為TRUE，將用仿真的方法計算p值，此時,B表示仿真的此值。

R語言代碼：

X<-c(210, 312, 170, 85, 223)

chisq.test(X)

結(jié)果：

3.1.2.正態(tài)W檢驗

例7.已知15名學(xué)生體重如下，問是否服從正態(tài)分布

解：

R語言代碼：

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5,
       66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
    shapiro.test(w)

P值>0.05，接受原假設(shè)，認(rèn)為來自正態(tài)分布總體。

3.2.理論分布依賴于若干個未知參數(shù)的情況

3.2.1Kolmogorov-Smirnov 檢驗

例8.對一臺設(shè)備進(jìn)行壽命檢驗，記錄10次無故障工作時間，并按從小到大的次序排列如下：（單位）

420  500 920  1380  1510  1650  1760 2100 2300 2350

試用Kolmogorov-Smirnov K 檢驗方法檢驗此設(shè)備無故障工作時間分布是否服從λ = 1/1500的指數(shù)分布？

解： R語言進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov K 檢驗使用ks.test( )

ks.test(x, y, ...,
    alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
    exact = NULL)    # x是待檢測的樣品構(gòu)成的向量，y是原假設(shè)的數(shù)據(jù)向量或是原假設(shè)的字符串。

R語言代碼：

X<-c(420, 500, 920, 1380, 1510, 1650, 1760, 2100, 2300, 2350)
        ks.test(X, "pexp", 1/1500)

P值大于0.05，無法拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為此設(shè)備無故障工作時間的分布服從λ = 1/1500的指數(shù)分布。

例9.假定從分布函數(shù)未知的F（x）和G（x）的總體中分別抽出25個和20個觀察值的隨即樣品，其數(shù)據(jù)由下表所示?，F(xiàn)檢驗F（x）和G(x)是否相同。

R語言代碼：

X<-scan( )
        0.61 0.29 0.06 0.59 -1.73 -0.74 0.51 -0.56
        1.64 0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.37 1.77
        2.36 1.31 1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2.47
        0.39 1.09 -1.28
        Y<-scan( )
        2.20 1.66 1.38 0.20 0.36 0.00
        0.96 1.56 0.44  1.50 -0.30 0.66       

2.31 3.29 -0.27 -0.37 0.38 0.70
        0.52 -0.71
        ks.test(X,Y)

P值>0.05,無法拒絕原假設(shè)，說明F（x）和G(x)分布函數(shù)相同。

3.2.2.列聯(lián)表數(shù)據(jù)的檢驗

例10.為了研究吸煙是否與患肺癌相關(guān)，對63位肺癌患者及43名非肺癌患者（對照組）調(diào)查了其中的吸煙人數(shù)，得到2x2列聯(lián)表，如下表所示

解：

進(jìn)行Pearson卡方檢驗

R語言代碼：

x<-c(60, 3, 32, 11)
        dim(x)<- c(2,2)
        chisq.test(x,correct = F)

P值<0.05，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為吸煙與患肺癌相關(guān)。

3.2.3.符號檢驗

例13.聯(lián)合國人員在世界上66個大城市的生活花費指數(shù)（以紐約市1996年12月為100）按自小至大的次序排列如下（這里北京的指數(shù)為99）：

66 75 78 80 81 81 82 83 83 83 83
       84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 88
       88 88 88 89 89 89 89 90 90 91 91
       91 91 92 93 93 96 96 96 97 99 100
       101 102 103 103 104 104 104 105 106 109 109
       110 110 110 111 113 115 116 117 118 155 192 

假設(shè)這個樣品是從世界許多大城市中隨即抽樣得到的。試用符號檢驗分析，北京是在中位數(shù)之上，還是在中位數(shù)之下。

解：樣本的中位數(shù)（M）作為城市生活水平的中間值，因此需要檢驗：

H 0 : M ≥ 99,  H 1 : M < 99.

輸入數(shù)據(jù)，作二項檢驗。

R語言代碼：

X <- c(66,75, 78 ,80 ,81 ,81 ,82, 83, 83, 83, 83,
           84 , 85, 85, 86, 86, 86, 86, 87 ,87, 88, 88,
           88, 88, 88, 89 ,89, 89, 89, 90 ,90 ,91 ,91,
           91 ,91, 92, 93, 93, 96, 96, 96, 97, 99, 100,
          101, 102, 103, 103 ,104, 104, 104 ,105, 106, 109, 109,
           110 ,110, 110, 111, 113, 115, 116, 117 ,118, 155 ,192)
     binom.test(sum(X>99), length(X), al="l")

在程序中，sum(x>99)表示樣本中大于99的個數(shù)。al是alternative的縮寫，"l"是"less"的縮寫。計算出的P值小于0.05，拒絕原假設(shè)，也就是說，北京的生活水平高于世界的中位水平。

3.3.4.符號秩檢驗

例16.假定某電池廠宣稱該廠生產(chǎn)的某種型號電池壽命的中位數(shù)為140安培小時。為了檢驗改廠生產(chǎn)的電池是否符合其規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)從新近生產(chǎn)的一批電池中抽取了隨即樣本，并對這20個電池的壽命進(jìn)行了測試，其結(jié)果如下（單位：安培小時）：

137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2

141.1 139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

試用Wilcoxon符號秩檢驗分析該廠生產(chǎn)的電池是否符合其標(biāo)準(zhǔn)。

解：根據(jù)題意假設(shè)：

H0：電池中位數(shù)M≥ 140安培小時；

H1：電池中位數(shù)<140安培小時。

在R語言中進(jìn)行符號秩檢驗可以使用wilcox.test( )

wilcox.test(x, y = NULL,
              alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
              mu = 0, paired = FALSE, exact = NULL, correct = TRUE,
              conf.int = FALSE, conf.level = 0.95, ...)

其中x,y是觀察數(shù)據(jù)構(gòu)成的數(shù)據(jù)向量。alternative是備擇假設(shè)，有單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗，mu待檢參數(shù)，如中位數(shù)M0.paired是邏輯變量，說明變量x,y是否為成對數(shù)據(jù)。exact是邏輯變量，說明是否精確計算P值，當(dāng)樣本量較小時，此參數(shù)起作用，當(dāng)樣本兩較大時，軟件采用正態(tài)分布近似計算P值。correct是邏輯變量，說明是否對P值的計算采用連續(xù)性修正，相同秩次較多時，統(tǒng)計量要校正。conf.int是邏輯變量，說明是否給出相應(yīng)的置信區(qū)間。

R語言代碼：

X<-scan()
        137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2 141.1  139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

         wilcox.test(X, mu=140, alternative="less",
               exact=FALSE,correct=FALSE, conf.int=TRUE)

這里V=34是wicoxon的統(tǒng)計量，P值<0.05，即拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，中位值小于小于140安培小時。

例19.某醫(yī)院用某種藥物治療兩型慢性支氣管炎患者共216例，療效由下表所示，試分析該藥物對兩型慢性支氣管炎的治療是否相同。

解：我們想象各病人的療效用4個不同的值表示（1表示最好，4表示最差），這樣就可以位這216名排序，因此，可用Wilcoxon秩和檢驗來分析問題。

R語言代碼：

x<-rep(1:4, c(62, 41, 14,11)); y<-rep(1:4, c(20, 37, 16, 15))
    wilcox.test(x, y, exact=FALSE)

P值<0.05，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為該藥物對兩型慢性支氣管炎的治療是不相同的。因為數(shù)據(jù)有結(jié)點存在，故無法精確計算P值，其參數(shù)為exact=FALSE。 

3.3.5.二元數(shù)據(jù)相關(guān)檢驗

例20.某種礦石中兩種有用成分A，B，取10個樣品，每個樣品中成分A的含量百分?jǐn)?shù)x(%)，及B的含量百分?jǐn)?shù)y(%)的數(shù)據(jù)下表所示，對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗。

解：進(jìn)行相關(guān)性檢驗，在R語言中可以使用cor.test( )

cor.test(x, y,
         alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
         method = c("pearson", "kendall", "spearman"),
         exact = NULL, conf.level = 0.95, ...)

#其中x,y是數(shù)據(jù)長度相同的向量，alternative是備擇假設(shè)，缺省值為"two.sided"，method是檢驗方法，缺省值是Pearson檢驗，conf.level是置信區(qū)間水平，缺省值為0.95

cor.test( )還有另一種使用格式

cor.test(formula, data, subset, na.action, ...) #其中formula是公式，形如'~u+v' , 'u', 'v' 必須是具有相同長度的數(shù)值向量，data是數(shù)據(jù)框，subset是可選擇向量，表示觀察值的子集。   

假設(shè)此例中兩組數(shù)據(jù)均來自正態(tài)分布，使用pearson相關(guān)性檢驗，

R語言代碼：

ore<-data.frame(
         x=c(67, 54, 72, 64, 39, 22, 58, 43, 46, 34),
         y=c(24, 15, 23, 19, 16, 11, 20, 16, 17, 13)
    )
    cor.test(ore$x,ore$y)

可見P值<0.05,拒絕原假設(shè)，認(rèn)為X與Y相關(guān)。

例21.一項有六個人參加表演的競賽，有兩人進(jìn)行評定，評定結(jié)果用下表所示，試用Spearman秩相關(guān)檢驗方法檢驗這兩個評定員對等級評定有無相關(guān)關(guān)系。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)

解：

R語言代碼：

x<-c(1,2,3,4,5,6); y<-c(6,5,4,3,2,1)
    cor.test(x, y, method = "spearman")

可見P值<0.05，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為x與y相關(guān)，rs=-1，表示這兩個量是完全負(fù)相關(guān)，即兩人的結(jié)論有關(guān)系，但完全相反。