機(jī)器學(xué)習(xí)算法與Python實(shí)踐之（二）支持向量機(jī)（SVM）初級(jí)

一、引入

支持向量機(jī)（SupportVector Machines），這個(gè)名字可是響當(dāng)當(dāng)?shù)?，?a href="http://www.3lll3.cn/view/20664.html" target="_blank">機(jī)器學(xué)習(xí)或者模式識(shí)別領(lǐng)域可是無人不知，無人不曉啊。八九十年代的時(shí)候，和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一決雌雄，獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，并吸引了大批為之狂熱和追隨的粉絲。雖然幾十年過去了，但風(fēng)采不減當(dāng)年，在模式識(shí)別領(lǐng)域依然占據(jù)著大遍江山。王位穩(wěn)固了幾十年。當(dāng)然了，它也繁衍了很多子子孫孫，出現(xiàn)了很多基因改良的版本，也發(fā)展了不少裙帶關(guān)系。但其中的睿智依然被世人稱道，并將千秋萬代！

好了，買了那么久廣告，不知道是不是高估了。我們還是腳踏實(shí)地，來看看傳說的SVM是個(gè)什么東西吧。我們知道，分類的目的是學(xué)會(huì)一個(gè)分類函數(shù)或分類模型（或者叫做分類器），該模型能把數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)項(xiàng)映射到給定類別中的某一個(gè)，從而可以用于預(yù)測(cè)未知類別。對(duì)于用于分類的支持向量機(jī)，它是個(gè)二分類的分類模型。也就是說，給定一個(gè)包含正例和反例（正樣本點(diǎn)和負(fù)樣本點(diǎn)）的樣本集合，支持向量機(jī)的目的是尋找一個(gè)超平面來對(duì)樣本進(jìn)行分割，把樣本中的正例和反例用超平面分開，但是不是簡(jiǎn)單地分看，其原則是使正例和反例之間的間隔最大。學(xué)習(xí)的目標(biāo)是在特征空間中找到一個(gè)分類超平面wx+b=0，分類面由法向量w和截距b決定。分類超平面將特征空間劃分兩部分，一部分是正類，一部分是負(fù)類。法向量指向的一側(cè)是正類，另一側(cè)為負(fù)類。

用一個(gè)二維空間里僅有兩類樣本的分類問題來舉個(gè)小例子。假設(shè)我們給定了下圖左圖所示的兩類點(diǎn)Class1和Class2（也就是正樣本集和負(fù)樣本集）。我們的任務(wù)是要找到一個(gè)線，把他們劃分開。你會(huì)告訴我，那簡(jiǎn)單，揮筆一畫，洋洋灑灑五顏六色的線就出來了，然后很得意的和我說，看看吧，下面右圖，都是你要的答案，如果你還想要，我還可以給你畫出無數(shù)條。對(duì)，沒錯(cuò)，的確可以畫出無數(shù)條。那哪條最好呢？你會(huì)問我，怎么樣衡量“好”？假設(shè)Class1和Class2分別是兩條村子的人，他們因?yàn)閮蓷l村子之間的地盤分割的事鬧僵了，叫你去說個(gè)理，到底怎么劃分才是最公平的。這里的“好”，可以理解為對(duì)Class1和Class2都是公平的。然后你二話不說，指著黑色那條線，說“就它了！正常人都知道！在兩條村子最中間畫條線很明顯對(duì)他們就是公平的，誰也別想多，誰也沒拿少”。這個(gè)例子可能不太恰當(dāng)，但道理還是一樣的。對(duì)于分類來說，我們需要確定一個(gè)分類的線，如果新的一個(gè)樣本到來，如果落在線的左邊，那么這個(gè)樣本就歸為class1類，如果落在線的右邊，就歸為class2這一類。那哪條線才是最好的呢？我們?nèi)匀徽J(rèn)為是中間的那條，因?yàn)檫@樣，對(duì)新的樣本的劃分結(jié)果我們才認(rèn)為最可信，那這里的“好”就是可信了。另外，在二維空間，分類的就是線，如果是三維的，分類的就是面了，更高維，也有個(gè)霸氣的名字叫超平面。因?yàn)樗詺猓砸话銓⑷魏尉S的分類邊界都統(tǒng)稱為超平面。

好了。對(duì)于人來說，我們可以輕易的找到這條線或者超平面（當(dāng)然了，那是因?yàn)槟憧梢钥吹綐颖揪唧w的分布是怎樣的，如果樣本的維度大于三維的話，我們就沒辦法把這些樣本像上面的圖一樣畫出來了，這時(shí)候就看不到了，這時(shí)候靠人的雙眼也無能為力了?！叭绻夷芸吹靡?，生命也許完全不同，可能我想要的，我喜歡的我愛的，都不一樣……”），但計(jì)算機(jī)怎么知道怎么找到這條線呢？我們?cè)趺窗盐覀兊恼疫@條線的方法告訴他，讓他按照我們的方法來找到這條線呢？呃，我們要建模?。?！把我們的意識(shí)“強(qiáng)加”給計(jì)算機(jī)的某個(gè)數(shù)學(xué)模型，讓他去求解這個(gè)模型，得到某個(gè)解，這個(gè)解就是我們的這條線，那這樣目的就達(dá)到了。那下面就得開始建模之旅了。

二、線性可分SVM與硬間隔最大化

其實(shí)上面這種分類思想就是SVM的思想?？梢员磉_(dá)為：SVM試圖尋找一個(gè)超平面來對(duì)樣本進(jìn)行分割，把樣本中的正例和反例用超平面分開，但是不是很敷衍地簡(jiǎn)單的分開，而是盡最大的努力使正例和反例之間的間隔margin最大。這樣它的分類結(jié)果才更加可信，而且對(duì)于未知的新樣本才有很好的分類預(yù)測(cè)能力（機(jī)器學(xué)習(xí)美其名曰泛化能力）。

我們的目標(biāo)是尋找一個(gè)超平面，使得離超平面比較近的點(diǎn)能有更大的間距。也就是我們不考慮所有的點(diǎn)都必須遠(yuǎn)離超平面，我們關(guān)心求得的超平面能夠讓所有點(diǎn)中離它最近的點(diǎn)具有最大間距。

我們先用數(shù)學(xué)公式來描述下。假設(shè)我們有N個(gè)訓(xùn)練樣本{(x1, y1),(x2, y2), …, (xN, yN)}，x是d維向量，而yi?{+1, -1}是樣本的標(biāo)簽，分別代表兩個(gè)不同的類。這里我們需要用這些樣本去訓(xùn)練學(xué)習(xí)一個(gè)線性分類器（超平面）：f(x)=sgn(wTx + b)，也就是wTx + b大于0的時(shí)候，輸出+1，小于0的時(shí)候，輸出-1。sgn()表示取符號(hào)。而g(x) =wTx + b=0就是我們要尋找的分類超平面，如上圖所示。剛才說我們要怎么做了？我們需要這個(gè)超平面最大的分隔這兩類。也就是這個(gè)分類面到這兩個(gè)類的最近的那個(gè)樣本的距離相同，而且最大。為了更好的說明，我們?cè)谏蠄D中找到兩個(gè)和這個(gè)超平面平行和距離相等的超平面：H1: y = wTx + b=+1 和 H2: y = wTx + b=-1。

好了，這時(shí)候我們就需要兩個(gè)條件：（1）沒有任何樣本在這兩個(gè)平面之間；（2）這兩個(gè)平面的距離需要最大。（對(duì)任何的H1和H2，我們都可以歸一化系數(shù)向量w，這樣就可以得到H1和H2表達(dá)式的右邊分別是+1和-1了）。先來看條件（2）。我們需要最大化這個(gè)距離，所以就存在一些樣本處于這兩條線上，他們叫支持向量（后面會(huì)說到他們的重要性）。那么它的距離是什么呢？我們初中就學(xué)過，兩條平行線的距離的求法，例如ax+by=c1和ax+by=c2，那他們的距離是|c2-c1|/sqrt(x2+y2)（sqrt()表示開根號(hào)）。注意的是，這里的x和y都表示二維坐標(biāo)。而用w來表示就是H1:w1x1+w2x2=+1和H2:w1x1+w2x2=-1，那H1和H2的距離就是|1+1|/ sqrt(w12+w12)=2/||w||。也就是w的模的倒數(shù)的兩倍。也就是說，我們需要最大化margin=2/||w||，為了最大化這個(gè)距離，我們應(yīng)該最小化||w||，看起來好簡(jiǎn)單哦。同時(shí)我們還需要滿足條件（2），也就是同時(shí)要滿足沒有數(shù)據(jù)點(diǎn)分布在H1和H2之間：

也就是，對(duì)于任何一個(gè)正樣本yi=+1，它都要處于H1的右邊，也就是要保證：y= wTx + b>=+1。對(duì)于任何一個(gè)負(fù)樣本yi=-1，它都要處于H2的左邊，也就是要保證：y = wTx + b<=-1。這兩個(gè)約束，其實(shí)可以合并成同一個(gè)式子：yi (wTxi + b)>=1。

所以我們的問題就變成：

這是個(gè)凸二次規(guī)劃問題。什么叫凸？凸集是指有這么一個(gè)點(diǎn)的集合，其中任取兩個(gè)點(diǎn)連一條直線，這條線上的點(diǎn)仍然在這個(gè)集合內(nèi)部，因此說“凸”是很形象的。例如下圖，對(duì)于凸函數(shù)（在數(shù)學(xué)表示上，滿足約束條件是仿射函數(shù)，也就是線性的Ax+b的形式）來說，局部最優(yōu)就是全局最優(yōu)，但對(duì)非凸函數(shù)來說就不是了。二次表示目標(biāo)函數(shù)是自變量的二次函數(shù)。

好了，既然是凸二次規(guī)劃問題，就可以通過一些現(xiàn)成的 QP (Quadratic Programming) 的優(yōu)化工具來得到最優(yōu)解。所以，我們的問題到此為止就算全部解決了。雖然這個(gè)問題確實(shí)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的 QP 問題，但是它也有它的特殊結(jié)構(gòu)，通過 Lagrange Duality 變換到對(duì)偶變量 (dual variable) 的優(yōu)化問題之后，可以找到一種更加有效的方法來進(jìn)行求解，而且通常情況下這種方法比直接使用通用的 QP 優(yōu)化包進(jìn)行優(yōu)化要高效得多。也就說，除了用解決QP問題的常規(guī)方法之外，還可以應(yīng)用拉格朗日對(duì)偶性，通過求解對(duì)偶問題得到最優(yōu)解，這就是線性可分條件下支持向量機(jī)的對(duì)偶算法，這樣做的優(yōu)點(diǎn)在于：一是對(duì)偶問題往往更容易求解；二者可以自然的引入核函數(shù)，進(jìn)而推廣到非線性分類問題。那什么是對(duì)偶問題？

三、Dual優(yōu)化問題

3.1、對(duì)偶問題

在約束最優(yōu)化問題中，常常利用拉格朗日對(duì)偶性將原始問題轉(zhuǎn)換為對(duì)偶問題，通過求解對(duì)偶問題而得到原始問題的解。至于這其中的原理和推導(dǎo)參考文獻(xiàn)[3]講得非常好。大家可以參考下。這里只將對(duì)偶問題是怎么操作的。假設(shè)我們的優(yōu)化問題是：

這是個(gè)帶等式約束的優(yōu)化問題。我們引入拉格朗日乘子，得到拉格朗日函數(shù)為：

然后我們將拉格朗日函數(shù)對(duì)x求極值，也就是對(duì)x求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0，就可以得到α關(guān)于x的函數(shù)，然后再代入拉格朗日函數(shù)就變成：

這時(shí)候，帶等式約束的優(yōu)化問題就變成只有一個(gè)變量α（多個(gè)約束條件就是向量）的優(yōu)化問題，這時(shí)候的求解就很簡(jiǎn)單了。同樣是求導(dǎo)另其等于0，解出α即可。需要注意的是，我們把原始的問題叫做primal problem，轉(zhuǎn)換后的形式叫做dual problem。需要注意的是，原始問題是最小化，轉(zhuǎn)化為對(duì)偶問題后就變成了求最大值了。對(duì)于不等式約束，其實(shí)是同樣的操作。簡(jiǎn)單地來說，通過給每一個(gè)約束條件加上一個(gè) Lagrange multiplier（拉格朗日乘子），我們可以將約束條件融和到目標(biāo)函數(shù)里去，這樣求解優(yōu)化問題就會(huì)更加容易。（這里其實(shí)涉及到很多蠻有趣的東西的，大家可以參考更多的博文）

3.2、SVM優(yōu)化的對(duì)偶問題

對(duì)于SVM，前面提到，其primal problem是以下形式：

同樣的方法引入拉格朗日乘子，我們就可以得到以下拉格朗日函數(shù)：

然后對(duì)L(w, b, α)分別求w和b的極值。也就是L(w, b,α)對(duì)w和b的梯度為0：?L/?w=0和?L/?b=0，還需要滿足α>=0。求解這里導(dǎo)數(shù)為0的式子可以得到：

然后再代入拉格朗日函數(shù)后，就變成：

這個(gè)就是dual problem（如果我們知道α，我們就知道了w。反過來，如果我們知道w，也可以知道α）。這時(shí)候我們就變成了求對(duì)α的極大，即是關(guān)于對(duì)偶變量α的優(yōu)化問題（沒有了變量w，b，只有α）。當(dāng)求解得到最優(yōu)的α*后，就可以同樣代入到上面的公式，導(dǎo)出w*和b*了，最終得出分離超平面和分類決策函數(shù)。也就是訓(xùn)練好了SVM。那來一個(gè)新的樣本x后，就可以這樣分類了：

在這里，其實(shí)很多的αi都是0，也就是說w只是一些少量樣本的線性加權(quán)值。這種“稀疏”的表示實(shí)際上看成是KNN的數(shù)據(jù)壓縮的版本。也就是說，以后新來的要分類的樣本首先根據(jù)w和b做一次線性運(yùn)算，然后看求的結(jié)果是大于0還是小于0來判斷正例還是負(fù)例。現(xiàn)在有了αi，我們不需要求出w，只需將新來的樣本和訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的所有樣本做內(nèi)積和即可。那有人會(huì)說，與前面所有的樣本都做運(yùn)算是不是太耗時(shí)了？其實(shí)不然，我們從KKT條件中得到，只有支持向量的αi不為0，其他情況αi都是0。因此，我們只需求新來的樣本和支持向量的內(nèi)積，然后運(yùn)算即可。這種寫法為下面要提到的核函數(shù)（kernel）做了很好的鋪墊。如下圖所示：

四、松弛向量與軟間隔最大化

我們之前討論的情況都是建立在樣本的分布比較優(yōu)雅和線性可分的假設(shè)上，在這種情況下可以找到近乎完美的超平面對(duì)兩類樣本進(jìn)行分離。但如果遇到下面這兩種情況呢？左圖，負(fù)類的一個(gè)樣本點(diǎn)A不太合群，跑到正類這邊了，這時(shí)候如果按上面的確定分類面的方法，那么就會(huì)得到左圖中紅色這條分類邊界，嗯，看起來不太爽，好像全世界都在將就A一樣。還有就是遇到右圖的這種情況。正類的一個(gè)點(diǎn)和負(fù)類的一個(gè)點(diǎn)都跑到了別人家門口，這時(shí)候就找不到一條直線來將他們分開了，那這時(shí)候怎么辦呢？我們真的要對(duì)這些零丁的不太聽話的離群點(diǎn)屈服和將就嗎？就因?yàn)樗麄兊牟煌昝栏淖兾覀冊(cè)瓉硗昝赖姆纸缑鏁?huì)不會(huì)得不償失呢？但又不得不考慮他們，那怎樣才能折中呢？

對(duì)于上面說的這種偏離正常位置很遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，我們稱之為 outlier，它有可能是采集訓(xùn)練樣本的時(shí)候的噪聲，也有可能是某個(gè)標(biāo)數(shù)據(jù)的大叔打瞌睡標(biāo)錯(cuò)了，把正樣本標(biāo)成負(fù)樣本了。那一般來說，如果我們直接忽略它，原來的分隔超平面還是挺好的，但是由于這個(gè) outlier 的出現(xiàn)，導(dǎo)致分隔超平面不得不被擠歪了，同時(shí) margin 也相應(yīng)變小了。當(dāng)然，更嚴(yán)重的情況是，如果出現(xiàn)右圖的這種outlier，我們將無法構(gòu)造出能將數(shù)據(jù)線性分開的超平面來。

為了處理這種情況，我們?cè)试S數(shù)據(jù)點(diǎn)在一定程度上偏離超平面。也就是允許一些點(diǎn)跑到H1和H2之間，也就是他們到分類面的間隔會(huì)小于1。如下圖：

具體來說，原來的約束條件就變?yōu)椋?

這時(shí)候，我們?cè)谀繕?biāo)函數(shù)里面增加一個(gè)懲罰項(xiàng)，新的模型就變成（也稱軟間隔）：

引入非負(fù)參數(shù)ξi后（稱為松弛變量），就允許某些樣本點(diǎn)的函數(shù)間隔小于1，即在最大間隔區(qū)間里面，或者函數(shù)間隔是負(fù)數(shù)，即樣本點(diǎn)在對(duì)方的區(qū)域中。而放松限制條件后，我們需要重新調(diào)整目標(biāo)函數(shù)，以對(duì)離群點(diǎn)進(jìn)行處罰，目標(biāo)函數(shù)后面加上的第二項(xiàng)就表示離群點(diǎn)越多，目標(biāo)函數(shù)值越大，而我們要求的是盡可能小的目標(biāo)函數(shù)值。這里的C是離群點(diǎn)的權(quán)重，C越大表明離群點(diǎn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響越大，也就是越不希望看到離群點(diǎn)。這時(shí)候，間隔也會(huì)很小。我們看到，目標(biāo)函數(shù)控制了離群點(diǎn)的數(shù)目和程度，使大部分樣本點(diǎn)仍然遵守限制條件。數(shù)據(jù)分析師培訓(xùn)

這時(shí)候，經(jīng)過同樣的推導(dǎo)過程，我們的對(duì)偶優(yōu)化問題變成：

此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)沒有了參數(shù)ξi，與之前模型唯一不同在于αi又多了αi<=C的限制條件。需要提醒的是，b的求值公式也發(fā)生了改變，改變結(jié)果在SMO算法里面介紹。