
簡(jiǎn)單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法—Rosenblatt感知機(jī)的對(duì)偶解法
一、Rosenblatt感知機(jī)回顧
在博文“簡(jiǎn)單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法——Rosenblatt感知機(jī)”中介紹了Rosenblatt感知機(jī)的基本概念。Rosenblatt感知機(jī)是針對(duì)線性可分問(wèn)題的二分類(lèi)算法。通過(guò)構(gòu)造分離超平面將正類(lèi)和負(fù)類(lèi)區(qū)分開(kāi)。構(gòu)造了如下的輸入空間到輸出空間的函數(shù):
其中,w為權(quán)重,b為偏置。為符號(hào)函數(shù):
求解這個(gè)函數(shù)的重點(diǎn)就是求解函數(shù)中的參數(shù):和。Rosenblatt感知機(jī)通過(guò)構(gòu)造損失函數(shù),并求得使得這樣的損失函數(shù)達(dá)到最小時(shí)的w和b。
其中,為:
這里的為所有誤分類(lèi)的點(diǎn)的集合。我們的目標(biāo)是求得損失函數(shù)的最小值:。
通過(guò)梯度下降法(詳細(xì)請(qǐng)見(jiàn)“簡(jiǎn)單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法——Rosenblatt感知機(jī)”),我們得到了w和b的更新公式:
其中,為學(xué)習(xí)率。
二、Rosenblatt感知機(jī)的對(duì)偶形式
對(duì)偶形式的基本想法是,將w和b表示為實(shí)例的線性組合的形式,通過(guò)求解其系數(shù)而求得
。
通過(guò)上面的的更新公式,我們發(fā)現(xiàn),
是一個(gè)累加的過(guò)程。如果令
,則
可以表示為:
其中,。
此時(shí)的感知機(jī)模型就變?yōu)椋?img src="/uploadfile/image/20170321/20170321210647_36238.png" alt="" />
三、算法流程
初始化,
選擇誤分類(lèi)數(shù)據(jù)點(diǎn),即,更新a和b
直到?jīng)]有誤分類(lèi)的點(diǎn),否則重復(fù)步驟2
計(jì)算出
四、實(shí)驗(yàn)的仿真
利用博文“簡(jiǎn)單易學(xué)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法——Rosenblatt感知機(jī)”中的數(shù)據(jù)集,原始數(shù)據(jù)集如下圖所示:
(原始數(shù)據(jù)點(diǎn))
MATLAB代碼
[plain] view plain copy 在CODE上查看代碼片派生到我的代碼片
%% Rosenblatt感知機(jī)的對(duì)偶解法
clear all;
clc;
%讀入數(shù)據(jù)
x=[3,3;4,3;1,1];
y=[1;1;-1];
[m,n] = size(x);%取得數(shù)據(jù)集的大小
%% 畫(huà)出原始的點(diǎn)
hold on
axis([0 5 0 5]);%axis一般用來(lái)設(shè)置axes的樣式,包括坐標(biāo)軸范圍,可讀比例等
for i = 1:m
plot(x(i,1),x(i,2),'.');
end
%% 初始化
alpha = zeros(1,m);
b = 0;
yita = 1;%學(xué)習(xí)率
gram = zeros(m,m);
%% 計(jì)算Gram矩陣
for i = 1:m
for j = 1:m
gram(i,j)=x(i,:)*x(j,:)';
end
end
%% 更新
for i = 1:m
tmp = 0;
for j = 1:m
tmp = tmp + alpha(j)*y(j)*gram(i,j);
end
tmp = tmp + b;
tmp = y(i)*tmp;
if tmp <= 0
alpha(i) = alpha(i)+yita;
b = b + y(i);
end
end
% 要使得數(shù)據(jù)集中沒(méi)有誤分類(lèi)的點(diǎn)
flag = 0;%標(biāo)志位,用于標(biāo)記有沒(méi)有誤分類(lèi)的點(diǎn)
i = 1;
while flag~=1
while i <= 3
tmp = 0;
for j = 1:m
tmp = tmp + alpha(j)*y(j)*gram(i,j);
end
tmp = tmp + b;
tmp = y(i)*tmp;
if tmp <= 0
alpha(i) = alpha(i)+yita;
b = b + y(i);
i = 1;%重置i
break;
else
i = i+1;
end
if i == 4
flag = 1;
end
end
end
%% 重新計(jì)算w和b
for i = 1:m
x_new(i,:) = x(i,:) * y(i);
end
w = alpha * x_new;
%% 畫(huà)出分隔線
x_1 = (0:3);
y_1 = (-b-w(1,1)*x_1)./w(1,2);
plot(x_1,y_1);
最終的分離超平面:
(最終分離超平面)
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