卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，簡(jiǎn)稱CNN）是一種常用的深度學(xué)習(xí)模型，可以處理圖像、語(yǔ)音和自然語(yǔ)言等高維數(shù)據(jù)。CNN中的反向傳播算法是訓(xùn)練模型的關(guān)鍵步驟之一，本文將對(duì)CNN反向傳播算法進(jìn)行詳細(xì)解釋。
一、前向傳播
CNN的前向傳播過程包括卷積、池化和全連接等操作。假設(shè)輸入為一個(gè)大小為 $W times H$ 的圖像，其中 $W$ 和 $H$ 分別表示寬度和高度，通道數(shù)為 $C$ 。卷積層由多個(gè)卷積核組成，每個(gè)卷積核可以提取不同特征。在卷積操作中，卷積核從左到右、從上到下掃描輸入圖像，并通過點(diǎn)積操作計(jì)算每個(gè)位置的輸出值。池化層可以縮小特征圖的尺寸并減少參數(shù)數(shù)量，常見的池化方式有最大池化和平均池化。全連接層將前面卷積和池化操作后的特征圖展開并輸入到全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，得到最終的分類結(jié)果。
二、反向傳播
反向傳播過程是為了優(yōu)化模型參數(shù)，使其能夠更好地分類數(shù)據(jù)。假設(shè) CNN 的損失函數(shù)為 $L$ ，參數(shù)為 $theta$ ，則反向傳播算法的目標(biāo)是通過梯度下降法最小化損失函數(shù) $L$ 。
首先，計(jì)算損失函數(shù)對(duì)輸出層的影響。假設(shè) CNN 的最后一層是一個(gè)全連接層，輸出結(jié)果為 $y_{i}$ ，其中 $i$ 表示分類的類別。損失函數(shù)對(duì)輸出結(jié)果的導(dǎo)數(shù)可以表示為：
$$frac{partial L}{partial y_i}$$
然后，計(jì)算輸出層對(duì)前一層的影響。假設(shè)輸出層的前一層是一個(gè)全連接層，第 $j$ 個(gè)神經(jīng)元的輸出為 $z_j$ ，其權(quán)重為 $w_{ij}$ 。則損失函數(shù)對(duì)該神經(jīng)元的輸入 $z_j$ 的導(dǎo)數(shù)可以表示為：
$$frac{partial L}{partial z_j}=sum_i frac{partial L}{partial y_i}frac{partial y_i}{partial z_j}=frac{partial L}{partial y_j}frac{partial y_j}{partial z_j}+sum_{ineq j}frac{partial L}{partial y_i}frac{partial y_i}{partial z_j}$$
其中，
$$frac{partial y_i}{partial z_j} = w_{ij}$$
接下來(lái)，計(jì)算前一層對(duì)當(dāng)前層的影響。假設(shè)前一層是一個(gè)池化層，其輸出結(jié)果為 $x_k$ ，則損失函數(shù)對(duì)輸入 $z_j$ 的導(dǎo)數(shù)可以表示為：
$$frac{partial L}{partial x_k}=sum_j frac{partial L}{partial z_j}frac{partial z_j}{partial x_k}$$
其中，
$$frac{partial z_j}{partial x_k}=begin{cases}w_{jk}, &text{x}_ktext{在與神經(jīng)元 }jtext{ 相關(guān)的感受野內(nèi)}
