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如何理解卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的卷積？
2023-03-31
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卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，簡(jiǎn)稱CNN）是一類常用于圖像識(shí)別、語音識(shí)別等領(lǐng)域的深度學(xué)習(xí)模型。其中最重要的部分就是卷積操作。那么，什么是卷積操作呢？

在介紹卷積之前，我們需要先了解一下信號(hào)處理中的卷積。信號(hào)處理中的卷積是指將兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均得到一個(gè)新的函數(shù)。具體而言，如果有兩個(gè)函數(shù)$f$和$g$，它們的卷積是這樣定義的：

$$int_{-infty}^infty f(tau)g(t-tau)dtau$$

這個(gè)式子看起來比較抽象，但可以通過一個(gè)例子來理解。假設(shè)我們有一個(gè)長(zhǎng)度為$5$的離散信號(hào)序列$x=[1,2,3,4,5]$，另一個(gè)信號(hào)序列$h=[1,1,1]$，則$h$的卷積核為：

$$h=[1,1,1] Rightarrow h[-1]=h[0]=h[1]=1, h[2]=0, h[3]=h[4]=...=0$$

我們可以將$x$和$h$像這樣擺放：

$$x = [1, 2, 3, 4, 5]$$ $$h = [1, 1, 1, 0, 0]$$

然后，我們將$h$翻轉(zhuǎn)過來，再將它與$x$對(duì)齊，從第一個(gè)數(shù)開始相乘，求和并得到新序列的第一個(gè)元素；接著，我們將$h$向右移動(dòng)一個(gè)單位，再次將它與$x$對(duì)齊，并得到新序列的第二個(gè)元素……直到$h$覆蓋完整個(gè)$x$序列，得到如下結(jié)果：

$$y=[3,6,9,12,15,0,0]$$

在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，卷積操作基本上是按照這個(gè)流程進(jìn)行的。不同之處在于，我們通常使用多個(gè)卷積核來提取圖像的特征。每個(gè)卷積核都是一個(gè)小的矩陣，例如$3 times 3$或$5 times 5$，它們會(huì)滑動(dòng)在輸入圖像的每個(gè)位置，計(jì)算某個(gè)輸出特征圖上的一個(gè)像素值。

假設(shè)我們有一個(gè)$5 times 5$的輸入圖像$I$，和一個(gè)大小為$3 times 3$的卷積核$K$，則卷積操作可以表示為：

$$O_{i,j}= sum_msum_n I_{i+m,j+n}K_{m,n}$$

其中，$O$是輸出特征圖，$I$是輸入圖像，$K$是卷積核，$i,j$是輸出特征圖上的位置，$m,n$是卷積核內(nèi)的位置。這個(gè)式子表示，在輸出特征圖上的每個(gè)位置$(i,j)$，都會(huì)以此滑動(dòng)$K$，計(jì)算輸入圖像$I$上所有與$K$重合的位置處的像素值與$K$內(nèi)的系數(shù)的乘積，最后將這些乘積相加得到輸出特征圖上相應(yīng)位置的像素值。

這個(gè)過程可以用下圖表示：

卷積過程

在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常使用多個(gè)卷積核進(jìn)行卷積操作。這些卷積核可以對(duì)輸入圖像進(jìn)行不同的特征提取，例如檢測(cè)邊緣、角點(diǎn)、紋理等。因此，一個(gè)卷積層通常會(huì)產(chǎn)生多個(gè)特征圖，每個(gè)特征圖對(duì)應(yīng)一個(gè)卷

積核。在深度學(xué)習(xí)中，這些卷積核是通過反向傳播算法自適應(yīng)學(xué)習(xí)得到的，以最大化網(wǎng)絡(luò)的分類性能。

除了卷積操作，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還包括池化、激活函數(shù)等操作。其中，池化操作用于降低特征圖的尺寸和維度，減少計(jì)算量并增強(qiáng)模型的魯棒性；激活函數(shù)則用于引入非線性變換，使網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)更加復(fù)雜的特征。

總之，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的卷積操作是一種基本的特征提取方式，它可以將輸入圖像中的局部信息進(jìn)行組合，從而得到更加豐富的特征表示。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和訓(xùn)練都是圍繞著卷積操作展開的，因此對(duì)卷積操作的理解至關(guān)重要。

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