作者：小伍哥

來源：小伍哥聊風(fēng)控

大家好，我是小伍哥，今天給大家分享一個(gè)好像有用，好像又沒啥用的奇奇怪怪的知識，風(fēng)控嘛，就是玩兒。

〇、“本福特定律”是什么？

“本福特定律”（Benford's law），也稱“本福特法則”，它說明一堆從實(shí)際生活得出的數(shù)據(jù)中，以1為首位數(shù)字的數(shù)（如12、135、1083首位數(shù)字均為1）的出現(xiàn)概率約為總數(shù)的三成，接近人們主觀直覺得出的期望值1/9的3倍。

推廣來說，越大的數(shù)，以它為首位數(shù)字甚至是首幾位數(shù)字出現(xiàn)的概率就越低。在十進(jìn)制首位數(shù)字的出現(xiàn)概率中，1最高（30.1%），逐漸遞減，9最低（4.6%）。

在美國大選中，有人就使用了該定律質(zhì)疑拜登選票異常，在統(tǒng)計(jì)了特朗普和拜登在威斯康星州密爾沃基縣470多個(gè)選區(qū)的得票數(shù)首位數(shù)字后發(fā)現(xiàn)，特朗普的這一曲線較為符合“本福特定律”的曲線，而拜登的曲線形狀則出現(xiàn)異常。拜登在包括威斯康星州密爾沃基、伊利諾伊州芝加哥和賓夕法尼亞州阿勒格尼的曲線均不滿足“本福特定律”，而與此同時(shí)，特朗普在多個(gè)地區(qū)的曲線卻又正好滿足或基本滿足該定律。

一、基本概念

本福特定律（也稱為第一位數(shù)法或本福特分布）是一種概率分布，許多統(tǒng)計(jì)學(xué)的（但不是全部）數(shù)據(jù)集的第一個(gè)數(shù)字符合。例如，

15435 首位是 156 首位是 59001 首位是 9199 首位是 19 首位是 9

本福特定律通?？捎米髌墼p性數(shù)據(jù)的指標(biāo)，并可協(xié)助審計(jì)會計(jì)數(shù)據(jù)。本福特的分布是一種不均勻的分布，較小的數(shù)字比較大的數(shù)字有更大的出現(xiàn)j可能。

二、數(shù)位分布概率第1位數(shù)字出現(xiàn)概率10.30120.17630.12540.09750.07960.06770.05880.05190.046

三、本福特分布圖

四、本福特分布公式

六、本福特定律適用于哪類數(shù)據(jù)？

需要注意的是，“本福特定律”也有一定的使用條件。首先，數(shù)據(jù)樣本需要盡可能的多，至少要在3000個(gè)以上；其次，數(shù)據(jù)樣本跨度要大，比如人的身高就不滿足“本福特定律”，因?yàn)榇蠖鄶?shù)人身高在1米至2米這一區(qū)間；最后，數(shù)據(jù)樣本應(yīng)是自然的，不能有人為操控，例如手機(jī)號碼和郵政編碼不滿足“本福特定律”，因?yàn)檫@些都是1開頭或特定數(shù)字開頭。

也正是因?yàn)橛刑囟ㄊ褂脳l件，“本福特定律”可用于檢查各項(xiàng)數(shù)據(jù)是否存在造假行為，因?yàn)槿粲腥藶橐蛩赜绊憯?shù)據(jù)，所得首位數(shù)字的概率及概率曲線圖將不符合“本福特定律”。

在大部分情況下，本福特定律可以適用于具有以下特征的數(shù)據(jù)：

• 具有通過來自多個(gè)分布的數(shù)字的數(shù)學(xué)組合形成的值的數(shù)據(jù)。
• 具有多種數(shù)字的數(shù)據(jù)，例如 具有數(shù)百，數(shù)千，數(shù)萬等數(shù)值的數(shù)據(jù)。
• 數(shù)據(jù)集相當(dāng)大。
• 數(shù)據(jù)是右傾斜的，即平均值大于中值，并且分布具有長的右尾而不是對稱的。
• 數(shù)據(jù)沒有預(yù)定義的最大值或最小值（最小值為零）。

雖然有以上的限制，但實(shí)際上在會計(jì)中，符合上述特征的數(shù)據(jù)非常普遍。

七、會計(jì)欺詐檢測與取證分析

應(yīng)收賬款，應(yīng)付賬款，銷售和費(fèi)用數(shù)據(jù)均基于兩種類型的變量相乘的值，即價(jià)格和數(shù)量。單獨(dú)，價(jià)格和數(shù)量不太可能符合本福特定律，但很可能會成倍增加。這種會計(jì)數(shù)據(jù)也可能是正確的。大公司的交易級會計(jì)數(shù)據(jù)幾乎總是會有大量的觀察結(jié)果。

如果某些會計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)計(jì)符合本福特定律但不符合，則并不一定意味著數(shù)據(jù)是欺詐性的。然而，這將為進(jìn)一步調(diào)查提供充分的理由。

以下是如何對會計(jì)數(shù)據(jù)執(zhí)行本福特分布分析的一些示例。

1）大型企業(yè)的應(yīng)付賬款數(shù)據(jù)

分析顯示，大型企業(yè)的應(yīng)付幾款的數(shù)據(jù)的數(shù)字第一位數(shù)字中有很大比例的1。經(jīng)過仔細(xì)檢查后發(fā)現(xiàn)，與上一個(gè)會計(jì)期間相比，還有更多的支付支票略高于1000美元。前一期的大部分支票金額低于100美元。

在一起財(cái)務(wù)調(diào)查中，負(fù)責(zé)的財(cái)務(wù)官隨后受到質(zhì)疑，他們回答稱他們決定匯總金額以試圖減少支票。低數(shù)字金額的合并是偏離本福特定律的常見解釋，使財(cái)務(wù)官的解釋變得合情合理。

經(jīng)過進(jìn)一步調(diào)查，據(jù)透露，該官員正在向他們創(chuàng)建的虛假殼公司寫支票。

2）本福特的分析應(yīng)用于組織的費(fèi)用數(shù)據(jù)

最初的本福特分析顯示，數(shù)據(jù)的第一位數(shù)字中“非常大”的比例非常大。經(jīng)過仔細(xì)檢查，特定費(fèi)用的許多條目達(dá)到45美元。發(fā)現(xiàn)費(fèi)用對于運(yùn)營組織至關(guān)重要，必須經(jīng)常支付。調(diào)查了這筆特殊費(fèi)用，然后被認(rèn)為是合法的。

然后將Benford的分析應(yīng)用于費(fèi)用數(shù)據(jù)的副本，但省略了特定的頻繁費(fèi)用。發(fā)現(xiàn)排除該特定費(fèi)用的數(shù)據(jù)與本福特的分布非常接近。

超越第一個(gè)數(shù)字推廣本福特定律通過查看第一個(gè)數(shù)字以外的數(shù)字，可以增強(qiáng)Benford的分析。

八、廣義本福特的分布表

本表的作用是表示分布規(guī)則還可以作用在不同的數(shù)位上。比如，0出現(xiàn)在第2位的概率是 11.97%，要高于平均值10%。

注意：由以上數(shù)據(jù)可以看出，在廣義分布中，數(shù)字的出現(xiàn)概率要比第一個(gè)數(shù)字更加均勻。

九、一般分布公式

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，我們可以得到一般的分布公式

十、上市公司年報(bào)凈利潤數(shù)據(jù)驗(yàn)證本福特定律

我們用上市公司的利潤數(shù)據(jù)來驗(yàn)證下本福特定律。

我們采用tushare接口獲取2019、2020年年報(bào)（第4季度）數(shù)據(jù)，取其中的凈利潤數(shù)據(jù)，然后我們只考慮凈利潤為正的情況。

xxxxxxxxxxbr

# 驗(yàn)證本福特定律import tushare as ts # 股票數(shù)據(jù)獲取的一個(gè)包import mathimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdfrom functools import reducefrom pylab import *# 這一句讓pyplot支持中文顯示mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# 獲取首位的函數(shù)def firstDigital(x): x= round(x) while x >= 10: x //= 10 return x# 首位概率累加def addDigit(lst, digit): lst[digit-1]+=1 return lst# 理論值：每位概率理論值用于對比th_freq=[math.log((x+1)/x, 10) for x in range(1,10)]#分別獲得2019，2020年報(bào)數(shù)據(jù)df= ts.get_report_data(2019, 4)# 只取凈利潤>0的數(shù)據(jù)，首先進(jìn)行次數(shù)統(tǒng)計(jì)freq= reduce(addDigit, map(firstDigital, filter(lambda x:x>0, df['net_profits'])), [0]*9)# 再計(jì)算實(shí)際概率pr_freq= [x/sum(freq) for x in freq]print(th_freq)print(pr_freq)# 作圖plt.title('用上市公司2019年報(bào)凈利潤數(shù)據(jù)驗(yàn)證本福特定律')plt.xlabel("首位數(shù)字")plt.ylabel("概率")plt.xticks(range(9), range(1,10))plt.plot(pr_freq,"r-",linewidth=2, label= '實(shí)際值')plt.plot(pr_freq, "go", markersize=5)plt.plot(th_freq,"b-",linewidth=1, label= '理論值')plt.grid(True)plt.legend()plt.show()

xxxxxxxxxxbr # 驗(yàn)證本福特定律brimport tushare as ts # 股票數(shù)據(jù)獲取的一個(gè)包brimport mathbrimport matplotlib.pyplot as pltbrimport pandas as pdbrfrom functools import reducebrfrom pylab import *br# 這一句讓pyplot支持中文顯示brmpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']br# 獲取首位的函數(shù)brdef firstDigital(x):br x= round(x)br while x >= 10:br x //= 10br return xbr# 首位概率累加brdef addDigit(lst, digit):br lst[digit-1]+=1br return lstbr# 理論值：每位概率理論值用于對比brth_freq=[math.log((x+1)/x, 10) for x in range(1,10)]br#分別獲得2019，2020年報(bào)數(shù)據(jù)brdf= ts.get_report_data(2019, 4)br# 只取凈利潤>0的數(shù)據(jù)，首先進(jìn)行次數(shù)統(tǒng)計(jì)brfreq= reduce(addDigit, map(firstDigital, filter(lambda x:x>0, df['net_profits'])), [0]*9)br# 再計(jì)算實(shí)際概率brpr_freq= [x/sum(freq) for x in freq]brprint(th_freq)brprint(pr_freq)br# 作圖brplt.title('用上市公司2019年報(bào)凈利潤數(shù)據(jù)驗(yàn)證本福特定律')brplt.xlabel("首位數(shù)字")brplt.ylabel("概率")brplt.xticks(range(9), range(1,10))brplt.plot(pr_freq,"r-",linewidth=2, label= '實(shí)際值')brplt.plot(pr_freq, "go", markersize=5)brplt.plot(th_freq,"b-",linewidth=1, label= '理論值')brplt.grid(True)brplt.legend()brplt.show()

xxxxxxxxxxbr br

從圖形上看，兩者擬合度還是比較高的。據(jù)說有些上市公司數(shù)據(jù)造假就是被用本福特定律查出來的。所以不認(rèn)真學(xué)習(xí)的話，造假都造不好。