
1.線性回歸的出現(xiàn)
當(dāng)被解釋變量和解釋變量都為連續(xù)型,且存在線性關(guān)系時(shí),可以采用線性回歸對(duì)被解釋變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。
多元線性回歸的出現(xiàn)是非常自然的,由于在一元線性回歸中,因變量只能依賴一個(gè)自變量來(lái)解釋,換一句話說(shuō),就是我們 只能在一維空間中來(lái)解釋世界,這是十分糟糕的,畢竟事物之間的關(guān)聯(lián)是非常復(fù)雜的,只用其中一個(gè)變量來(lái)解釋,總是顯 得那么蒼白和無(wú)力。
下面我們就來(lái)以“房?jī)r(jià)”和“客戶價(jià)值”為因變量,探索一下影響他們的自變量。首先,影響房?jī)r(jià)的因素有哪些呢?
因此,我們不難發(fā)現(xiàn),在用更多變量來(lái)解釋因變量,顯然會(huì)更加全面、豐富、合理和科學(xué)。與一元線性回歸類似,一個(gè)含
有k個(gè)自變量的多元線性回歸模型可以表示為:
y= Bo+Bixl+B2x2++bx+8
,β,B1,B,,為模型參數(shù),E為誤差項(xiàng),來(lái)解釋不能被自變量線性關(guān)系解釋的部分。
多元線性回歸的基本假設(shè)
1.線性關(guān)系假設(shè)——線性關(guān)系檢驗(yàn)
2.線性關(guān)系檢驗(yàn)——回歸系數(shù)檢驗(yàn)
3.期望為0的假設(shè)
(1)假設(shè)檢驗(yàn)方法:(圖形法)可以直接繪制散點(diǎn)圖,查看殘差是否對(duì)稱分布在0的兩側(cè);(統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn))可以用假設(shè)檢驗(yàn) 中的t檢驗(yàn)方法,其原假設(shè)為H0:E=0,具體操作將在案例中展示。
(2)假設(shè)失效的影響:如果殘差的期望不等于0,而等于其他的某個(gè)常數(shù),那么這個(gè)常數(shù)就應(yīng)該出現(xiàn)在多元線性回歸的常 數(shù)項(xiàng)內(nèi)。
(3)假設(shè)失效解決方法:如果失效,考慮是否強(qiáng)制將常數(shù)項(xiàng)設(shè)置為,或考慮異常值問(wèn)題。
4.同方差假設(shè)
假設(shè)檢驗(yàn)方法:(圖形法)對(duì)殘差以及因變量的擬合值作圖。
如果沒(méi)有異方差,那么殘差和因變量擬合值構(gòu)成的散點(diǎn)應(yīng)該是完全 隨機(jī)的,其趨勢(shì)線應(yīng)該是幾乎是水平的。上圖中間的趨勢(shì)線存在彎 曲,即存在一定的異方差。
除了作圖,我們也可以選擇Breusch-Pagan檢驗(yàn),注意該檢驗(yàn)的原假設(shè)是同方差,備擇假設(shè)是異方差,這 樣讀者根據(jù)輸出的P值就可以直觀判斷了。
假設(shè)失效的影響:如果誤差是異方差的,那么OLS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差將不可靠。
假設(shè)失效解決方法:克服異方差性的影響,我們可以嘗試對(duì)因變量做一些非線性變換,如等等。
5.正態(tài)性假設(shè)
假設(shè)檢驗(yàn)方法:(圖形法)做QQ圖。
QQ圖的解讀十分簡(jiǎn)單,如果散點(diǎn)在直線上或者直線附近,那么我 們就可以認(rèn)為數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的,否則就任務(wù)不是正態(tài)分布。 對(duì)于正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),我們可以選擇KS檢驗(yàn)(Kolmogorov– Smirnov test),其原假設(shè):數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。這樣讀者可以直 接根據(jù)輸出的P值來(lái)對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。
假設(shè)失效的影響:如果誤差項(xiàng)不是正態(tài)分布的,則OLS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差將不可靠。然而對(duì)于正態(tài)性假設(shè)對(duì)于線性回歸的 重要性,目前各方還有一些有價(jià)值的觀點(diǎn)。
假設(shè)失效解決方法:關(guān)注樣本中兩端的異常值是否合理,如異常值不合理,可以考慮刪除異常值。也可以嘗試對(duì)變量做 非線性變換。
6.橫截面和時(shí)間序列數(shù)據(jù)在回歸建模上的差異
橫截面是指在同一時(shí)間平面上的數(shù)據(jù),例如2013年各個(gè)上市公司的財(cái)報(bào)數(shù)據(jù),如果研究其不同變量之間的線性關(guān)系,可 以用多元線性回歸模型。但是如果數(shù)據(jù)包含時(shí)間趨勢(shì),例如2001-2018年全國(guó)各個(gè)省市的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù),如果要研 究不同宏觀指標(biāo)之間的線性影響,就要用面板回歸模型了(計(jì)量模型的一種)。
1.多元線性回歸的參數(shù)估計(jì)
1. 工人月工資(元)依勞動(dòng)生產(chǎn)率(千元)變化的回歸直線方程為y=60+90x,下列判斷正確的是( )?
A. 勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí),工資為50元
B. 勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí),工資提高150元
C. 勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí),工資提高90元
D. 勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí),工資為90元
答案:C 解析:根據(jù)回歸直線方程 y=60+90x 得到,勞動(dòng)生產(chǎn)率為1千元時(shí),工人月工資=60+90*1=150元,勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元 時(shí),工資提高90元。
2. 以下哪個(gè)假設(shè)不是線性回歸分析的前提假設(shè)? A. 解釋變量之間必須嚴(yán)格獨(dú)立
B. 解釋變量之間不能強(qiáng)線性相關(guān)
C. 擾動(dòng)項(xiàng)獨(dú)立同分布
D. 擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布
答案:A 解析:回歸分析的前提假設(shè)中,包含解釋變量之間非線性相關(guān)、擾動(dòng)項(xiàng)獨(dú)立同分布,擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布。
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