一、基本概念

1.線性回歸的出現(xiàn)

當(dāng)被解釋變量和解釋變量都為連續(xù)型，且存在線性關(guān)系時(shí)，可以采用線性回歸對(duì)被解釋變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

多元線性回歸的出現(xiàn)是非常自然的，由于在一元線性回歸中，因變量只能依賴一個(gè)自變量來(lái)解釋，換一句話說(shuō)，就是我們 只能在一維空間中來(lái)解釋世界，這是十分糟糕的，畢竟事物之間的關(guān)聯(lián)是非常復(fù)雜的，只用其中一個(gè)變量來(lái)解釋，總是顯 得那么蒼白和無(wú)力。

下面我們就來(lái)以“房?jī)r(jià)”和“客戶價(jià)值”為因變量，探索一下影響他們的自變量。首先，影響房?jī)r(jià)的因素有哪些呢？

因此，我們不難發(fā)現(xiàn)，在用更多變量來(lái)解釋因變量，顯然會(huì)更加全面、豐富、合理和科學(xué)。與一元線性回歸類似，一個(gè)含

有k個(gè)自變量的多元線性回歸模型可以表示為：

y= Bo+Bixl+B2x2++bx+8

,β，B1,B,,為模型參數(shù)，E為誤差項(xiàng)，來(lái)解釋不能被自變量線性關(guān)系解釋的部分。

二、基本假設(shè)

多元線性回歸的基本假設(shè)

三、檢驗(yàn)方法

1.線性關(guān)系假設(shè)——線性關(guān)系檢驗(yàn)

2.線性關(guān)系檢驗(yàn)——回歸系數(shù)檢驗(yàn)

3.期望為0的假設(shè)

（1）假設(shè)檢驗(yàn)方法：（圖形法）可以直接繪制散點(diǎn)圖，查看殘差是否對(duì)稱分布在0的兩側(cè)；（統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)）可以用假設(shè)檢驗(yàn) 中的t檢驗(yàn)方法，其原假設(shè)為H0：E=0，具體操作將在案例中展示。

（2）假設(shè)失效的影響：如果殘差的期望不等于0，而等于其他的某個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)就應(yīng)該出現(xiàn)在多元線性回歸的常 數(shù)項(xiàng)內(nèi)。

（3）假設(shè)失效解決方法：如果失效，考慮是否強(qiáng)制將常數(shù)項(xiàng)設(shè)置為，或考慮異常值問(wèn)題。

4.同方差假設(shè)

假設(shè)檢驗(yàn)方法：（圖形法）對(duì)殘差以及因變量的擬合值作圖。

如果沒(méi)有異方差，那么殘差和因變量擬合值構(gòu)成的散點(diǎn)應(yīng)該是完全 隨機(jī)的，其趨勢(shì)線應(yīng)該是幾乎是水平的。上圖中間的趨勢(shì)線存在彎 曲，即存在一定的異方差。

除了作圖，我們也可以選擇Breusch－Pagan檢驗(yàn)，注意該檢驗(yàn)的原假設(shè)是同方差，備擇假設(shè)是異方差，這 樣讀者根據(jù)輸出的P值就可以直觀判斷了。

假設(shè)失效的影響：如果誤差是異方差的，那么OLS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差將不可靠。

假設(shè)失效解決方法：克服異方差性的影響，我們可以嘗試對(duì)因變量做一些非線性變換，如等等。

5.正態(tài)性假設(shè)

假設(shè)檢驗(yàn)方法：（圖形法）做QQ圖。

QQ圖的解讀十分簡(jiǎn)單，如果散點(diǎn)在直線上或者直線附近，那么我 們就可以認(rèn)為數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的，否則就任務(wù)不是正態(tài)分布。 對(duì)于正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，我們可以選擇KS檢驗(yàn)（Kolmogorov– Smirnov test），其原假設(shè)：數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。這樣讀者可以直 接根據(jù)輸出的P值來(lái)對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

假設(shè)失效的影響：如果誤差項(xiàng)不是正態(tài)分布的，則OLS估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差將不可靠。然而對(duì)于正態(tài)性假設(shè)對(duì)于線性回歸的 重要性，目前各方還有一些有價(jià)值的觀點(diǎn)。

假設(shè)失效解決方法：關(guān)注樣本中兩端的異常值是否合理，如異常值不合理，可以考慮刪除異常值。也可以嘗試對(duì)變量做 非線性變換。

6.橫截面和時(shí)間序列數(shù)據(jù)在回歸建模上的差異

橫截面是指在同一時(shí)間平面上的數(shù)據(jù)，例如2013年各個(gè)上市公司的財(cái)報(bào)數(shù)據(jù)，如果研究其不同變量之間的線性關(guān)系，可 以用多元線性回歸模型。但是如果數(shù)據(jù)包含時(shí)間趨勢(shì)，例如2001-2018年全國(guó)各個(gè)省市的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，如果要研 究不同宏觀指標(biāo)之間的線性影響，就要用面板回歸模型了（計(jì)量模型的一種）。

四、參數(shù)估計(jì)

1.多元線性回歸的參數(shù)估計(jì)

五、判定系數(shù)

六、例題精講

1. 工人月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為y=60+90x，下列判斷正確的是（ ）？

A. 勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為50元

B. 勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高150元

C. 勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高90元

D. 勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為90元

答案：C 解析：根據(jù)回歸直線方程 y=60+90x 得到，勞動(dòng)生產(chǎn)率為1千元時(shí)，工人月工資=60+90*1=150元，勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1千元 時(shí)，工資提高90元。

2. 以下哪個(gè)假設(shè)不是線性回歸分析的前提假設(shè)？ A. 解釋變量之間必須嚴(yán)格獨(dú)立

B. 解釋變量之間不能強(qiáng)線性相關(guān)

C. 擾動(dòng)項(xiàng)獨(dú)立同分布

D. 擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布

答案：A 解析：回歸分析的前提假設(shè)中，包含解釋變量之間非線性相關(guān)、擾動(dòng)項(xiàng)獨(dú)立同分布，擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布。

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