
1.線性回歸的出現(xiàn)
當被解釋變量和解釋變量都為連續(xù)型,且存在線性關(guān)系時,可以采用線性回歸對被解釋變量進行預(yù)測。
多元線性回歸的出現(xiàn)是非常自然的,由于在一元線性回歸中,因變量只能依賴一個自變量來解釋,換一句話說,就是我們 只能在一維空間中來解釋世界,這是十分糟糕的,畢竟事物之間的關(guān)聯(lián)是非常復(fù)雜的,只用其中一個變量來解釋,總是顯 得那么蒼白和無力。
下面我們就來以“房價”和“客戶價值”為因變量,探索一下影響他們的自變量。首先,影響房價的因素有哪些呢?
因此,我們不難發(fā)現(xiàn),在用更多變量來解釋因變量,顯然會更加全面、豐富、合理和科學(xué)。與一元線性回歸類似,一個含
有k個自變量的多元線性回歸模型可以表示為:
y= Bo+Bixl+B2x2++bx+8
,β,B1,B,,為模型參數(shù),E為誤差項,來解釋不能被自變量線性關(guān)系解釋的部分。
多元線性回歸的基本假設(shè)
1.線性關(guān)系假設(shè)——線性關(guān)系檢驗
2.線性關(guān)系檢驗——回歸系數(shù)檢驗
3.期望為0的假設(shè)
(1)假設(shè)檢驗方法:(圖形法)可以直接繪制散點圖,查看殘差是否對稱分布在0的兩側(cè);(統(tǒng)計檢驗)可以用假設(shè)檢驗 中的t檢驗方法,其原假設(shè)為H0:E=0,具體操作將在案例中展示。
(2)假設(shè)失效的影響:如果殘差的期望不等于0,而等于其他的某個常數(shù),那么這個常數(shù)就應(yīng)該出現(xiàn)在多元線性回歸的常 數(shù)項內(nèi)。
(3)假設(shè)失效解決方法:如果失效,考慮是否強制將常數(shù)項設(shè)置為,或考慮異常值問題。
4.同方差假設(shè)
假設(shè)檢驗方法:(圖形法)對殘差以及因變量的擬合值作圖。
如果沒有異方差,那么殘差和因變量擬合值構(gòu)成的散點應(yīng)該是完全 隨機的,其趨勢線應(yīng)該是幾乎是水平的。上圖中間的趨勢線存在彎 曲,即存在一定的異方差。
除了作圖,我們也可以選擇Breusch-Pagan檢驗,注意該檢驗的原假設(shè)是同方差,備擇假設(shè)是異方差,這 樣讀者根據(jù)輸出的P值就可以直觀判斷了。
假設(shè)失效的影響:如果誤差是異方差的,那么OLS估計的標準誤差將不可靠。
假設(shè)失效解決方法:克服異方差性的影響,我們可以嘗試對因變量做一些非線性變換,如等等。
5.正態(tài)性假設(shè)
假設(shè)檢驗方法:(圖形法)做QQ圖。
QQ圖的解讀十分簡單,如果散點在直線上或者直線附近,那么我 們就可以認為數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的,否則就任務(wù)不是正態(tài)分布。 對于正態(tài)分布的統(tǒng)計檢驗,我們可以選擇KS檢驗(Kolmogorov– Smirnov test),其原假設(shè):數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。這樣讀者可以直 接根據(jù)輸出的P值來對檢驗結(jié)果進行分析。
假設(shè)失效的影響:如果誤差項不是正態(tài)分布的,則OLS估計的標準誤差將不可靠。然而對于正態(tài)性假設(shè)對于線性回歸的 重要性,目前各方還有一些有價值的觀點。
假設(shè)失效解決方法:關(guān)注樣本中兩端的異常值是否合理,如異常值不合理,可以考慮刪除異常值。也可以嘗試對變量做 非線性變換。
6.橫截面和時間序列數(shù)據(jù)在回歸建模上的差異
橫截面是指在同一時間平面上的數(shù)據(jù),例如2013年各個上市公司的財報數(shù)據(jù),如果研究其不同變量之間的線性關(guān)系,可 以用多元線性回歸模型。但是如果數(shù)據(jù)包含時間趨勢,例如2001-2018年全國各個省市的宏觀經(jīng)濟指標數(shù)據(jù),如果要研 究不同宏觀指標之間的線性影響,就要用面板回歸模型了(計量模型的一種)。
1.多元線性回歸的參數(shù)估計
1. 工人月工資(元)依勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸直線方程為y=60+90x,下列判斷正確的是( )?
A. 勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資為50元
B. 勞動生產(chǎn)率提高1000元時,工資提高150元
C. 勞動生產(chǎn)率提高1000元時,工資提高90元
D. 勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資為90元
答案:C 解析:根據(jù)回歸直線方程 y=60+90x 得到,勞動生產(chǎn)率為1千元時,工人月工資=60+90*1=150元,勞動生產(chǎn)率提高1千元 時,工資提高90元。
2. 以下哪個假設(shè)不是線性回歸分析的前提假設(shè)? A. 解釋變量之間必須嚴格獨立
B. 解釋變量之間不能強線性相關(guān)
C. 擾動項獨立同分布
D. 擾動項服從正態(tài)分布
答案:A 解析:回歸分析的前提假設(shè)中,包含解釋變量之間非線性相關(guān)、擾動項獨立同分布,擾動項服從正態(tài)分布。
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