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首頁(yè)精彩閱讀回歸系列（二）| 最小二乘法真有那么復(fù)雜嗎？
回歸系列（二）| 最小二乘法真有那么復(fù)雜嗎？
2020-08-31
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作者：丁點(diǎn)helper

來(lái)源： 丁點(diǎn)幫你

上一篇文章給大家留了一個(gè)思考題，問(wèn)在假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)下面哪種寫法是正確的：

大家都答對(duì)了嗎？正確答案是“A”。

樣本與總體回歸系數(shù)的區(qū)分

這一點(diǎn)內(nèi)容看似很簡(jiǎn)單，但其實(shí)經(jīng)常有同學(xué)犯糊涂，所以，還是值得專門說(shuō)一下。

回歸系數(shù)的計(jì)算

借用我們講相關(guān)分析時(shí)的例子：探討糧食中某種毒素（DON）對(duì)骨關(guān)節(jié)炎評(píng)分（OAP）的影響，數(shù)據(jù)如下：

無(wú)論是做回歸還是相關(guān)分析，我們拿到數(shù)據(jù)的第一步應(yīng)該是先畫一個(gè)散點(diǎn)圖：以因變量Y為縱軸，以自變量X為橫軸（如果有多個(gè)自變量，則讓Y逐一與X畫散點(diǎn)圖）。

本例我們研究的是DON對(duì)OAP的影響，所以以O(shè)AP為Y，以DON為X，散點(diǎn)圖如下：

如上圖，兩變量之間正向的線性關(guān)系還是很明顯的，隨著DON的提升，OAP也有上升的趨勢(shì)，所以推測(cè)，糧食中DON毒素可能會(huì)導(dǎo)致患者關(guān)節(jié)炎的發(fā)生。

回歸方程在幾何上是一條直線，所以問(wèn)題歸結(jié)于怎么樣找到一條這樣的直線。

因?yàn)槲覀兿Ｍ貧w直線盡可能最優(yōu)，所以就需要做出的直線離各散點(diǎn)的綜合距離最小。

如下圖中的u1、u2，代表了散點(diǎn)與回歸直線的距離。

如下圖，我們根據(jù)肉眼觀察，對(duì)關(guān)節(jié)炎的數(shù)據(jù)畫出來(lái)兩條線：藍(lán)線和紅線，問(wèn)題是到底選擇哪一條線呢？

肉眼觀察肯定不靠譜，只能通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)比較判斷，如何判斷呢？本質(zhì)上這是一個(gè)求最小值的問(wèn)題。

上面說(shuō)過(guò)了，我們希望得到的直線離所有散點(diǎn)的綜合距離最小，怎么把這句話轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)計(jì)算呢？

所謂的“綜合距離”最小，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是讓下面這個(gè)式子取最小值

綜合起來(lái)可以寫成：

別被復(fù)雜的式子唬住，其實(shí)這里只需要初中或高中的數(shù)學(xué)就能解決。耐心的小伙伴可以嘗試展開一下，其實(shí)就是一個(gè)二次函數(shù)。

求解出來(lái)的結(jié)果是：

以上這個(gè)過(guò)程就是大家總能聽到的“最小二乘法”。

回到我們關(guān)節(jié)炎的例子，最后得出其回歸方程為：

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