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SPSS實現(xiàn)主成分分析與因子分析原理與方法（一）
2016-12-23
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SPSS實現(xiàn)主成分分析與因子分析原理與方法（一）

一、主成分分析

（1）問題提出
在問題研究中，為了不遺漏和準(zhǔn)確起見，往往會面面俱到，取得大量的指標(biāo)來進(jìn)行分析。比如為了研究某種疾病的影響因素，我們可能會收集患者的人口學(xué)資料、病史、體征、化驗檢查等等數(shù)十項指標(biāo)。如果將這些指標(biāo)直接納入多元統(tǒng)計分析，不僅會使模型變得復(fù)雜不穩(wěn)定，而且還有可能因為變量之間的多重共線性引起較大的誤差。有沒有一種辦法能對信息進(jìn)行濃縮，減少變量的個數(shù)，同時消除多重共線性？
這時，主成分分析隆重登場。
（2）主成分分析的原理
主成分分析的本質(zhì)是坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，將原始的n個變量進(jìn)行重新的線性組合，生成n個新的變量，他們之間互不相關(guān)，稱為n個“成分”。同時按照方差最大化的原則，保證第一個成分的方差最大，然后依次遞減。這n個成分是按照方差從大到小排列的，其中前m個成分可能就包含了原始變量的大部分方差（及變異信息）。那么這m個成分就成為原始變量的“主成分”，他們包含了原始變量的大部分信息。
注意得到的主成分不是原始變量篩選后的剩余變量，而是原始變量經(jīng)過重新組合后的“綜合變量”。
我們以最簡單的二維數(shù)據(jù)來直觀的解釋主成分分析的原理。假設(shè)現(xiàn)在有兩個變量X1、X2，在坐標(biāo)上畫出散點圖如下：

 

可見，他們之間存在相關(guān)關(guān)系，如果我們將坐標(biāo)軸整體逆時針旋轉(zhuǎn)45°，變成新的坐標(biāo)系Y1、Y2，如下圖：

根據(jù)坐標(biāo)變化的原理，我們可以算出：
Y1 = sqrt(2)/2 * X1 + sqrt(2)/2 * X2
Y2 = sqrt(2)/2 * X1 – sqrt(2)/2 * X2
其中sqrt(x)為x的平方根。
通過對X1、X2的重新進(jìn)行線性組合，得到了兩個新的變量Y1、Y2。
此時，Y1、Y2變得不再相關(guān)，而且Y1方向變異（方差）較大，Y2方向的變異（方差）較小，這時我們可以提取Y1作為X1、X2的主成分，參與后續(xù)的統(tǒng)計分析，因為它攜帶了原始變量的大部分信息。
至此我們解決了兩個問題：降維和消除共線性。
對于二維以上的數(shù)據(jù)，就不能用上面的幾何圖形直觀的表示了，只能通過矩陣變換求解，但是本質(zhì)思想是一樣的。
二、因子分析
（一）原理和方法：
因子分析是主成分分析的擴(kuò)展。
在主成分分析過程中，新變量是原始變量的線性組合，即將多個原始變量經(jīng)過線性（坐標(biāo)）變換得到新的變量。
因子分析中，是對原始變量間的內(nèi)在相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分組，相關(guān)性強(qiáng)的分在一組，組間相關(guān)性較弱，這樣各組變量代表一個基本要素（公共因子）。通過原始變量之間的復(fù)雜關(guān)系對原始變量進(jìn)行分解，得到公共因子和特殊因子。將原始變量表示成公共因子的線性組合。其中公共因子是所有原始變量中所共同具有的特征，而特殊因子則是原始變量所特有的部分。因子分析強(qiáng)調(diào)對新變量（因子）的實際意義的解釋。
舉個例子：
比如在市場調(diào)查中我們收集了食品的五項指標(biāo)（x1-x5）:味道、價格、風(fēng)味、是否快餐、能量，經(jīng)過因子分析，我們發(fā)現(xiàn)了：
x1 = 0.02 * z1 + 0.99 * z2 + e1
x2 = 0.94 * z1 – 0.01 * z2 + e2
x3 = 0.13* z1 + 0.98 * z2 + e3
x4 = 0.84 * z1 + 0.42 * z2 + e4
x5 = 0.97 * z1 – 0.02 * z2 + e1
（以上的數(shù)字代表實際為變量間的相關(guān)系數(shù)，值越大，相關(guān)性越大）
第一個公因子z1主要與價格、是否快餐、能量有關(guān)，代表“價格與營養(yǎng)”
第二個公因子z2主要與味道、風(fēng)味有關(guān)，代表“口味”
e1-5是特殊因子，是公因子中無法解釋的，在分析中一般略去。
同時，我們也可以將公因子z1、z2表示成原始變量的線性組合，用于后續(xù)分析。
（二）使用條件：
（1）樣本量足夠大。通常要求樣本量是變量數(shù)目的5倍以上，且大于100例。
（2）原始變量之間具有相關(guān)性。如果變量之間彼此獨立，無法使用因子分析。在SPSS中可用KMO檢驗和Bartlett球形檢驗來判斷。
（3）生成的公因子要有實際的意義，必要時可通過因子旋轉(zhuǎn)（坐標(biāo)變化）來達(dá)到。
三、主成分分析和因子分析的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：兩者都是降維和信息濃縮的方法。生成的新變量均代表了原始變量的大部分信息且互相獨立，都可以用于后續(xù)的回歸分析、判別分析、聚類分析等等。
區(qū)別：
（1）主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新變量，強(qiáng)調(diào)新變量貢獻(xiàn)了多大比例的方差，不關(guān)心新變量是否有明確的實際意義。
（2）因子分析著重要求新變量具有實際的意義，能解釋原始變量間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。


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