k均值聚類(K-means)_k means聚類算法

在前面的文章中，介紹了三種常見的分類算法。分類作為一種監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，要求必須事先明確知道各個類別的信息，并且斷言所有待分類項(xiàng)都有一個類別與之對應(yīng)。但是很多時候上述條件得不到滿足，尤其是在處理海量數(shù)據(jù)的時候，如果通過預(yù)處理使得數(shù)據(jù)滿足分類算法的要求，則代價非常大，這時候可以考慮使用聚類算法。聚類屬于無監(jiān)督學(xué)習(xí)，相比于分類，聚類不依賴預(yù)定義的類和類標(biāo)號的訓(xùn)練實(shí)例。本文首先介紹聚類的基礎(chǔ)——距離與相異度，然后介紹一種常見的聚類算法——k均值和k中心點(diǎn)聚類，最后會舉一個實(shí)例：應(yīng)用聚類方法試圖解決一個在體育界大家頗具爭議的問題——中國男足近幾年在亞洲到底處于幾流水平。

相異度計算

在正式討論聚類前，我們要先弄清楚一個問題：如何定量計算兩個可比較元素間的相異度。用通俗的話說，相異度就是兩個東西差別有多大，例如人類與章魚的相異度明顯大于人類與黑猩猩的相異度，這是能我們直觀感受到的。但是，計算機(jī)沒有這種直觀感受能力，我們必須對相異度在數(shù)學(xué)上進(jìn)行定量定義。

設(shè)，其中X，Y是兩個元素項(xiàng)，各自具有n個可度量特征屬性，那么X和Y的相異度定義為：，其中R為實(shí)數(shù)域。也就是說相異度是兩個元素對實(shí)數(shù)域的一個映射，所映射的實(shí)數(shù)定量表示兩個元素的相異度。

下面介紹不同類型變量相異度計算方法。

標(biāo)量

標(biāo)量也就是無方向意義的數(shù)字，也叫標(biāo)度變量?，F(xiàn)在先考慮元素的所有特征屬性都是標(biāo)量的情況。例如，計算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相異度。一種很自然的想法是用兩者的歐幾里得距離來作為相異度，歐幾里得距離的定義如下：

其意義就是兩個元素在歐氏空間中的集合距離，因?yàn)槠渲庇^易懂且可解釋性強(qiáng)，被廣泛用于標(biāo)識兩個標(biāo)量元素的相異度。將上面兩個示例數(shù)據(jù)代入公式，可得兩者的歐氏距離為：

除歐氏距離外，常用作度量標(biāo)量相異度的還有曼哈頓距離和閔可夫斯基距離，兩者定義如下：

曼哈頓距離：

閔可夫斯基距離：

歐氏距離和曼哈頓距離可以看做是閔可夫斯基距離在p=2和p=1下的特例。另外這三種距離都可以加權(quán)，這個很容易理解，不再贅述。

下面要說一下標(biāo)量的規(guī)格化問題。上面這樣計算相異度的方式有一點(diǎn)問題，就是取值范圍大的屬性對距離的影響高于取值范圍小的屬性。例如上述例子中第三個屬性的取值跨度遠(yuǎn)大于前兩個，這樣不利于真實(shí)反映真實(shí)的相異度，為了解決這個問題，一般要對屬性值進(jìn)行規(guī)格化。所謂規(guī)格化就是將各個屬性值按比例映射到相同的取值區(qū)間，這樣是為了平衡各個屬性對距離的影響。通常將各個屬性均映射到[0,1]區(qū)間，映射公式為：

其中max(ai)和min(ai)表示所有元素項(xiàng)中第i個屬性的最大值和最小值。例如，將示例中的元素規(guī)格化到[0,1]區(qū)間后，就變成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新計算歐氏距離約為1.732。

二元變量

所謂二元變量是只能取0和1兩種值變量，有點(diǎn)類似布爾值，通常用來標(biāo)識是或不是這種二值屬性。對于二元變量，上一節(jié)提到的距離不能很好標(biāo)識其相異度，我們需要一種更適合的標(biāo)識。一種常用的方法是用元素相同序位同值屬性的比例來標(biāo)識其相異度。

設(shè)有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，兩個元素第2、3、5、7和8個屬性取值相同，而第1、4和6個取值不同，那么相異度可以標(biāo)識為3/8=0.375。一般的，對于二元變量，相異度可用“取值不同的同位屬性數(shù)/單個元素的屬性位數(shù)”標(biāo)識。

上面所說的相異度應(yīng)該叫做對稱二元相異度?，F(xiàn)實(shí)中還有一種情況，就是我們只關(guān)心兩者都取1的情況，而認(rèn)為兩者都取0的屬性并不意味著兩者更相似。例如在根據(jù)病情對病人聚類時，如果兩個人都患有肺癌，我們認(rèn)為兩個人增強(qiáng)了相似度，但如果兩個人都沒患肺癌，并不覺得這加強(qiáng)了兩人的相似性，在這種情況下，改用“取值不同的同位屬性數(shù)/(單個元素的屬性位數(shù)-同取0的位數(shù))”來標(biāo)識相異度，這叫做非對稱二元相異度。如果用1減去非對稱二元相異度，則得到非對稱二元相似度，也叫Jaccard系數(shù)，是一個非常重要的概念。

分類變量

分類變量是二元變量的推廣，類似于程序中的枚舉變量，但各個值沒有數(shù)字或序數(shù)意義，如顏色、民族等等，對于分類變量，用“取值不同的同位屬性數(shù)/單個元素的全部屬性數(shù)”來標(biāo)識其相異度。

序數(shù)變量

序數(shù)變量是具有序數(shù)意義的分類變量，通?？梢园凑找欢樞蛞饬x排列，如冠軍、亞軍和季軍。對于序數(shù)變量，一般為每個值分配一個數(shù)，叫做這個值的秩，然后以秩代替原值當(dāng)做標(biāo)量屬性計算相異度。

向量

對于向量，由于它不僅有大小而且有方向，所以閔可夫斯基距離不是度量其相異度的好辦法，一種流行的做法是用兩個向量的余弦度量，其度量公式為：

其中||X||表示X的歐幾里得范數(shù)。要注意，余弦度量度量的不是兩者的相異度，而是相似度！

聚類問題

在討論完了相異度計算的問題，就可以正式定義聚類問題了。

所謂聚類問題，就是給定一個元素集合D，其中每個元素具有n個可觀察屬性，使用某種算法將D劃分成k個子集，要求每個子集內(nèi)部的元素之間相異度盡可能低，而不同子集的元素相異度盡可能高。其中每個子集叫做一個簇。

與分類不同，分類是示例式學(xué)習(xí)，要求分類前明確各個類別，并斷言每個元素映射到一個類別，而聚類是觀察式學(xué)習(xí)，在聚類前可以不知道類別甚至不給定類別數(shù)量，是無監(jiān)督學(xué)習(xí)的一種。目前聚類廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)、生物學(xué)、數(shù)據(jù)庫技術(shù)和市場營銷等領(lǐng)域，相應(yīng)的算法也非常的多。本文僅介紹一種最簡單的聚類算法——k均值（k-means）算法。

K-means算法及其示例

k均值算法的計算過程非常直觀：

1、從D中隨機(jī)取k個元素，作為k個簇的各自的中心。

2、分別計算剩下的元素到k個簇中心的相異度，將這些元素分別劃歸到相異度最低的簇。

3、根據(jù)聚類結(jié)果，重新計算k個簇各自的中心，計算方法是取簇中所有元素各自維度的算術(shù)平均數(shù)。

4、將D中全部元素按照新的中心重新聚類。

5、重復(fù)第4步，直到聚類結(jié)果不再變化。

6、將結(jié)果輸出。

由于算法比較直觀，沒有什么可以過多講解的。下面，我們來看看k-means算法一個有趣的應(yīng)用示例：中國男足近幾年到底在亞洲處于幾流水平？

今年中國男足可算是杯具到家了，幾乎到了過街老鼠人人喊打的地步。對于目前中國男足在亞洲的地位，各方也是各執(zhí)一詞，有人說中國男足亞洲二流，有人說三流，還有人說根本不入流，更有人說其實(shí)不比日韓差多少，是亞洲一流。既然爭論不能解決問題，我們就讓數(shù)據(jù)告訴我們結(jié)果吧。

下圖是我采集的亞洲15只球隊(duì)在2005年-2010年間大型杯賽的戰(zhàn)績（由于澳大利亞是后來加入亞足聯(lián)的，所以這里沒有收錄）。

其中包括兩次世界杯和一次亞洲杯。我提前對數(shù)據(jù)做了如下預(yù)處理：對于世界杯，進(jìn)入決賽圈則取其最終排名，沒有進(jìn)入決賽圈的，打入預(yù)選賽十強(qiáng)賽賦予40，預(yù)選賽小組未出線的賦予50。對于亞洲杯，前四名取其排名，八強(qiáng)賦予5，十六強(qiáng)賦予9，預(yù)選賽沒出現(xiàn)的賦予17。這樣做是為了使得所有數(shù)據(jù)變?yōu)闃?biāo)量，便于后續(xù)聚類。

下面先對數(shù)據(jù)進(jìn)行[0,1]規(guī)格化，下面是規(guī)格化后的數(shù)據(jù)：

接著用k-means算法進(jìn)行聚類。設(shè)k=3，即將這15支球隊(duì)分成三個集團(tuán)。

現(xiàn)抽取日本、巴林和泰國的值作為三個簇的種子，即初始化三個簇的中心為A：{0.3, 0, 0.19}，B：{0.7, 0.76, 0.5}和C：{1, 1, 0.5}。下面，計算所有球隊(duì)分別對三個中心點(diǎn)的相異度，這里以歐氏距離度量。下面是我用程序求取的結(jié)果：

從做到右依次表示各支球隊(duì)到當(dāng)前中心點(diǎn)的歐氏距離，將每支球隊(duì)分到最近的簇，可對各支球隊(duì)做如下聚類：

中國C，日本A，韓國A，伊朗A，沙特A，伊拉克C，卡塔爾C，阿聯(lián)酋C，烏茲別克斯坦B，泰國C，越南C，阿曼C，巴林B，朝鮮B，印尼C。

第一次聚類結(jié)果：

A：日本，韓國，伊朗，沙特；

B：烏茲別克斯坦，巴林，朝鮮；

C：中國，伊拉克，卡塔爾，阿聯(lián)酋，泰國，越南，阿曼，印尼。

下面根據(jù)第一次聚類結(jié)果，調(diào)整各個簇的中心點(diǎn)。

A簇的新中心點(diǎn)為：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21, (0+0.15+0.76+0.76)/4=0.4175, (0.19+0.13+0.25+0.06)/4=0.1575} = {0.21, 0.4175, 0.1575}

用同樣的方法計算得到B和C簇的新中心點(diǎn)分別為{0.7, 0.7333, 0.4167}，{1, 0.94, 0.40625}。

用調(diào)整后的中心點(diǎn)再次進(jìn)行聚類，得到：

第二次迭代后的結(jié)果為：

中國C，日本A，韓國A，伊朗A，沙特A，伊拉克C，卡塔爾C，阿聯(lián)酋C，烏茲別克斯坦B，泰國C，越南C，阿曼C，巴林B，朝鮮B，印尼C。

結(jié)果無變化，說明結(jié)果已收斂，于是給出最終聚類結(jié)果：

亞洲一流：日本，韓國，伊朗，沙特

亞洲二流：烏茲別克斯坦，巴林，朝鮮

亞洲三流：中國，伊拉克，卡塔爾，阿聯(lián)酋，泰國，越南，阿曼，印尼

看來數(shù)據(jù)告訴我們，說國足近幾年處在亞洲三流水平真的是沒有冤枉他們，至少從國際杯賽戰(zhàn)績是這樣的。

其實(shí)上面的分析數(shù)據(jù)不僅告訴了我們聚類信息，還提供了一些其它有趣的信息，例如從中可以定量分析出各個球隊(duì)之間的差距，例如，在亞洲一流隊(duì)伍中，日本與沙特水平最接近，而伊朗則相距他們較遠(yuǎn)，這也和近幾年伊朗沒落的實(shí)際相符。另外，烏茲別克斯坦和巴林雖然沒有打進(jìn)近兩屆世界杯，不過憑借預(yù)算賽和亞洲杯上的出色表現(xiàn)占據(jù)B組一席之地，而朝鮮由于打入了2010世界杯決賽圈而有幸進(jìn)入B組，可是同樣奇跡般奪得2007年亞洲杯的伊拉克卻被分在三流，看來亞洲杯冠軍的分量還不如打進(jìn)世界杯決賽圈重啊。其它有趣的信息，有興趣的朋友可以進(jìn)一步挖掘。