機器學(xué)習(xí)經(jīng)典算法詳解及Python實現(xiàn)

聚類是一種無監(jiān)督的學(xué)習(xí)（無監(jiān)督學(xué)習(xí)不依賴預(yù)先定義的類或帶類標(biāo)記的訓(xùn)練實例），它將相似的對象歸到同一個簇中，它是觀察式學(xué)習(xí)，而非示例式的學(xué)習(xí)，有點像全自動分類。

說白了，聚類 （clustering）是完全可以按字面意思來理解的——將相同、相似、相近、相關(guān)的對象實例聚成一類的過程。機器學(xué)習(xí)中常見的聚類算法包括 k-Means算法、期望最大化算法（Expectation Maximization，EM，參考“EM算法原理”）、譜聚類算法（參考機器學(xué)習(xí)算法復(fù)習(xí)-譜聚類）以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，本文闡述的是K-均值聚類算法，本文介紹K-均值（K-means）和二分K-均值聚類算法。

機器學(xué)習(xí)經(jīng)典算法詳解及Python實現(xiàn)–K近鄰(KNN)算法

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（一）何謂聚類

還是那句“物以類聚、人以群分”，如果預(yù)先知道人群的標(biāo)簽（如文藝、普通、2B），那么根據(jù)監(jiān)督學(xué)習(xí)的分類算法可將一個人明確的劃分到某一類；如果預(yù)先不知道人群的標(biāo)簽，那就只有根據(jù)人的特征（如愛好、學(xué)歷、職業(yè)等）劃堆了，這就是聚類算法。

聚類是一種無監(jiān)督的學(xué)習(xí)（無監(jiān)督學(xué)習(xí)不 依賴預(yù)先定義的類或帶類標(biāo)記的訓(xùn)練實例），它將相似的對象歸到同一個簇中，它是觀察式學(xué)習(xí)，而非示例式的學(xué)習(xí)，有點像全自動分類。

所謂簇就是該集合中的對 象有很大的相似性，而不同集合間的對象有很大的相異性。簇識別（cluster identification）給出了聚類結(jié)果的含義，告訴我們這些簇到底都是些什么。通常情況下，簇質(zhì)心可以代表整個簇的數(shù)據(jù)來做出決策。聚類方法幾乎 可以應(yīng)用于所有對象，簇內(nèi)的對象越相似，聚類的效果越好。

從機器學(xué)習(xí)的角度講，簇相當(dāng)于隱藏模式，聚類與分類的最大不同在于，分類學(xué)習(xí)的實例或數(shù)據(jù)對象有類別標(biāo)記，而聚類則不一樣，需要由聚類學(xué)習(xí)算法自動 確定標(biāo)記。因為其產(chǎn)生的結(jié)果與分類相同，而只是類別沒有預(yù)先定義，所以聚類也被稱為無監(jiān)督分類（unsupervised classification )。

聚類分析是一種探索性的分析，在分類的過程中，人們不必事先給出一個分類的標(biāo)準，聚類分析能夠從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，自動進行 分類。聚類分析所使用方法的不同，常常會得到不同的結(jié)論。不同研究者對于同一組數(shù)據(jù)進行聚類分析，所得到的聚類數(shù)未必一致。

從實際應(yīng)用的角度看，聚類分析 是數(shù)據(jù)挖掘的主要任務(wù)之一。而且聚類能夠作為一個獨立的工具獲得數(shù)據(jù)的分布狀況，觀察每一簇數(shù)據(jù)的特征，集中對特定的聚簇集合作進一步地分析。聚類分析還 可以作為其他算法（如分類和定性歸納算法）的預(yù)處理步驟。

聚類分析試圖將相似對象歸入同一簇，將不相似對象歸到不同簇，那么是否“相似”就要有所選擇的相似度計算方法?，F(xiàn)在，存在多種不同的相似度計算方 法，到底使用哪種相似度計算方法取決于具體應(yīng)用，選擇合適的相似度計算方法才會提高聚類算法的性能。機器學(xué)習(xí)中常用的相似性度量方法參考博文“機器學(xué)習(xí)中的相似性度量”。

聚類算法通常按照中心點或者分層的方式對輸入數(shù)據(jù)進行歸并，所以的聚類算法都試圖找到數(shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，以便按照最大的共同點將數(shù)據(jù)進行歸類，其目標(biāo) 是使同一類對象的相似度盡可能地大；不同類對象之間的相似度盡可能地小。

目前聚類的方法很多，根據(jù)基本思想的不同，大致可以將聚類算法分為五大類：層次聚 類算法、分割聚類算法、基于約束的聚類算法、機器學(xué)習(xí)中的聚類算法和用于高維度的聚類算法，參考“各種聚類算法的比較”。聚類算法的基本過程包含特征選擇、相似性度量、聚類準則、聚類算法和結(jié)果驗證等，具體參考“聚類算法學(xué)習(xí)筆記（一）——基礎(chǔ)”。

說白了，聚類（clustering）是完全可以按字面意思來理解的——將相同、相似、相近、相關(guān)的對象實例聚成一類的過程。簡單理解，如果一個數(shù) 據(jù)集合包含N個實例，根據(jù)某種準則可以將這N個實例劃分為m個類別，每個類別中的實例都是相關(guān)的，而不同類別之間是區(qū)別的也就是不相關(guān)的，這就得到了一個 聚類模型了。判別新樣本點的所屬類時，就通過計算該點與這m個類別的相似度，選擇最相似的那個類作為該點的歸類。

既然聚類可以看做是一種無監(jiān)督分類，那么其應(yīng)用場景就是廣泛的，包括用戶群劃分、文本分類、圖像識別等等。當(dāng)幾乎沒有有關(guān)數(shù)據(jù)的先驗信息(如統(tǒng)計模 型)可用，而用戶又要求盡可能地對數(shù)據(jù)的可能性少進行假設(shè)等限制條件下，聚類方法都適合用來查看數(shù)據(jù)點中的內(nèi)在關(guān)系以對它們的結(jié)構(gòu)進行評估、決策。

機器學(xué)習(xí)中常見的聚類算法包括 k-Means算法、期望最大化算法（Expectation Maximization，EM，參考“EM算法原理”）、譜聚類算法（參考機器學(xué)習(xí)算法復(fù)習(xí)-譜聚類）以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，本文介紹K-均值（K-means）聚類算法。

（二）K-均值（K-means）聚類算法

1. 認識K-均值聚類算法

K-均值算法是最簡單的一種聚類算法，屬于分割式聚類算法，目的是使各個簇（共k個）中的數(shù)據(jù)點與所在簇質(zhì)心的誤差平方和SSE(Sum of Squared Error）達到最小，這也是評價K-means算法最后聚類效果的評價標(biāo)準。

k-means算法的基礎(chǔ)是最小誤差平方和準則。其代價函數(shù)是：

式中，μc(i)表示第i個簇的質(zhì)心，我們希望得到的聚類模型代價函數(shù)最小，直觀的來說，各簇內(nèi)的樣本越相似，其與該簇質(zhì)心 的誤差平方越小。計算所有簇的誤差平方之和，即可驗證分為k個簇時時的聚類是否是最優(yōu)的。SSE值越小表示數(shù)據(jù)點越接近于它們的質(zhì)心，聚類效果也越好。因 為對誤差取了平方，因此更加重視那些遠離中心的點。

一種肯定可以降低SSE值的方法是增加簇的個數(shù)，但這違背了聚類的目標(biāo)，聚類的目標(biāo)是在保持族數(shù)目不變 的情況下提高簇的質(zhì)量。

k-均值（k-means）聚類算法之所以稱之為k-均值是因為它可以發(fā)現(xiàn)k個不同的簇，且每個簇的中心采用簇中所含子數(shù)據(jù)集樣本特征的均值計算而 成。k-均值是發(fā)現(xiàn)給定數(shù)據(jù)集的k個簇的算法，簇個數(shù)k由用戶給定，每一個簇通過其質(zhì)心( centroid) — 即簇中所有點的中心來描述。K-均值聚類算法需要數(shù)值型數(shù)據(jù)來進行相似性度量，也可以將標(biāo)稱型數(shù)據(jù)映射為二值型數(shù)據(jù)再用于度量相似性，其優(yōu)點是容易實現(xiàn)， 缺點是可能收斂到局部最小值，在大規(guī)模數(shù)據(jù)集上收斂較慢。

假設(shè)訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集X為(m, n）維矩陣，m表示樣本數(shù)、n表示每個樣本點的特征數(shù)，那么k-均值聚類算法的結(jié)果就是得到一個kxn維矩陣，k表示用戶指定的簇個數(shù)，每一行都是一個長 度為n的行向量–第i個元素就是該簇中所有樣本第j（j=0,1,…,n-1）個特征的均值。下圖是K-均值聚類算法聚類的過程：

2. 算法過程

K-均值算法的工作流程是這樣的。首先，隨機確定k個初始點作為質(zhì)心；然后將數(shù)據(jù)集中的每個點分配到一個簇中–就是為每個點找距其最近的質(zhì)心，并將 其分配給該質(zhì)心所對應(yīng)的簇；該步完成之后更新每個簇的質(zhì)心（該簇所有數(shù)據(jù)樣本特征的平均值）；

上述過程迭代多次直至所有數(shù)據(jù)點的簇歸屬不再改變或者達到了 最大迭代次數(shù)Maxiteration。k-均值算法的性能會受到所選相似性度量方法的影響，常用的相似性度量方法就是計算歐氏距離。上述過程的偽代碼表 示如下：

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創(chuàng)建k個點作為起始質(zhì)心

任意點的簇分配結(jié)果發(fā)生改變時（循環(huán)內(nèi)設(shè)置、維護標(biāo)志位changed，也可同時設(shè)定最大迭代次數(shù)max）

對數(shù)據(jù)集中的每個數(shù)據(jù)點

對每個質(zhì)心

計算質(zhì)心與數(shù)據(jù)點之間的距離

將數(shù)據(jù)點分配到距其最近的簇（若有點的簇發(fā)生改變則置標(biāo)志位為changed = True）

更新簇中心： 對每一個簇，計算簇中所有點的均值并將均值作為質(zhì)心

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上述循環(huán)的終止條件是每個點的簇分配結(jié)果沒有發(fā)生改變或者達到了最大循環(huán)次數(shù)。

初始化時k個質(zhì)心的選擇可以是隨機的，但為了提高性能常用的方式是

（1）盡量選擇距離比較遠的點（方法：依次計算出與已確定的點（第一個點可以隨機選擇）的距離，并選擇距離最大的點）。當(dāng)k比較大時，這種方法計算量比較復(fù)雜，適合二分K-均值聚類算法的k值初始化。

（2）采取層次聚類的方式找出k個簇。 TBD

3. 特征值處理

K-均值聚類算法需要數(shù)值型數(shù)據(jù)來進行相似性度量，也可以將標(biāo)稱型數(shù)據(jù)映射為二值型數(shù)據(jù)再用于度量相似性。

另外，樣本會有多個特征，每一個特征都有自己的定義域和取值范圍，他們對distance計算的影響也就不一樣，如取值較大的影響力會蓋過取值較小 的參數(shù)。為了公平，樣本特征取值必須做一些scale處理，最簡單的方式就是所有特征的數(shù)值都采取歸一化處置，把每一維的數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化到0,1區(qū)間內(nèi)，從而 減少迭代次數(shù)，提高算法的收斂速度。

4. k值的選取

前面提到，在k-均值聚類中簇的數(shù)目k是一個用戶預(yù)先定義的參數(shù)，那么用戶如何才能知道k的選擇是否正確？如何才能知道生成的簇比較好呢？與K-近鄰分類算法的k值確定方法一樣,k-均值算法也可采用交叉驗證法確定誤差率最低的k值，參考“機器學(xué)習(xí)經(jīng)典算法詳解及Python實現(xiàn)–K近鄰(KNN)算法”的2.3節(jié)-k值的確定。

當(dāng)k的數(shù)目低于真實的簇的數(shù)目時，SSE（或者平均直徑等其他分散度指標(biāo)）會快速上升。所以可以采用多次聚類，然后比較的方式確定最佳k值。多次聚 類，一般是采用 k=1, 2, 4, 8… 這種二分數(shù)列的方式，通過交叉驗證找到一個k在 v/2, v 時獲取較好聚類效果的v值，然后繼續(xù)使用二分法，在 [v/2, v] 之間找到最佳的k值。

5. K-均值算法的Python實現(xiàn)

下載地址：TBD

K-均值算法收斂但聚類效果較差的原因是，K-均值算法收斂到了局部最小值，而非全局最小值（局部最小值指結(jié)果還可以但并非最好結(jié)果，全局最小值是 可能的最好結(jié)果)。為克服k-均值算法收斂于局部最小值的問題，有人提出了另一個稱為二分k- 均值（bisecting K-means)的算法。

（三）二分K-均值（bisecting k-means)聚類算法

顧名思義，二分K-均值聚類算法就是每次對數(shù)據(jù)集（子數(shù)據(jù)集）采取k=2的k-均值聚類劃分，子數(shù)據(jù)集的選取則有一定的準則。二分K-均值聚類算法 首先將所有點作為一個簇，第一步是然后將該簇一分為二，之后的迭代是：在所有簇中根據(jù)SSE選擇一個簇繼續(xù)進行二分K-均值劃分，直到得到用戶指定的簇數(shù) 目為止。根據(jù)SSE選取繼續(xù)劃分簇的準則有如下兩種:

(1)選擇哪一個簇進行劃分取決于對”其劃分是否可以最大程度降低SSE的值。這需要將每個簇都進行二分劃分，然后計算該簇二分后的簇SSE之和并計算其與二分前簇SSE之差（當(dāng)然SSE必須下降），最后選取差值最大的那個簇進行二分。

該方案下的二分k-均值算法的偽代碼形式如下：

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將所有數(shù)據(jù)點看成一個簇

當(dāng)簇數(shù)目小于k時

對每一個簇

計算總誤差

在給定的簇上面進行k-均值聚類（k=2）

計算將該簇一分為二后的總誤差

選擇使得誤差最小的那個簇進行劃分操作

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(2)另一種做法是所有簇中選擇SSE最大的簇進行劃分，直到簇數(shù)目達到用戶指定的數(shù)目為止，算法過程與（1）相似，區(qū)別僅在于每次選取簇中SSE最大的簇。

二分K-均值聚類算法的Python實現(xiàn)