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數(shù)據(jù)挖掘中所需的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)(十)
2014-11-29
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數(shù)據(jù)挖掘中所需的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)(十)


正態(tài)分布和最大熵

    還有一條小徑是基于最大熵原理的,物理學(xué)家E.T.Jaynes在最大熵原理上有非常重要的貢獻(xiàn),他在《概率論沉思錄》里面對(duì)這個(gè)方法有描述和證明,沒(méi)有提到發(fā)現(xiàn)者,不過(guò)難以確認(rèn)這條道的發(fā)現(xiàn)者是否是Jaynes本人。
    熵在物理學(xué)中由來(lái)已久,信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)(Claude Elwood Shannon)把這個(gè)概念引入了信息論,讀者中很多人可能都知道目前機(jī)器學(xué)習(xí)中有一個(gè)非常好用的分類(lèi)算法叫最大熵分類(lèi)器。要想把熵和最大熵的來(lái)龍去脈說(shuō)清楚可不容易,不過(guò)這條道的風(fēng)景是相當(dāng)獨(dú)特的,E.T.Jaynes對(duì)這條道也是偏愛(ài)有加。
    對(duì)于一個(gè)概率分布,我們定義它的熵為
    如果給定一個(gè)分布函數(shù)的均值和方差(給定均值和方差這個(gè)條件,也可以描述為給定一階原點(diǎn)矩和二階原點(diǎn)矩,這兩個(gè)條件是等價(jià)的)則在所有滿足這兩個(gè)限制的概率分布中,熵最大的概率分布就是正態(tài)分布。
    這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)數(shù)學(xué)上稍微有點(diǎn)復(fù)雜,不過(guò)如果已經(jīng)猜到了給定限制條件下最大熵的分布是正態(tài)分布,要證明這個(gè)猜測(cè)卻是很簡(jiǎn)單的,證明的思路如下。
    考慮兩個(gè)概率分布,使用不等式,得
    于是
      (讀者注意:經(jīng)好友白石指正,上述等式,右邊的第一項(xiàng)p(x)之后,1/p(x) 之前少畫(huà)了個(gè)log符號(hào)
    所以

    熟悉信息論的讀者都知道,這個(gè)式子是信息論中的很著名的結(jié)論:一個(gè)概率分布的熵總是小于相對(duì)熵。上式要取等號(hào)只有取。
    對(duì)于,在給定的均值和方差下,我們?nèi)?img src="https://pic.jg.com.cn/img/cda/f23b379860687474703a2f2f696d672e6d792e6373646e2e6e65742f75706c6f6164732f3230313231322f32312f313335363037393433335f313937302e6a7067dfba51a3a0.jpg" oldsrc="http://img.my.csdn.net/uploads/201212/21/1356079433_1970.jpg" alt="" />,則可以得到
    由于的均值方差有如下限制:,于是
    而當(dāng)的時(shí)候,上式可以取到等號(hào),這就證明了結(jié)論。

    E.T.Jaynes顯然對(duì)正態(tài)分布具有這樣的性質(zhì)極為贊賞,因?yàn)檫@從信息論的角度證明了正態(tài)分布的優(yōu)良性。而我們可以看到,正態(tài)分布熵的大小,取決于方差的大小。這也容易理解,因?yàn)?a href='/map/zhengtaifenbu/' style='color:#000;font-size:inherit;'>正態(tài)分布的均值和密度函數(shù)的形狀無(wú)關(guān),正態(tài)分布的形狀是由其方差決定的,而熵的大小反應(yīng)概率分布中的信息量,顯然和密度函數(shù)的形狀相關(guān)。


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