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數(shù)據(jù)挖掘中所需的概率論（八）Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導(dǎo)
2014-11-29
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數(shù)據(jù)挖掘中所需的概率論（八）Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導(dǎo)

Herschel(1850)和麥克斯韋(1860)的推導(dǎo)

    第二條小徑是天文學(xué)家John Hershcel和物理學(xué)家麥克斯韋(Maxwell)發(fā)現(xiàn)的。1850年，天文學(xué)家Herschel在對星星的位置進(jìn)行測量的時(shí)候，需要考慮二維的誤差分布，為了推導(dǎo)這個(gè)誤差的概率密度分布f(x,y)，Herschel設(shè)置了兩個(gè)準(zhǔn)則：
  1. x軸和y軸的誤差是相互獨(dú)立的，即誤差的概率在正交的方向上相互獨(dú)立；
  2. 誤差的概率分布在空間上具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即誤差的概率分布和角度沒有關(guān)系。
這兩個(gè)準(zhǔn)則對于Herschel考慮的實(shí)際測量問題看起來都很合理。由準(zhǔn)則1，可以得到應(yīng)該具有如下形式
把這個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)，在極坐標(biāo)下的概率密度函數(shù)設(shè)為，有
由準(zhǔn)則2,具有旋轉(zhuǎn)對稱性，也就是應(yīng)該和無關(guān)，所以，綜合以上，我們可以得到
取,得到,所以上式可以轉(zhuǎn)換為
令,則有
從這個(gè)函數(shù)方程中可以解出,從而可以得到的一般形式如下
而就是正態(tài)分布，而就是標(biāo)準(zhǔn)二維正態(tài)分布函數(shù)。

1860年，我們偉大的物理學(xué)家麥克斯韋在考慮氣體分子的運(yùn)動速度分布的時(shí)候，在三維空間中基于類似的準(zhǔn)則推導(dǎo)出了氣體分子運(yùn)動的分布是正態(tài)分布。這就是著名的麥克斯韋分子速率分布定律。大家還記得我們在普通物理中學(xué)過的麥克斯韋-波爾茲曼氣體速率分布定律嗎？
    所以這個(gè)分布其實(shí)是三個(gè)正態(tài)分布的乘積。你的物理老師是否告訴過你其實(shí)這個(gè)分布就是三維正態(tài)分布？反正我是一直不知道，直到今年才明白。
    Herschel-Maxwell推導(dǎo)的神妙之處在于，沒有利用任何概率論的知識，只是基于空間幾何的不變性，就推導(dǎo)出了正態(tài)分布。美國諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主費(fèi)曼(Feymann)每次看到一個(gè)有的數(shù)學(xué)公式的時(shí)候，就會問：圓在哪里？這個(gè)推導(dǎo)中使用到了，也就是告訴我們正態(tài)分布密度公式中有個(gè)，其根源來在于二維正態(tài)分布中的等高線恰好是個(gè)圓。

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