機(jī)器學(xué)習(xí)算法復(fù)習(xí)--隨機(jī)森林

決策樹這種算法有著很多良好的特性，比如說訓(xùn)練時間復(fù)雜度較低，預(yù)測的過程比較快速，模型容易展示（容易將得到的決策樹做成圖片展示出來）等。但是同時， 單決策樹又有一些不好的地方，比如說容易o(hù)ver-fitting，雖然有一些方法，如剪枝可以減少這種情況，但是還是不夠的。

模型組合（比如說有Boosting，Bagging等）與決策樹相關(guān)的算法比較多，這些算法最終的結(jié)果是生成N(可能會有幾百棵以上）棵樹，這樣可以大 大的減少單決策樹帶來的毛病，有點(diǎn)類似于三個臭皮匠等于一個諸葛亮的做法，雖然這幾百棵決策樹中的每一棵都很簡單（相對于C4.5這種單決策樹來說），但 是他們組合起來確是很強(qiáng)大。

在最近幾年的paper上，如iccv這種重量級的會議，iccv 09年 的里面有不少的文章都是與Boosting與隨機(jī)森林相關(guān)的。模型組合+決策樹相關(guān)的算法有兩種比較基本的形式 - 隨機(jī)森林與GBDT((Gradient Boost Decision Tree)，其他的比較新的模型組合+決策樹的算法都是來自這兩種算法的延伸。本文主要側(cè)重于GBDT，對于隨機(jī)森林只是大概提提，因?yàn)樗鄬Ρ容^簡單。

在看本文之前，建議先看看機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)(3)與其中引用的論文，本文中的GBDT主要基于此，而隨機(jī)森林相對比較獨(dú)立。

基礎(chǔ)內(nèi)容：

這里只是準(zhǔn)備簡單談?wù)劵A(chǔ)的內(nèi)容，主要參考一下別人的文章，對于隨機(jī)森林與GBDT，有兩個地方比較重要，首先是information gain，其次是決策樹。這里特別推薦Andrew Moore大牛的Decision Trees Tutorial，與Information Gain Tutorial。Moore的Data Mining Tutorial系列非常贊，看懂了上面說的兩個內(nèi)容之后的文章才能繼續(xù)讀下去。

決策樹實(shí)際上是將空間用超平面進(jìn)行劃分的一種方法，每次分割的時候，都將當(dāng)前的空間一分為二，比如說下面的決策樹：

就是將空間劃分成下面的樣子：

這樣使得每一個葉子節(jié)點(diǎn)都是在空間中的一個不相交的區(qū)域，在進(jìn)行決策的時候，會根據(jù)輸入樣本每一維feature的值，一步一步往下，最后使得樣本落入N個區(qū)域中的一個（假設(shè)有N個葉子節(jié)點(diǎn)）

隨機(jī)森林(Random Forest):

隨機(jī)森林是一個最近比較火的算法，它有很多的優(yōu)點(diǎn)：

在數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)良好

在當(dāng)前的很多數(shù)據(jù)集上，相對其他算法有著很大的優(yōu)勢

它能夠處理很高維度（feature很多）的數(shù)據(jù)，并且不用做特征選擇

在訓(xùn)練完后，它能夠給出哪些feature比較重要

在創(chuàng)建隨機(jī)森林的時候，對generlization error使用的是無偏估計

訓(xùn)練速度快

在訓(xùn)練過程中，能夠檢測到feature間的互相影響

容易做成并行化方法

實(shí)現(xiàn)比較簡單

隨機(jī)森林顧名思義，是用隨機(jī)的方式建立一個森林，森林里面有很多的決策樹組成，隨機(jī)森林的每一棵決策樹之間是沒有關(guān)聯(lián)的。在得到森林之后，當(dāng)有一個新的輸 入樣本進(jìn)入的時候，就讓森林中的每一棵決策樹分別進(jìn)行一下判斷，看看這個樣本應(yīng)該屬于哪一類（對于分類算法），然后看看哪一類被選擇最多，就預(yù)測這個樣本 為那一類。

在建立每一棵決策樹的過程中，有兩點(diǎn)需要注意 - 采樣與完全分裂。首先是兩個隨機(jī)采樣的過程，random forest對輸入的數(shù)據(jù)要進(jìn)行行、列的采樣。對于行采樣，采用有放回的方式，也就是在采樣得到的樣本集合中，可能有重復(fù)的樣本。假設(shè)輸入樣本為N個，那 么采樣的樣本也為N個。這樣使得在訓(xùn)練的時候，每一棵樹的輸入樣本都不是全部的樣本，使得相對不容易出現(xiàn)over-fitting。然后進(jìn)行列采樣，從M 個feature中，選擇m個(m << M)。之后就是對采樣之后的數(shù)據(jù)使用完全分裂的方式建立出決策樹，這樣決策樹的某一個葉子節(jié)點(diǎn)要么是無法繼續(xù)分裂的，要么里面的所有樣本的都是指向的同一 個分類。一般很多的決策樹算法都一個重要的步驟 - 剪枝，但是這里不這樣干，由于之前的兩個隨機(jī)采樣的過程保證了隨機(jī)性，所以就算不剪枝，也不會出現(xiàn)over-fitting。

按這種算法得到的隨機(jī)森林中的每一棵都是很弱的，但是大家組合起來就很厲害了。我覺得可以這樣比喻隨機(jī)森林算法：每一棵決策樹就是一個精通于某一個窄領(lǐng)域 的專家（因?yàn)槲覀儚腗個feature中選擇m讓每一棵決策樹進(jìn)行學(xué)習(xí)），這樣在隨機(jī)森林中就有了很多個精通不同領(lǐng)域的專家，對一個新的問題（新的輸入數(shù) 據(jù)），可以用不同的角度去看待它，最終由各個專家，投票得到結(jié)果。

這個頁面上寫的比較清楚了，其中可能不明白的就是Information Gain，可以看看之前推薦過的Moore的頁面。

Gradient Boost Decision Tree:

GBDT是一個應(yīng)用很廣泛的算法，可以用來做分類、回歸。在很多的數(shù)據(jù)上都有不錯的效果。GBDT這個算法還有一些其他的名字，比如說MART(Multiple Additive Regression Tree)，GBRT(Gradient Boost Regression Tree)，Tree Net等，其實(shí)它們都是一個東西（參考自wikipedia – Gradient Boosting)，發(fā)明者是Friedman

Gradient Boost其實(shí)是一個框架，里面可以套入很多不同的算法，可以參考一下機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)(3)中的講解。Boost是"提升"的意思，一般Boosting算法都是一個迭代的過程，每一次新的訓(xùn)練都是為了改進(jìn)上一次的結(jié)果。

原始的Boost算法是在算法開始的時候，為每一個樣本賦上一個權(quán)重值，初始的時候，大家都是一樣重要的。在每一步訓(xùn)練中得到的模型，會使得數(shù)據(jù)點(diǎn)的估計 有對有錯，我們就在每一步結(jié)束后，增加分錯的點(diǎn)的權(quán)重，減少分對的點(diǎn)的權(quán)重，這樣使得某些點(diǎn)如果老是被分錯，那么就會被“嚴(yán)重關(guān)注”，也就被賦上一個很高 的權(quán)重。然后等進(jìn)行了N次迭代（由用戶指定），將會得到N個簡單的分類器（basic learner），然后我們將它們組合起來（比如說可以對它們進(jìn)行加權(quán)、或者讓它們進(jìn)行投票等），得到一個最終的模型。

而Gradient Boost與傳統(tǒng)的Boost的區(qū)別是，每一次的計算是為了減少上一次的殘差(residual)，而為了消除殘差，我們可以在殘差減少的梯度(Gradient)方向上建立一個新的模型。所以說，在Gradient Boost中，每個新的模型的簡歷是為了使得之前模型的殘差往梯度方向減少，與傳統(tǒng)Boost對正確、錯誤的樣本進(jìn)行加權(quán)有著很大的區(qū)別。

在分類問題中，有一個很重要的內(nèi)容叫做Multi-Class Logistic，也就是多分類的Logistic問題，它適用于那些類別數(shù)>2的問題，并且在分類結(jié)果中，樣本x不是一定只屬于某一個類可以得到 樣本x分別屬于多個類的概率（也可以說樣本x的估計y符合某一個幾何分布），這實(shí)際上是屬于Generalized Linear Model中討論的內(nèi)容，這里就先不談了，以后有機(jī)會再用一個專門的章節(jié)去做吧。這里就用一個結(jié)論：如果一個分類問題符合幾何分布，那么就可以用Logistic變換來進(jìn)行之后的運(yùn)算。

假設(shè)對于一個樣本x，它可能屬于K個分類，其估計值分別為F1(x)…FK(x)，Logistic變換如下，logistic變換是一個平滑且將數(shù)據(jù)規(guī)范化（使得向量的長度為1）的過程，結(jié)果為屬于類別k的概率pk(x)，

對于Logistic變換后的結(jié)果，損失函數(shù)為：

其中，yk為輸入的樣本數(shù)據(jù)的估計值，當(dāng)一個樣本x屬于類別k時，yk = 1，否則yk = 0。

將Logistic變換的式子帶入損失函數(shù)，并且對其求導(dǎo)，可以得到損失函數(shù)的梯度：

上面說的比較抽象，下面舉個例子：

假設(shè)輸入數(shù)據(jù)x可能屬于5個分類（分別為1,2,3,4,5），訓(xùn)練數(shù)據(jù)中，x屬于類別3，則y = (0, 0, 1, 0, 0)，假設(shè)模型估計得到的F(x) = (0, 0.3, 0.6, 0, 0)，則經(jīng)過Logistic變換后的數(shù)據(jù)p(x) = (0.16,0.21,0.29,0.16,0.16)，y - p得到梯度g：(-0.16, -0.21, 0.71, -0.16, -0.16)。觀察這里可以得到一個比較有意思的結(jié)論：

假設(shè)gk為樣本當(dāng)某一維（某一個分類）上的梯度:

gk>0時，越大表示其在這一維上的概率p(x)越應(yīng)該提高，比如說上面的第三維的概率為0.29，就應(yīng)該提高，屬于應(yīng)該往“正確的方向”前進(jìn)

越小表示這個估計越“準(zhǔn)確”

gk<0時，越小，負(fù)得越多表示在這一維上的概率應(yīng)該降低，比如說第二維0.21就應(yīng)該得到降低。屬于應(yīng)該朝著“錯誤的反方向”前進(jìn)

越大，負(fù)得越少表示這個估計越“不錯誤 ”

總的來說，對于一個樣本，最理想的梯度是越接近0的梯度。所以，我們要能夠讓函數(shù)的估計值能夠使得梯度往反方向移動（>0的維度上，往負(fù)方向移動，<0的維度上，往正方向移動）最終使得梯度盡量=0），并且該算法在會嚴(yán)重關(guān)注那些梯度比較大的樣本，跟Boost的意思類似。

得到梯度之后，就是如何讓梯度減少了。這里是用的一個迭代+決策樹的方法，當(dāng)初始化的時候，隨便給出一個估計函數(shù)F(x)（可以讓F(x)是一個隨機(jī)的值，也可以讓F(x)=0），然后之后每迭代一步就根據(jù)當(dāng)前每一個樣本的梯度的情況，建立一棵決策樹。就讓函數(shù)往梯度的反方向前進(jìn)，最終使得迭代N步后，梯度越小。

這里建立的決策樹和普通的決策樹不太一樣，首先，這個決策樹是一個葉子節(jié)點(diǎn)數(shù)J固定的，當(dāng)生成了J個節(jié)點(diǎn)后，就不再生成新的節(jié)點(diǎn)了。

算法的流程如下:（參考自treeBoost論文）

0. 表示給定一個初始值

1. 表示建立M棵決策樹（迭代M次）

2. 表示對函數(shù)估計值F(x)進(jìn)行Logistic變換

3. 表示對于K個分類進(jìn)行下面的操作（其實(shí)這個for循環(huán)也可以理解為向量的操作，每一個樣本點(diǎn)xi都對應(yīng)了K種可能的分類yi，所以yi, F(xi), p(xi)都是一個K維的向量，這樣或許容易理解一點(diǎn)）

4. 表示求得殘差減少的梯度方向

5. 表示根據(jù)每一個樣本點(diǎn)x，與其殘差減少的梯度方向，得到一棵由J個葉子節(jié)點(diǎn)組成的決策樹

6. 為當(dāng)決策樹建立完成后，通過這個公式，可以得到每一個葉子節(jié)點(diǎn)的增益（這個增益在預(yù)測的時候用的）

每個增益的組成其實(shí)也是一個K維的向量，表示如果在決策樹預(yù)測的過程中，如果某一個樣本點(diǎn)掉入了這個葉子節(jié)點(diǎn)，則其對應(yīng)的K個分類的值是多少。比如 說，GBDT得到了三棵決策樹，一個樣本點(diǎn)在預(yù)測的時候，也會掉入3個葉子節(jié)點(diǎn)上，其增益分別為（假設(shè)為3分類的問題）：

(0.5, 0.8, 0.1),  (0.2, 0.6, 0.3),  (0.4, 0.3, 0.3)，那么這樣最終得到的分類為第二個，因?yàn)檫x擇分類2的決策樹是最多的。

7. 的意思為，將當(dāng)前得到的決策樹與之前的那些決策樹合并起來，作為新的一個模型(跟6中所舉的例子差不多)