丨前言
本文將系統(tǒng)的講解數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的經(jīng)典聚類算法，并給予代碼實(shí)現(xiàn)示例。雖然當(dāng)下已有很多平臺(tái)都集成了數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的經(jīng)典算法模塊，但筆者認(rèn)為要深入理解算法的核心，剖析算法的執(zhí)行過程，那么通過代碼的實(shí)現(xiàn)及運(yùn)行結(jié)果來進(jìn)行算法的驗(yàn)證，這樣的過程是很有必要的。因此本文，將有助于讀者對經(jīng)典聚類算法的深入學(xué)習(xí)與理解。
丨聚類和分類的區(qū)別
一開始筆者就想談?wù)勥@個(gè)話題，畢竟在數(shù)據(jù)挖掘算法領(lǐng)域，這兩者有著很大的差別，對于初學(xué)者很容易混淆。拋開晦澀的定義陳述，在此我們先通過兩個(gè)生活比喻看看什么是監(jiān)督學(xué)習(xí)，什么是非監(jiān)督學(xué)習(xí)。
回首我們?nèi)松蠲篮玫亩罐⒛耆A，那時(shí)的我們，少年初長成，結(jié)束了小學(xué)生涯，步入初中，這個(gè)年齡是我們?nèi)松械谝粋€(gè)分水嶺。初中一年級剛?cè)雽W(xué)時(shí)，同學(xué)們之間彼此不認(rèn)識，老師對同學(xué)們也都不熟悉。但隨著時(shí)間的推移，同學(xué)們基本上都分成了三五群，回想一下那時(shí)的我們，是不是整天玩在一起的同學(xué)總是那幾個(gè)？我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程老師是不參與的，老師不會(huì)讓同學(xué)們分成幾組，讓哪幾個(gè)同學(xué)經(jīng)常在一起學(xué)習(xí)和玩耍。想想這個(gè)過程，其實(shí)是我們自己辨別和哪些同學(xué)合得來一個(gè)過程，這期間我們可能會(huì)判斷同學(xué)的性格，學(xué)習(xí)成績，共同愛好與話題，是否和同學(xué)家離的很近還能一起上學(xué)和回家等等很多的維度因素。時(shí)間久了，班級里就會(huì)出現(xiàn)不同的幾個(gè)圈子，這個(gè)圈子的數(shù)量及細(xì)節(jié)一開始并沒有人知曉，并且這個(gè)過程無老師進(jìn)行監(jiān)督，因此我們視之為無監(jiān)督學(xué)習(xí)。在此我們指出，聚類算法是無監(jiān)督學(xué)習(xí)的算法。
初中三年級，因?yàn)槲覀儽池?fù)著中考的重?fù)?dān)，大家都為了自己的理想高中做最后的沖刺努力。設(shè)想這樣一種情況：為了更好的幫助大家不斷提高學(xué)習(xí)成績，班主任老師將班級分成了五個(gè)互幫互助小組（語文、數(shù)學(xué)、物理、生物、英語），每個(gè)小組十位同學(xué)，分別是班級里這幾個(gè)科目考試成績最好的前十名同學(xué)，為了達(dá)到更好的互幫互助效果，每位達(dá)到條件要求的同學(xué)只能加入一門科目小組，也就是說，如果某位同學(xué)有兩門或兩門以上的科目都排在班級前十名，則班主任老師隨機(jī)指定其加入某一小組。這樣所有同學(xué)都可以在互幫互助小組的幫助下更大程度的提升自己的薄弱科目，實(shí)現(xiàn)共贏。在此我們可以看到小組的種類，數(shù)量，都是定義好的，只需要老師指定好各個(gè)小組的成員。因此，這樣的學(xué)習(xí)過程是一種監(jiān)督學(xué)習(xí)過程，老師給出小組的種類和數(shù)量用排名的方式來監(jiān)督并激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)。在此我們指出，分類算法是監(jiān)督學(xué)習(xí)的算法。
總結(jié)一下，數(shù)據(jù)分類是分析已有的數(shù)據(jù)，尋找其共同的屬性，并根據(jù)分類模型將這些數(shù)據(jù)劃分成不同的類別，這些數(shù)據(jù)賦予類標(biāo)號。這些類別是事先定義好的，并且類別數(shù)是已知的。相反，數(shù)據(jù)聚類則是將本沒有類別參考的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并劃分為不同的組，即從這些數(shù)據(jù)導(dǎo)出類標(biāo)號。聚類分析本身則是根據(jù)數(shù)據(jù)來發(fā)掘數(shù)據(jù)對象及其關(guān)系信息，并將這些數(shù)據(jù)分組。每個(gè)組內(nèi)的對象之間是相似的，而各個(gè)組間的對象是不相關(guān)的。不難理解，組內(nèi)相似性越高，組間相異性越高，則聚類越好。
丨K 均值算法詳解及實(shí)現(xiàn)
算法流程
K 均值算法，應(yīng)該是聚類算法中最為基礎(chǔ)但也最為重要的算法。其算法流程如下：
隨機(jī)的取 k 個(gè)點(diǎn)作為 k 個(gè)初始質(zhì)心；
計(jì)算其他點(diǎn)到這個(gè) k 個(gè)質(zhì)心的距離；
如果某個(gè)點(diǎn) p 離第 n 個(gè)質(zhì)心的距離更近，則該點(diǎn)屬于 cluster n，并對其打標(biāo)簽，標(biāo)注 point p.label=n，其中 n<=k；
計(jì)算同一 cluster 中，也就是相同 label 的點(diǎn)向量的平均值，作為新的質(zhì)心；
迭代至所有質(zhì)心都不變化為止，即算法結(jié)束。
當(dāng)然算法實(shí)現(xiàn)的方法有很多，比如在選擇初始質(zhì)心時(shí)，可以隨機(jī)選擇 k 個(gè)，也可以隨機(jī)選擇 k 個(gè)離得最遠(yuǎn)的點(diǎn)等等，方法不盡相同。
K 值估計(jì)
對于 k 值，必須提前知道，這也是 kmeans 算法的一個(gè)缺點(diǎn)。當(dāng)然對于 k 值，我們可以有很多種方法進(jìn)行估計(jì)。本文中，我們采用平均直徑法來進(jìn)行 k 的估計(jì)。
也就是說，首先視所有的點(diǎn)為一個(gè)大的整體 cluster，計(jì)算所有點(diǎn)之間距離的平均值作為該 cluster 的平均直徑。選擇初始質(zhì)心的時(shí)候，先選擇最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，接下來從這最兩個(gè)點(diǎn)開始，與這最兩個(gè)點(diǎn)距離都很遠(yuǎn)的點(diǎn)（遠(yuǎn)的程度為，該點(diǎn)到之前選擇的最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)的距離都大于整體 cluster 的平均直徑）可視為新發(fā)現(xiàn)的質(zhì)心，否則不視之為質(zhì)心。設(shè)想一下，如果利用平均半徑或平均直徑這一個(gè)指標(biāo)，若我們猜想的 K 值大于或等于真實(shí)的 K 值，也就是簇的真實(shí)數(shù)目，那么該指標(biāo)的上升趨勢會(huì)很緩慢，但是如果我們給出的 K 值小于真實(shí)的簇的數(shù)目時(shí)，這個(gè)指標(biāo)一定會(huì)急劇上升。
根據(jù)這樣的估算思想，我們就能估計(jì)出正確的 k 值，并且得到 k 個(gè)初始質(zhì)心，接著，我們便根據(jù)上述算法流程繼續(xù)進(jìn)行迭代，直到所有質(zhì)心都不變化，從而成功實(shí)現(xiàn)算法。如下圖所示：
圖 1. K 值估計(jì)
我們知道 k 均值總是收斂的，也就是說，k 均值算法一定會(huì)達(dá)到一種穩(wěn)定狀態(tài)，在此狀態(tài)下，所有的點(diǎn)都不會(huì)從一個(gè)簇轉(zhuǎn)移到另一個(gè)簇，因此質(zhì)心不在發(fā)生改變。在此，我們引出一個(gè)剪枝優(yōu)化，即：k 均值最明顯的收斂過程會(huì)發(fā)生在算法運(yùn)行的前期階段，故在某些情況下為了增加算法的執(zhí)行效率，我們可以替換上述算法的第五步，采用“迭代至僅有 1%~3%的點(diǎn)在影響質(zhì)心”或“迭代至僅有 1%~3%的點(diǎn)在改變簇”。
k 均值適用于絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)類型，并且簡單有效。但其缺點(diǎn)就是需要知道準(zhǔn)確的 k 值，并且不能處理異形簇，比如球形簇，不同尺寸及密度的簇，環(huán)形簇等等。
本文主要為算法講解及實(shí)現(xiàn)，因此代碼實(shí)現(xiàn)暫不考慮面向?qū)ο笏枷?，采用面向過程的實(shí)現(xiàn)方式，如果數(shù)據(jù)多維，可能會(huì)需要做數(shù)據(jù)預(yù)處理，比如歸一化，并且修改代碼相關(guān)方法即可。
算法實(shí)現(xiàn)
清單 1. Kmeans 算法代碼實(shí)現(xiàn)
測試數(shù)據(jù)
給出一組簡單的二維測試數(shù)據(jù)：
清單 2. Kmeans 算法測試數(shù)據(jù)
運(yùn)行結(jié)果
清單 3. Kmeans 算法運(yùn)行結(jié)果
丨層次聚類算法詳解及實(shí)現(xiàn)
層次聚類簡介
層次聚類分為凝聚式層次聚類和分裂式層次聚類。
凝聚式層次聚類，就是在初始階段將每一個(gè)點(diǎn)都視為一個(gè)簇，之后每一次合并兩個(gè)最接近的簇，當(dāng)然對于接近程度的定義則需要指定簇的鄰近準(zhǔn)則。
分裂式層次聚類，就是在初始階段將所有的點(diǎn)視為一個(gè)簇，之后每次分裂出一個(gè)簇，直到最后剩下單個(gè)點(diǎn)的簇為止。
本文中我們將詳細(xì)介紹凝聚式層次聚類算法。
對于凝聚式層次聚類，指定簇的鄰近準(zhǔn)則是非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，在此我們介紹三種最常用的準(zhǔn)則，分別是 MAX， MIN， 組平均。如下圖所示：
圖 2. 層次聚類計(jì)算準(zhǔn)則
算法流程
凝聚式層次聚類算法也是一個(gè)迭代的過程，算法流程如下：
每次選最近的兩個(gè)簇合并，我們將這兩個(gè)合并后的簇稱之為合并簇。
若采用 MAX 準(zhǔn)則，選擇其他簇與合并簇中離得最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離作為簇之間的鄰近度。若采用 MIN 準(zhǔn)則，取其他簇與合并簇中離得最近的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離作為簇之間的鄰近度。若組平均準(zhǔn)則，取其他簇與合并簇所有點(diǎn)之間距離的平均值作為簇之間的鄰近度。
重復(fù)步驟 1 和步驟 2，合并至只剩下一個(gè)簇。
算法過程舉例
下面我們看一個(gè)例子：
下圖是一個(gè)有五個(gè)點(diǎn)的而為坐標(biāo)系：
圖 3. 層次聚類舉例
下表為這五個(gè)點(diǎn)的歐式距離矩陣：
表 1. 歐式距離原始矩陣
根據(jù)算法流程，我們先找出距離最近的兩個(gè)簇，P3， P4。
合并 P3， P4 為 {P3， P4}，根據(jù) MIN 原則更新矩陣如下：
MIN.distance({P3， P4}， P1) = 1.32；
MIN.distance({P3， P4}， P2) = 1.56；
MIN.distance({P3， P4}， P5) = 0.70；
表 2. 歐式距離更新矩陣 1
接著繼續(xù)找出距離最近的兩個(gè)簇，{P3， P4}， P5。
合并 {P3， P4}， P5 為 {P3， P4， P5}，根據(jù) MIN 原則繼續(xù)更新矩陣：
MIN.distance(P1， {P3， P4， P5}) = 1.32；
MIN.distance(P2， {P3， P4， P5}) = 1.56；
表 3. 歐式距離更新矩陣 2
接著繼續(xù)找出距離最近的兩個(gè)簇，P1， P2。
合并 P1， P2 為 {P1， P2}，根據(jù) MIN 原則繼續(xù)更新矩陣：
MIN.distance({P1，P2}， {P3， P4， P5}) = 1.32
表 4. 歐式距離更新矩陣 3
最終合并剩下的這兩個(gè)簇即可獲得最終結(jié)果，如下圖：
圖 4. 層次聚類舉例結(jié)果
MAX，組平均算法流程同理，只是在更新矩陣時(shí)將上述計(jì)算簇間距離變?yōu)榇亻g兩點(diǎn)最大歐式距離，和簇間所有點(diǎn)平均歐式距離即可。
算法實(shí)現(xiàn)
清單 4. 層次聚類算法代碼實(shí)現(xiàn)
測試數(shù)據(jù)
給出一組簡單的二維測試數(shù)據(jù)
清單 5. 層次聚類算法測試數(shù)據(jù)
運(yùn)行結(jié)果
清單 6. 層次聚類算法運(yùn)行結(jié)果
丨DBSCAN 算法詳解及實(shí)現(xiàn)
考慮一種情況，點(diǎn)的分布不均勻，形狀不規(guī)則時(shí)，Kmeans 算法及層次聚類算法將面臨失效的風(fēng)險(xiǎn)。
如下坐標(biāo)系：
圖 5. DBSCAN 算法舉例
我們可以看到上面的點(diǎn)密度不均勻，這時(shí)我們考慮采用基于密度的聚類算法：DBSCAN。
算法流程
設(shè)定掃描半徑 Eps， 并規(guī)定掃描半徑內(nèi)的密度值。若當(dāng)前點(diǎn)的半徑范圍內(nèi)密度大于等于設(shè)定密度值，則設(shè)置當(dāng)前點(diǎn)為核心點(diǎn)；若某點(diǎn)剛好在某核心點(diǎn)的半徑邊緣上，則設(shè)定此點(diǎn)為邊界點(diǎn)；若某點(diǎn)既不是核心點(diǎn)又不是邊界點(diǎn)，則此點(diǎn)為噪聲點(diǎn)。
刪除噪聲點(diǎn)。
將距離在掃描半徑內(nèi)的所有核心點(diǎn)賦予邊進(jìn)行連通。
每組連通的核心點(diǎn)標(biāo)記為一個(gè)簇。
將所有邊界點(diǎn)指定到與之對應(yīng)的核心點(diǎn)的簇總。
算法過程舉例
如上圖坐標(biāo)系所示，我們設(shè)定掃描半徑 Eps 為 1.5，密度閾值 threshold 為 3，則通過上述算法過程，我們可以得到下圖：
圖 6. DBSCAN 算法舉例結(jié)果示例
通過計(jì)算各個(gè)點(diǎn)之間的歐式距離及其所在掃描半徑內(nèi)的密度值來判斷這些點(diǎn)屬于核心點(diǎn)，邊界點(diǎn)或是噪聲點(diǎn)。因?yàn)槲覀冊O(shè)定了掃描半徑為 1.5，密度閾值為 3，所以：
P0 點(diǎn)為邊界點(diǎn)，因?yàn)樵谝云錇橹行牡膾呙璋霃絻?nèi)只有兩個(gè)點(diǎn) P0 和 P1；
P1 點(diǎn)為核心點(diǎn)，因?yàn)樵谝云錇橹行牡膾呙璋霃絻?nèi)有四個(gè)點(diǎn) P0，P1，P2，P4 ；
P8 為噪聲點(diǎn)，因?yàn)槠浼确呛诵狞c(diǎn)，也非邊界點(diǎn)；
其他點(diǎn)依次類推。
算法實(shí)現(xiàn)
清單 7. DBSCAN 算法代碼實(shí)現(xiàn)
測試數(shù)據(jù)
清單 8. DBSCAN 算法測試數(shù)據(jù)
運(yùn)行結(jié)果
清單 9. DBSCAN 算法運(yùn)行結(jié)果
丨其他聚類算法簡介
BIRCH 算法
Birch 是一種能夠高效處理大數(shù)據(jù)聚類的基于樹的層次聚類算法。設(shè)想這樣一種情況，一個(gè)擁有大規(guī)模數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)庫，當(dāng)這些數(shù)據(jù)被放入主存進(jìn)行聚類處理時(shí)，一般的聚類算法則沒有對應(yīng)的高效處理能力，這時(shí) Birch 算法是最佳的選擇。
Birth 不僅能夠高效地處理大數(shù)據(jù)聚類，并且能最小化 IO 花銷。它不需要掃描全局?jǐn)?shù)據(jù)已經(jīng)現(xiàn)有的簇。
算法流程
聚類特征 CF=(N，LS，SS)，其中 N 代表簇中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，LS 代表簇中代表簇中各點(diǎn)線性和，SS 代表簇中各點(diǎn)的平方和距離。聚類特征被應(yīng)用于 CF 樹中，CF 樹是一種高度平衡樹，它具有兩個(gè)參數(shù)：平衡因子 B 和簇半徑閾值 T。其中平衡因子 B 代表每一個(gè)非葉子節(jié)點(diǎn)最多能夠引入 B 個(gè)實(shí)體條目。
葉子節(jié)點(diǎn)最多只能包含 L 個(gè)實(shí)體條目，并且它們具有前向后向指針，這樣可以彼此鏈接起來。
樹的大小取決于簇半徑閾值 T 的大小。
從根節(jié)點(diǎn)開始，遞歸查找與要插入的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離最近的葉子節(jié)點(diǎn)中的實(shí)體條目，遞歸過程選擇最短路徑。
比較上述計(jì)算出的數(shù)據(jù)點(diǎn)與葉子節(jié)點(diǎn)中實(shí)體條目間的最近距離是否小葉簇半徑閾值 T，小于則吸收該數(shù)據(jù)點(diǎn)。否則執(zhí)行下一步。
判斷當(dāng)前條目所在的葉節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是否小于 L，若小于則直接將該數(shù)據(jù)點(diǎn)插入當(dāng)前點(diǎn)。否則分裂葉子節(jié)點(diǎn)，分裂過程是將葉子節(jié)點(diǎn)中距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)實(shí)體條目變?yōu)樾碌膬蓚€(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，其他條目則根據(jù)距離最近原則重新分配到這兩個(gè)新的葉子節(jié)點(diǎn)中。刪除原來的葉子節(jié)點(diǎn)并更新 CF 樹。
若不能將所有數(shù)據(jù)點(diǎn)加入 CF 樹中，則考慮增加簇半徑閾值 T，并重新更新 CF 樹直至所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)被加入 CF 樹為止。
CURE 算法
算法流程
在數(shù)據(jù)集中選擇樣本數(shù)據(jù)。
將上述樣本數(shù)據(jù)劃分為 P 個(gè)同樣大小的劃分。
將每個(gè)劃分中的點(diǎn)聚成 m/pq 個(gè)簇，共得到 m/q 個(gè)簇。過程中需刪除噪聲點(diǎn)。
對上述 m/q 個(gè)簇進(jìn)行聚類直至剩下 k 個(gè)簇。
繼續(xù)刪除離群點(diǎn)。
將剩下的點(diǎn)指派到最近的簇完成聚類過程。
結(jié)束語
聚類算法是數(shù)據(jù)挖掘算法中最為重要的部分之一，算法種類繁多，應(yīng)用場景也各有不同，本文章提到的聚類算法為常見常用的一些較為基本的算法，對于其他的聚類算法，如最小生成樹聚類，CLIQUE，DENCLUE，SOM 等等如有興趣，讀者可以自行查找相關(guān)資料進(jìn)行學(xué)習(xí)。本文旨在提高讀者對算法本身的理解，代碼實(shí)現(xiàn)過程及結(jié)果打印能夠更好的幫助讀者剖析算法，使讀者能夠更快的入門并掌握基本的聚類算法。
參考資料
《數(shù)據(jù)挖掘導(dǎo)論》
《大數(shù)據(jù)-互聯(lián)網(wǎng)大規(guī)模數(shù)據(jù)挖掘與分布式處理》
文 | 楊翔宇 段偉瑋
來源 | IBM Developerworks
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