5種常用的相關(guān)分析方法

相關(guān)分析（Analysis of Correlation）是網(wǎng)站分析中經(jīng)常使用的分析方法之一。通過(guò)對(duì)不同特征或數(shù)據(jù)間的關(guān)系進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)業(yè)務(wù)運(yùn)營(yíng)中的關(guān)鍵影響及驅(qū)動(dòng)因素。并對(duì)業(yè)務(wù)的發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)。本篇文章將介紹5種常用的分析方法。在開(kāi)始介紹相關(guān)分析之前，需要特別說(shuō)明的是相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系。

相關(guān)分析的方法很多，初級(jí)的方法可以快速發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，如正相關(guān)，負(fù)相關(guān)或不相關(guān)。中級(jí)的方法可以對(duì)數(shù)據(jù)間關(guān)系的強(qiáng)弱進(jìn)行度量，如完全相關(guān)，不完全相關(guān)等。高級(jí)的方法可以將數(shù)據(jù)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為模型，并通過(guò)模型對(duì)未來(lái)的業(yè)務(wù)發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)。下面我們以一組廣告的成本數(shù)據(jù)和曝光量數(shù)據(jù)對(duì)每一種相關(guān)分析方法進(jìn)行介紹。

以下是每日廣告曝光量和費(fèi)用成本的數(shù)據(jù)，每一行代表一天中的花費(fèi)和獲得的廣告曝光數(shù)量。憑經(jīng)驗(yàn)判斷，這兩組數(shù)據(jù)間應(yīng)該存在聯(lián)系，但僅通過(guò)這兩組數(shù)據(jù)我們無(wú)法證明這種關(guān)系真實(shí)存在，也無(wú)法對(duì)這種關(guān)系的強(qiáng)度進(jìn)行度量。因此我們希望通過(guò)相關(guān)分析來(lái)找出這兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并對(duì)這種關(guān)系進(jìn)度度量。

1，圖表相關(guān)分析（折線圖及散點(diǎn)圖）

第一種相關(guān)分析方法是將數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是繪制圖表。單純從數(shù)據(jù)的角度很難發(fā)現(xiàn)其中的趨勢(shì)和聯(lián)系，而將數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制成圖表后趨勢(shì)和聯(lián)系就會(huì)變的清晰起來(lái)。對(duì)于有明顯時(shí)間維度的數(shù)據(jù)，我們選擇使用折線圖。

為了更清晰的對(duì)比這兩組數(shù)據(jù)的變化和趨勢(shì)，我們使用雙坐標(biāo)軸折線圖，其中主坐標(biāo)軸用來(lái)繪制廣告曝光量數(shù)據(jù)，次坐標(biāo)軸用來(lái)繪制費(fèi)用成本的數(shù)據(jù)。通過(guò)折線圖可以發(fā)現(xiàn)，費(fèi)用成本和廣告曝光量?jī)山M數(shù)據(jù)的變化和趨勢(shì)大致相同，從整體的大趨勢(shì)來(lái)看，費(fèi)用成本和廣告曝光量?jī)山M數(shù)據(jù)都呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)。從規(guī)律性來(lái)看費(fèi)用成本和廣告曝光量數(shù)據(jù)每次的最低點(diǎn)都出現(xiàn)在同一天。從細(xì)節(jié)來(lái)看，兩組數(shù)據(jù)的短期趨勢(shì)的變化也基本一致。

經(jīng)過(guò)以上這些對(duì)比，我們可以說(shuō)廣告曝光量和費(fèi)用成本之間有一些相關(guān)關(guān)系，但這種方法在整個(gè)分析過(guò)程和解釋上過(guò)于復(fù)雜，如果換成復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)據(jù)或者相關(guān)度較低的數(shù)據(jù)就會(huì)出現(xiàn)很多問(wèn)題。

比折線圖更直觀的是散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖去除了時(shí)間維度的影響，只關(guān)注廣告曝光量和費(fèi)用成本這里兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系。在繪制散點(diǎn)圖之前，我們將費(fèi)用成本標(biāo)識(shí)為X，也就是自變量，將廣告曝光量標(biāo)識(shí)為y，也就是因變量。下面是一張根據(jù)每一天中廣告曝光量和費(fèi)用成本數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖，X軸是自變量費(fèi)用成本數(shù)據(jù)，Y軸是因變量廣告曝光量數(shù)據(jù)。從數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況可以發(fā)現(xiàn)，自變量x和因變量y有著相同的變化趨勢(shì)，當(dāng)費(fèi)用成本的增加后，廣告曝光量也隨之增加。

折線圖和散點(diǎn)圖都清晰的表示了廣告曝光量和費(fèi)用成本兩組數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)是對(duì)相關(guān)關(guān)系的展現(xiàn)清晰，缺點(diǎn)是無(wú)法對(duì)相關(guān)關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確的度量，缺乏說(shuō)服力。并且當(dāng)數(shù)據(jù)超過(guò)兩組時(shí)也無(wú)法完成各組數(shù)據(jù)間的相關(guān)分析。若要通過(guò)具體數(shù)字來(lái)度量?jī)山M或兩組以上數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，需要使用第二種方法：協(xié)方差。

2，協(xié)方差及協(xié)方差矩陣

第二種相關(guān)分析方法是計(jì)算協(xié)方差。協(xié)方差用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)一致，協(xié)方差就是正值，說(shuō)明兩個(gè)變量正相關(guān)。如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)相反，協(xié)方差就是負(fù)值，說(shuō)明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)。如果兩個(gè)變量相互獨(dú)立，那么協(xié)方差就是0，說(shuō)明兩個(gè)變量不相關(guān)。以下是協(xié)方差的計(jì)算公式：

下面是廣告曝光量和費(fèi)用成本間協(xié)方差的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到了一個(gè)很大的正值，因此可以說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)間是正相關(guān)的。廣告曝光量隨著費(fèi)用成本的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。在實(shí)際工作中不需要按下面的方法來(lái)計(jì)算，可以通過(guò)Excel中COVAR()函數(shù)直接獲得兩組數(shù)據(jù)的協(xié)方差值。

協(xié)方差只能對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，當(dāng)有兩組以上數(shù)據(jù)時(shí)就需要使用協(xié)方差矩陣。下面是三組數(shù)據(jù)x，y，z，的協(xié)方差矩陣計(jì)算公式。

協(xié)方差通過(guò)數(shù)字衡量變量間的相關(guān)性，正值表示正相關(guān)，負(fù)值表示負(fù)相關(guān)。但無(wú)法對(duì)相關(guān)的密切程度進(jìn)行度量。當(dāng)我們面對(duì)多個(gè)變量時(shí)，無(wú)法通過(guò)協(xié)方差來(lái)說(shuō)明那兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性最高。要衡量和對(duì)比相關(guān)性的密切程度，就需要使用下一個(gè)方法：相關(guān)系數(shù)。,

3，相關(guān)系數(shù)

第三個(gè)相關(guān)分析方法是相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)(Correlation coefficient)是反應(yīng)變量之間關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間在1到-1之間。1表示兩個(gè)變量完全線性相關(guān)，-1表示兩個(gè)變量完全負(fù)相關(guān)，0表示兩個(gè)變量不相關(guān)。數(shù)據(jù)越趨近于0表示相關(guān)關(guān)系越弱。以下是相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式。

其中rxy表示樣本相關(guān)系數(shù)，Sxy表示樣本協(xié)方差，Sx表示X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，Sy表示y的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。下面分別是Sxy協(xié)方差和Sx和Sy標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式。由于是樣本協(xié)方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，因此分母使用的是n-1。

Sxy樣本協(xié)方差計(jì)算公式：

Sx樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：

Sy樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：

下面是計(jì)算相關(guān)系數(shù)的過(guò)程，在表中我們分別計(jì)算了x，y變量的協(xié)方差以及各自的標(biāo)準(zhǔn)差，并求得相關(guān)系數(shù)值為0.93。0.93大于0說(shuō)明兩個(gè)變量間正相關(guān)，同時(shí)0.93非常接近于1，說(shuō)明兩個(gè)變量間高度相關(guān)。

在實(shí)際工作中，不需要上面這么復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，在Excel的數(shù)據(jù)分析模塊中選擇相關(guān)系數(shù)功能，設(shè)置好x，y變量后可以自動(dòng)求得相關(guān)系數(shù)的值。在下面的結(jié)果中可以看到，廣告曝光量和費(fèi)用成本的相關(guān)系數(shù)與我們手動(dòng)求的結(jié)果一致。

相關(guān)系數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)數(shù)字對(duì)變量的關(guān)系進(jìn)行度量，并且?guī)в蟹较蛐裕?表示正相關(guān)，-1表示負(fù)相關(guān)，可以對(duì)變量關(guān)系的強(qiáng)弱進(jìn)行度量，越靠近0相關(guān)性越弱。缺點(diǎn)是無(wú)法利用這種關(guān)系對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是沒(méi)有對(duì)變量間的關(guān)系進(jìn)行提煉和固化，形成模型。要利用變量間的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要使用到下一種相關(guān)分析方法，回歸分析。,

4，一元回歸及多元回歸

第四種相關(guān)分析方法是回歸分析?；貧w分析（regression analysis)是確定兩組或兩組以上變量間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法?；貧w分析按照變量的數(shù)量分為一元回歸和多元回歸。兩個(gè)變量使用一元回歸，兩個(gè)以上變量使用多元回歸。進(jìn)行回歸分析之前有兩個(gè)準(zhǔn)備工作，第一確定變量的數(shù)量。第二確定自變量和因變量。我們的數(shù)據(jù)中只包含廣告曝光量和費(fèi)用成本兩個(gè)變量，因此使用一元回歸。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)廣告曝光量是隨著費(fèi)用成本的變化而改變的，因此將費(fèi)用成本設(shè)置為自變量x，廣告曝光量設(shè)置為因變量y。

以下是一元回歸方程，其中y表示廣告曝光量，x表示費(fèi)用成本。b0為方程的截距，b1為斜率，同時(shí)也表示了兩個(gè)變量間的關(guān)系。我們的目標(biāo)就是b0和b1的值，知道了這兩個(gè)值也就知道了變量間的關(guān)系。并且可以通過(guò)這個(gè)關(guān)系在已知成本費(fèi)用的情況下預(yù)測(cè)廣告曝光量。

這是b1的計(jì)算公式，我們通過(guò)已知的費(fèi)用成本x和廣告曝光量y來(lái)計(jì)算b1的值。

以下是通過(guò)最小二乘法計(jì)算b1值的具體計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，經(jīng)計(jì)算，b1的值為5.84。同時(shí)我們也獲得了自變量和因變量的均值。通過(guò)這三個(gè)值可以計(jì)算出b0的值。

以下是b0的計(jì)算公式，在已知b1和自變量與因變量均值的情況下，b0的值很容易計(jì)算。

將自變量和因變量的均值以及斜率b1代入到公式中，求出一元回歸方程截距b0的值為374。這里b1我們保留兩位小數(shù)，取值5.84。

在實(shí)際的工作中不需要進(jìn)行如此繁瑣的計(jì)算，Excel可以幫我們自動(dòng)完成并給出結(jié)果。在Excel中使用數(shù)據(jù)分析中的回歸功能，輸入自變量和因變量的范圍后可以自動(dòng)獲得b0（Intercept）的值362.15和b1的值5.84。這里的b0和之前手動(dòng)計(jì)算獲得的值有一些差異，因?yàn)榍懊嬗糜谟?jì)算的b1值只保留了兩位小數(shù)。

這里還要單獨(dú)說(shuō)明下R Square的值0.87。這個(gè)值叫做判定系數(shù)，用來(lái)度量回歸方程的擬合優(yōu)度。這個(gè)值越大，說(shuō)明回歸方程越有意義，自變量對(duì)因變量的解釋度越高。

將截距b0和斜率b1代入到一元回歸方程中就獲得了自變量與因變量的關(guān)系。費(fèi)用成本每增加1元，廣告曝光量會(huì)增加379.84次。通過(guò)這個(gè)關(guān)系我們可以根據(jù)成本預(yù)測(cè)廣告曝光量數(shù)據(jù)。也可以根據(jù)轉(zhuǎn)化所需的廣告曝光量來(lái)反推投入的費(fèi)用成本。獲得這個(gè)方程還有一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法，就是在Excel中對(duì)自變量和因變量生成散點(diǎn)圖，然后選擇添加趨勢(shì)線，在添加趨勢(shì)線的菜單中選中顯示公式和顯示R平方值即可。

以上介紹的是兩個(gè)變量的一元回歸方法，如果有兩個(gè)以上的變量使用Excel中的回歸分析，選中相應(yīng)的自變量和因變量范圍即可。下面是多元回歸方程。

5，信息熵及互信息

最后一種相關(guān)分析方法是信息熵與互信息。前面我們一直在圍繞消費(fèi)成本和廣告曝光量?jī)山M數(shù)據(jù)展開(kāi)分析。實(shí)際工作中影響最終效果的因素可能有很多，并且不一定都是數(shù)值形式。比如我們站在更高的維度來(lái)看之前的數(shù)據(jù)。廣告曝光量只是一個(gè)過(guò)程指標(biāo)，最終要分析和關(guān)注的是用戶是否購(gòu)買的狀態(tài)。而影響這個(gè)結(jié)果的因素也不僅僅是消費(fèi)成本或其他數(shù)值化指標(biāo)?？赡苁且恍?a href='/map/tezheng/' style='color:#000;font-size:inherit;'>特征值。例如用戶所在的城市，用戶的性別，年齡區(qū)間分布，以及是否第一次到訪網(wǎng)站等等。這些都不能通過(guò)數(shù)字進(jìn)行度量。

度量這些文本特征值之間相關(guān)關(guān)系的方法就是互信息。通過(guò)這種方法我們可以發(fā)現(xiàn)哪一類特征與最終的結(jié)果關(guān)系密切。下面是我們模擬的一些用戶特征和數(shù)據(jù)。在這些數(shù)據(jù)中我們忽略之前的消費(fèi)成本和廣告曝光量數(shù)據(jù)，只關(guān)注特征與狀態(tài)的關(guān)系。

對(duì)于信息熵和互信息具體的計(jì)算過(guò)程請(qǐng)參考文章《決策樹(shù)分類和預(yù)測(cè)算法的原理及實(shí)現(xiàn)》，這里直接給出每個(gè)特征的互信息值以及排名結(jié)果。經(jīng)過(guò)計(jì)算城市與購(gòu)買狀態(tài)的相關(guān)性最高，所在城市為北京的用戶購(gòu)買率較高。

到此為止5種相關(guān)分析方法都已介紹完，每種方法各有特點(diǎn)。其中圖表方法最為直觀，相關(guān)系數(shù)方法可以看到變量間兩兩的相關(guān)性，回歸方程可以對(duì)相關(guān)關(guān)系進(jìn)行提煉，并生成模型用于預(yù)測(cè)，互信息可以對(duì)文本類特征間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行度量。