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算法 | K-Means聚類算法的原理及實(shí)現(xiàn)
2016-04-27
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K-Means是聚類算法中的一種，其中K表示類別數(shù)，Means表示均值。顧名思義K-Means是一種通過均值對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行聚類的算法。K-Means算法通過預(yù)先設(shè)定的K值及每個(gè)類別的初始質(zhì)心對(duì)相似的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行劃分。并通過劃分后的均值迭代優(yōu)化獲得最優(yōu)的聚類結(jié)果。

K值及初始質(zhì)心

K值是聚類結(jié)果中類別的數(shù)量。簡(jiǎn)單的說就是我們希望將數(shù)據(jù)劃分的類別數(shù)。K值決定了初始質(zhì)心的數(shù)量。K值為幾，就要有幾個(gè)質(zhì)心。選擇最優(yōu)K值沒有固定的公式或方法，需要人工來指定，建議根據(jù)實(shí)際的業(yè)務(wù)需求，或通過層次聚類(Hierarchical Clustering)的方法獲得數(shù)據(jù)的類別數(shù)量作為選擇K值的參考。這里需要注意的是選擇較大的K值可以降低數(shù)據(jù)的誤差，但會(huì)增加過擬合的風(fēng)險(xiǎn)。

以下是一組用戶的年齡數(shù)據(jù)，我們將K值定義為2對(duì)用戶進(jìn)行聚類。并隨機(jī)選擇16和22作為兩個(gè)類別的初始質(zhì)心。


計(jì)算距離并劃分?jǐn)?shù)據(jù)

我們以圖的形式展示聚類的過程。在這組年齡數(shù)據(jù)中，我們選擇了16和22作為兩個(gè)類別的初始質(zhì)心，并通過計(jì)算所有用戶的年齡值與初始質(zhì)心的距離對(duì)用戶進(jìn)行第一次分類。


計(jì)算距離的方法是使用歐式距離。以下是歐式距離的計(jì)算公式。距離值越小表示兩個(gè)用戶間年齡的相似度越高。


通過計(jì)算，我們獲得了每個(gè)年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)與兩個(gè)初始質(zhì)心的距離。這里我們以黑色實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)記較大的距離值，空心圓點(diǎn)標(biāo)記較小的距離值。例如第一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)15，到第一個(gè)初始質(zhì)心16的距離為1，到第二個(gè)初始質(zhì)心22的距離為7。相比之下15與16的距離更近，距離值為1，并以空心圓點(diǎn)標(biāo)記。因此15這個(gè)年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)被劃分在第一個(gè)組(16)中。如果年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到兩個(gè)初始質(zhì)心的距離相等，可以劃分到任意組中，例如年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)19，到16和22的距離都為3。在這個(gè)示例中我們將數(shù)據(jù)點(diǎn)19劃分到第二個(gè)組(22)中。


按相似程度（距離）對(duì)數(shù)據(jù)分完組后，分別計(jì)算兩個(gè)分組中數(shù)據(jù)的均值15.33和36.25，并以這兩個(gè)均值作為新的質(zhì)心。在下圖中可以看到，藍(lán)色的數(shù)字為初始質(zhì)心，紅色的數(shù)字為新的質(zhì)心。目前的質(zhì)心和新的質(zhì)心并不是同一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，我們將以新的質(zhì)心替代初始質(zhì)心，迭代計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離。直到新的質(zhì)心和原質(zhì)心相等，算法結(jié)束。


使用均值作為新質(zhì)心

將兩個(gè)分組中數(shù)據(jù)的均值作為新的質(zhì)心，并重復(fù)之前的方法計(jì)算每個(gè)年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離。下面是年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到兩個(gè)新質(zhì)心的距離。以年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)19為例，到新質(zhì)心15.33的距離為3.67，到另一個(gè)新質(zhì)心36.25的距離為17.25。相比之下數(shù)據(jù)點(diǎn)19到15.33的距離更近，為3.67。因此被分到第一組(15.33)中。


以年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離值完成分組后，再次計(jì)算兩組的均值18.56和45.90，并以均值作為新質(zhì)心替代原質(zhì)心。下圖中藍(lán)色數(shù)字為原質(zhì)心，紅色數(shù)字為新質(zhì)心。在新質(zhì)心下，年齡數(shù)據(jù)的分組情況發(fā)生了變化，但新質(zhì)心與原質(zhì)心沒有重合。


重復(fù)之前的方法和步驟，計(jì)算年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離。并對(duì)比數(shù)據(jù)點(diǎn)到兩個(gè)新質(zhì)心的距離，選擇較小的距離值對(duì)年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分組。年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)28到18.56的距離為9.44，到45.90的距離為17.90。因此年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)28被分配到第一個(gè)18.56的分組中。


再次以年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離完成分組后，新質(zhì)心（紅色）與原質(zhì)心（藍(lán)色）仍然沒有重合，但與之前相比分組的調(diào)整已經(jīng)很小。我們繼續(xù)計(jì)算新分組的均值19.50和47.89，并將均值作為新質(zhì)心替代原質(zhì)心。


算法停止條件

開始計(jì)算的第一步我們說迭代計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)到新質(zhì)心的距離，直到新的質(zhì)心和原質(zhì)心相等，算法結(jié)束。使用上一步分組的均值19.50和47.89作為新質(zhì)心。并計(jì)算年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離。以下為計(jì)算結(jié)果。


按照年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)到新質(zhì)心的距離對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，并計(jì)算每組的均值作為新質(zhì)心。這里兩組的均值與原質(zhì)心相等。也就是說新質(zhì)心與原質(zhì)心相等，都是19.50和47.89.。算法停止計(jì)算。年齡數(shù)據(jù)點(diǎn)被劃分為兩類，如下圖所示分別為15-28和35-65。


文 | 藍(lán)鯨（王彥平）

來源 | 藍(lán)鯨碎碎念

鏈接：http://bluewhale.cc/2016-04-20/k-means.html


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