每每談起主成分和因子有啥區(qū)別，樓主總是有種心里大概明白，但就是說(shuō)不清的感覺(jué)，終于看到一篇帖子，從十個(gè)方面闡述了兩者的區(qū)別，留作紀(jì)念，同時(shí)也發(fā)給大家做個(gè)參考：

主成分分析（Principal components analysis，PCA）基本原理：利用降維（線(xiàn)性變換)的思想，在損失很少信息的前提下把多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)（主成分)，即每個(gè)主成分都是原始變量的線(xiàn)性組合，且各個(gè)主成分之間互不相關(guān)，使得主成分比原始變量具有某些更優(yōu)越的性能（主成分必須保留原始變量90%以上的信息），從而達(dá)到簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，抓住問(wèn)題實(shí)質(zhì)的目的。

因子分析（Factor Analysis，F(xiàn)A）基本原理：利用降維的思想，由研究原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴(lài)關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量表示成少數(shù)的公共因子和僅對(duì)某一個(gè)變量有作用的特殊因子線(xiàn)性組合而成。就是要從數(shù)據(jù)中提取對(duì)變量起解釋作用的少數(shù)公共因子（因子分析是主成分的推廣，相對(duì)于主成分分析，更傾向于描述原始變量之間的相關(guān)關(guān)系）。

因子分析是把變量表示成各公因子的線(xiàn)性組合；主成分分析中則是把主成分表示成各變量的線(xiàn)性組合。

主成分分析：不需要有假設(shè)(assumptions)；

因子分析：需要一些假設(shè)。因子分析的假設(shè)包括：各個(gè)共同因子之間不相關(guān)，特殊因子（specificfactor）之間也不相關(guān)，共同因子和特殊因子之間也不相關(guān)。

（1）求解主成分的方法：

從協(xié)方差陣出發(fā)（協(xié)方差陣已知），從相關(guān)陣出發(fā)（相關(guān)陣R已知），采用的方法只有主成分法。（實(shí)際研究中，總體協(xié)方差陣與相關(guān)陣是未知的，必須通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)）；

注意事項(xiàng)：由協(xié)方差陣出發(fā)與由相關(guān)陣出發(fā)求解主成分所得結(jié)果不一致時(shí)，要恰當(dāng)?shù)倪x取某一種方法；

一般當(dāng)變量單位相同或者變量在同一數(shù)量等級(jí)的情況下，可以直接采用協(xié)方差陣進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于度量單位不同的指標(biāo)或是取值范圍彼此差異非常大的指標(biāo)，應(yīng)考慮將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，再由協(xié)方差陣求主成分。

實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡可能的避免標(biāo)準(zhǔn)化，因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程中會(huì)抹殺一部分原本刻畫(huà)變量之間離散程度差異的信息。此外，最理想的情況是主成分分析前的變量之間相關(guān)性高，且變量之間不存在多重共線(xiàn)性問(wèn)題（會(huì)出現(xiàn)最小特征根接近0的情況）；

（2）求解因子載荷的方法：

主成分法，主軸因子法，極大似然法，最小二乘法，a因子提取法。

主成分分析：當(dāng)給定的協(xié)方差矩陣或者相關(guān)矩陣的特征值唯一時(shí)，主成分一般是固定的獨(dú)特的；

因子分析：因子不是固定的，可以旋轉(zhuǎn)得到不同的因子。

主成分分析：主成分的數(shù)量是一定的，一般有幾個(gè)變量就有幾個(gè)主成分（只是主成分所解釋的信息量不等），實(shí)際應(yīng)用時(shí)會(huì)根據(jù)碎石圖提取前幾個(gè)主要的主成分。

因子分析：因子個(gè)數(shù)需要分析者指定（SPSS和SAS根據(jù)一定的條件自動(dòng)設(shè)定，只要是特征值大于1的因子主可進(jìn)入分析），指定的因子數(shù)量不同而結(jié)果也不同；

主成分分析：重點(diǎn)在于解釋個(gè)變量的總方差；因子分析：則把重點(diǎn)放在解釋各變量之間的協(xié)方差。

主成分分析：協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素是變量的方差；

因子分析：所采用的協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素不在是變量的方差，而是和變量對(duì)應(yīng)的共同度（變量方差中被各因子所解釋的部分）。

（1）因子分析：

對(duì)于因子分析，可以使用旋轉(zhuǎn)技術(shù)，使得因子更好的得到解釋?zhuān)虼嗽诮忉屩鞒煞址矫嬉蜃臃治龈純?yōu)勢(shì)；其次因子分析不是對(duì)原有變量的取舍，而是根據(jù)原始變量的信息進(jìn)行重新組合，找出影響變量的共同因子，化簡(jiǎn)數(shù)據(jù)；

（2）主成分分析：

第一：如果僅僅想把現(xiàn)有的變量變成少數(shù)幾個(gè)新的變量（新的變量幾乎帶有原來(lái)所有變量的信息）來(lái)進(jìn)入后續(xù)的分析，則可以使用主成分分析，不過(guò)一般情況下也可以使用因子分析；

第二：通過(guò)計(jì)算綜合主成分函數(shù)得分，對(duì)客觀(guān)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行科學(xué)評(píng)價(jià)；

第三：它在應(yīng)用上側(cè)重于信息貢獻(xiàn)影響力綜合評(píng)價(jià)；

第四：應(yīng)用范圍廣，主成分分析不要求數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布總體，其技術(shù)來(lái)源是矩陣運(yùn)算的技術(shù)以及矩陣對(duì)角化和矩陣的譜分解技術(shù)，因而凡是涉及多維度問(wèn)題，都可以應(yīng)用主成分降維。

（1）主成分分析：

可以用于系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)狀態(tài)做出評(píng)估，一般是將多個(gè)指標(biāo)綜合成一個(gè)變量，即將多維問(wèn)題降維至一維，這樣才能方便排序評(píng)估；此外還可以應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)效益、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、經(jīng)濟(jì)發(fā)展競(jìng)爭(zhēng)力、生活水平、生活質(zhì)量的評(píng)價(jià)研究上；主成分還可以用于和回歸分析相結(jié)合，進(jìn)行主成分回歸分析，甚至可以利用主成分分析進(jìn)行挑選變量，選擇少數(shù)變量再進(jìn)行進(jìn)一步的研究。一般情況下主成分用于探索性分析，很少單獨(dú)使用，用主成分來(lái)分析數(shù)據(jù)，可以讓我們對(duì)數(shù)據(jù)有一個(gè)大致的了解。

幾個(gè)常用組合：

主成分分析+判別分析，適用于變量多而記錄數(shù)不多的情況；

主成分分析+多元回歸分析，主成分分析可以幫助判斷是否存在共線(xiàn)性，并用于處理共線(xiàn)性問(wèn)題；

主成分分析+聚類(lèi)分析，不過(guò)這種組合因子分析可以更好的發(fā)揮優(yōu)勢(shì)；

（2）因子分析：

首先，因子分析+多元回歸分析，可以利用因子分析解決共線(xiàn)性問(wèn)題；其次，可以利用因子分析，尋找變量之間的潛在結(jié)構(gòu)；再次，因子分析+聚類(lèi)分析，可以通過(guò)因子分析尋找聚類(lèi)變量，從而簡(jiǎn)化聚類(lèi)變量；此外，因子分析還可以用于內(nèi)在結(jié)構(gòu)證實(shí)。