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數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)推斷:線性回歸
2016-03-31
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數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計(jì)推斷:線性回歸

相關(guān)性(correlation)

相關(guān)性描述了兩個(gè)變量之間線性關(guān)聯(lián)的強(qiáng)度，表示符號(hào)為R。
屬性：

  1. 相關(guān)系數(shù)的幅度(絕對(duì)值)測(cè)量?jī)蓚€(gè)數(shù)字變量之間線性關(guān)聯(lián)的強(qiáng)度
  2. 相關(guān)系數(shù)的正負(fù)指示關(guān)聯(lián)的方向
  3. 相關(guān)系數(shù)總是介于-1(完美負(fù)線性關(guān)聯(lián))和1(完美正線性關(guān)聯(lián))之間，R=0指示沒(méi)有線性關(guān)系
  4. 相關(guān)系數(shù)沒(méi)有單位，不受變量中心點(diǎn)和比例變化的影響
  5. X與Y的相關(guān)性等同于Y與X的相關(guān)性
  6. 相關(guān)系數(shù)對(duì)異常點(diǎn)敏感

殘差(residuals)

測(cè)量線性匹配度

方案1：最小化殘差的幅度和
方案2：最小化殘差平方和。更常使用，易于計(jì)算，殘差增幅更大。

使用線性模型對(duì)解釋變量給定值預(yù)測(cè)響應(yīng)變量值稱之為預(yù)測(cè)(prediction)。
使用模型估計(jì)原有數(shù)據(jù)域外的值稱之為外推法(extrapolation)。優(yōu)勢(shì)預(yù)測(cè)可能是外推法。

線性回歸條件

(1)線性

解釋變量和響應(yīng)變量值間的關(guān)系必須是線性的；
存在匹配非線性關(guān)系模型的方法；
使用數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖scatterplot或殘差圖residuals plot檢查

(2)近似正態(tài)殘差

殘差必須近似正態(tài)分布，中心點(diǎn)為0；
如果有異常觀察值不遵循正常數(shù)據(jù)的趨勢(shì)，有可能不滿足該條件
使用殘差的直方圖或正態(tài)概率圖檢查

(3)恒定可變性

點(diǎn)圍繞最小平方和線(the least squares line)的可變性應(yīng)該大概恒定，暗指殘差圍繞0的可變性應(yīng)該大概恒定，這也稱為同方差性(homoscedasticity)。
使用殘差圖residuals plot檢查

R squared

評(píng)估線性模型擬合度更常使用，通過(guò)相關(guān)系數(shù)平方計(jì)算而得；
可以獲知線性模型解釋響應(yīng)變量可變性的百分比，剩余可變性無(wú)法由模型解釋；
介于0和1之間。

使用分類解釋變量的回歸

異常點(diǎn)類型

線性回歸推斷

由于我們經(jīng)常檢查解釋變量和響應(yīng)變量之間是否存在關(guān)系，對(duì)斜率虛假設(shè)值經(jīng)常為0；很少對(duì)截距進(jìn)行推斷。
對(duì)線性回歸的每個(gè)估計(jì)參數(shù)都會(huì)損失一個(gè)自由度。
我們必須了解所工作的數(shù)據(jù)：隨機(jī)樣本、非隨機(jī)樣本或總體。如果已有總體數(shù)據(jù)，假設(shè)推斷及其p-value結(jié)果就毫無(wú)意義。如果樣本是非隨機(jī)（有偏）的，結(jié)果將不可信。

變異分解(variability partitioning)


t檢驗(yàn)是評(píng)估x和y線性關(guān)系斜率假設(shè)檢驗(yàn)的證據(jù)力度的一種方式。將y可變性分解為可解釋和無(wú)法解釋的可變性，需要使用方差分析ANOVA。

再學(xué)習(xí) R sqared

R sqared是模型可以解釋y可變性的比例。很大，即x和y之間存在線性關(guān)系；小，則x和y之間存在線性關(guān)系的證據(jù)不令人信服。
兩種結(jié)算方式：相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)平方；定義，總可變性中可解釋可變性的比例。

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