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統(tǒng)計學中為什么要對變量取對數(shù)？
2016-03-08
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統(tǒng)計學中為什么要對變量取對數(shù)？

對數(shù)據(jù)做一些變換的目的是它能夠讓它符合我們所做的假設(shè)，使我們能夠在已有理論上對其分析。
對數(shù)變換(log transformation)是特殊的一種數(shù)據(jù)變換方式，它可以將一類我們理論上未解決的模型問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題。我將說兩類比較有代表性的模型。

理論上：隨著自變量的增加，因變量的方差也增大的模型。

先給個很經(jīng)典的例子，如分析美國每月電力生產(chǎn)數(shù)。

左邊是正常數(shù)據(jù)，可以看到隨著時間推進，電力生產(chǎn)也變得方差越來越大，即越來越不穩(wěn)定。這種情況下常有的分析假設(shè)經(jīng)常就不會滿足（誤差服從獨立同分布的正態(tài)分布，時間序列要求平穩(wěn)）。


這必然導致我們尋求一種方式讓數(shù)據(jù)盡量滿足假設(shè)，讓方差恒定，即讓波動相對穩(wěn)定。而這種目的可以通過對數(shù)轉(zhuǎn)換做到。

理論上，我們將這類問題抽象成這種模型，即分布的標準差與其均值線性相關(guān)。
即\sqrt{Var(Z_{t})} =\mu _{t}\times \sigma ,其中E(Z_{t}) =\mu _{t} 。
由定義可推：Z_{t}=\mu _{t}\left( 1+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}} \right) ,利用log函數(shù)的性質(zhì)：log(1+x)\approx x(當x足夠小)
那么log(Z_{t})\approx log(\mu _{t})+\frac{Z_{t}-\mu _{t}}{\mu _{t}} .
那么很容易就知道E(log(Z_{t})) \approx log( \mu _{t})和Var(log(Z_{t})) \approx \sigma ^{2} .

所以對數(shù)變換能夠很好地將隨著自變量的增加，因變量的方差也增大的模型轉(zhuǎn)化為我們熟知的問題。

經(jīng)驗上：研究數(shù)據(jù)的增長率分布存在一定規(guī)律的模型。

再給個例子：實際研究中，某一研究對象自身性質(zhì)難以研究，但其增長率是服從一定分布。例如說：Z_{t}=(1+X_{t}) \times Z_{t-1},其中X_{t}是每年增長率（不很大）。
我們可以考慮對數(shù)變換：log(Z_{t})-log(Z_{t-1})=log\left( \frac{Z_{t}}{Z_{t-1}} \right)=log\left( 1+X_{t} \right)\approx X_{t}
這樣，我們又可以將研究數(shù)據(jù)的增長率分布存在一定規(guī)律的模型轉(zhuǎn)化為我們熟知的問題。

在對數(shù)轉(zhuǎn)換后，人們又思考了很多其他的轉(zhuǎn)換方式（如Cox-Box轉(zhuǎn)換）。但總而言之，每一種轉(zhuǎn)換方式都是為了讓數(shù)據(jù)符合我們的假設(shè)，來對其進行分析。我所說的對數(shù)變換原因只是冰山一角，如有不正確的地方還請各位多多指正。


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