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R語言與數(shù)據(jù)分析：主成分分析
2016-01-27
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R語言與數(shù)據(jù)分析：主成分分析

作為數(shù)據(jù)分析師，有很多剛剛接觸數(shù)據(jù)分析師的朋友，還不怎么了解主成分分析，看看這兩篇，你就搞懂主成分分析了。

第一篇：主成份分析歷史

Pearson于1901年提出，再由Hotelling（1933）加以發(fā)展的一種多變量統(tǒng)計方法。通過析取主成分顯出最大的個別差異，也用來削減回歸分析和聚類分析中變量的數(shù)目，可以使用樣本協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣作為出發(fā)點進行分析。

通過對原始變量進行線性組合，得到優(yōu)化的指標：把原先多個指標的計算降維為少量幾個經(jīng)過優(yōu)化指標的計算（占去絕大部分份額）

基本思想：設法將原先眾多具有一定相關(guān)性的指標，重新組合為一組新的互相獨立的綜合指標，并代替原先的指標。

成分的保留：Kaiser主張（1960）將特征值小于1的成分放棄，只保留特征值大于1的成分。

接下來以小學生基本生理屬性為案例分享下R語言的具體實現(xiàn)，分別選取身高（x1）、體重(x2)、胸圍(x3)和坐高(x4)。具體如下： 

student<- data.frame( x1=c(148,139,160,149,159,142,153,150,151), x2=c(41 ,34 , 49 ,36 ,45 ,31 ,43 ,43,
 42), x3=c(72 ,71 , 77 ,67 ,80 ,66 ,76 ,77,77), x4=c(78 ,76 , 86 ,79 ,86 ,76 ,83 ,79 ,80)
) student.pr <- princomp(student,cor=TRUE) summary(student.pr,loadings=TRUE) screeplot(student.pr,type="
lines")

結(jié)果如截圖：

2AN7J3r由上圖可見四項指標做分析后，給出了4個成分，他們的重要性分別為：0.887932、0.08231182、0.02393843、0.005817781，累積貢獻為：0.887932、0.97024379、

0.99418222 1.000000000各個成分的碎石圖也如上，可見成份1和成份2的累積貢獻已經(jīng)達到95%，因此采用這兩個成份便可充分解釋學生的基本信息。

FRZ3Yj我們可以通過R自動算出各主成份的值，并畫出散點圖： 

temp<-predict(student.pr)
plot(temp[,1:2])

結(jié)果如圖：

u6V3uy

觀察如圖可見兩個成分的分離度很高，比較理想。

第二篇： 主成分分析（principal component analysis,PCA）是一種降維技術(shù)，把多個變量化為能夠反映原始變量大部分信息的少數(shù)幾個主成分。
設X有p個變量，為n*p階矩陣，即n個樣本的p維向量。首先"數(shù)據(jù)分析師"對X的p個變量尋找正規(guī)化線性組合，使它的方差達到最大，這個新的變量稱為第一主成分，抽取第一主成分后，第二主成分的抽取方法與第一主成分一樣，依次類推，直到各主成分累積方差達到總方差的一定比例。
主成分分析的計算步驟：
假設樣本觀測數(shù)據(jù)矩陣為：
X=(x1,x2,x3,…xp)，xi為n個樣本在第i個屬性上的觀測值，是一個列向量
1.對原始數(shù)據(jù)標準化處理（0均值化處理）
2.計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣
3.計算協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量
4、選擇重要的主成分，并寫出主成分表達式

5.計算主成分得分
6.根據(jù)主成分得分的數(shù)據(jù)，做進一步的統(tǒng)計分析。
主成分分析可以得到p個主成分，但是，由于各個主成分的方差是遞減的，包含的信息量也是遞減的，所以實際分析時，一般不是選取p個主成分，而是根據(jù)各個主成分累計貢獻率的大小選取前k個主成分，這里貢獻率就是指某個主成分的方差占全部方差的比重，實際也就是某個特征值占全部特征值總和的比重。貢獻率越大，說明該主成分所包含的原始變量的信息越強。主成分個數(shù)k的選取，主要根據(jù)主成分的累積貢獻率來決定，即一般要求累計貢獻率達到85%以上，這樣才能保證綜合變量能包括原始變量的絕大多數(shù)信息。
另外，數(shù)據(jù)分析師在實際應用中，選擇了重要的主成分后，還要注意主成分實際含義解釋。主成分分析中一個很關(guān)鍵的問題是如何給主成分賦予新的意義，給出合理的解釋。一般而言，這個解釋"數(shù)據(jù)分析師"是根據(jù)主成分表達式的系數(shù)結(jié)合定性分析來進行的。主成分是原來變量的線性組合，在這個線性組合中個變量的系數(shù)有大有小，有正有負，有的大小相當，因而不能簡單地認為這個主成分是某個原變量的屬性的作用，線性組合中各變量系數(shù)的絕對值大者表明該主成分主要綜合了絕對值大的變量，有幾個變量系數(shù)大小相當時，應認為這一主成分是這幾個變量的總和，這幾個變量綜合在一起應賦予怎樣的實際意義，這要結(jié)合具體實際問題和專業(yè)，給出恰當?shù)慕忉?，進而才能達到深刻分析的目的 。

在R里手工統(tǒng)計過程如下：
> #數(shù)據(jù)集
> y=USArrests
> #相關(guān)矩陣
> c=cor(y)
> #特征值
> e=eigen(c)
> e
$values #特征值
[1] 2.4802416 0.9897652 0.3565632 0.1734301
$vectors 特征向量，也就是主成分的表達式
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.5358995 0.4181809 -0.3412327 0.64922780
[2,] -0.5831836 0.1879856 -0.2681484 -0.74340748
[3,] -0.2781909 -0.8728062 -0.3780158 0.13387773
[4,] -0.5434321 -0.1673186 0.8177779 0.08902432
> # 計算標準化的主成分得分
> scale( as.matrix(y))%*%e$vector
[,1] [,2] [,3] [,4]
Alabama -0.97566045 1.12200121 -0.43980366 0.154696581
Alaska -1.93053788 1.06242692 2.01950027 -0.434175454
Arizona -1.74544285 -0.73845954 0.05423025 -0.826264240
Arkansas 0.13999894 1.10854226 0.11342217 -0.180973554
…..
West Virginia 2.08739306 1.41052627 0.10372163 0.130583080
Wisconsin 2.05881199 -0.60512507 -0.13746933 0.182253407
Wyoming 0.62310061 0.31778662 -0.23824049 -0.164976866
R中下面兩個函數(shù)可以用做主成分分析
princomp(x, cor = FALSE, scores = TRUE, covmat = NULL,
subset = rep(TRUE, nrow(as.matrix(x))), …)
cor =TRUE 是使用相關(guān)矩陣求主成分，否則使用協(xié)方差矩陣。
prcomp(x, retx = TRUE, center = TRUE, scale. = FALSE,
tol = NULL, …)
scale =TRUE 即使用相關(guān)矩陣求主成分夬否則使用協(xié)方差矩陣
求主成分。
> # prcomp() 的用法
> p=prcomp(USArrests, scale=T)
> p
Standard deviations:
[1] 1.5748783 0.9948694 0.5971291 0.4164494
Rotation:
PC1     PC2       PC3                  PC4
Murder -0.5358995 0.4181809 -0.3412327 0.64922780
Assault -0.5831836 0.1879856 -0.2681484 -0.74340748
UrbanPop -0.2781909 -0.8728062 -0.3780158 0.13387773
Rape -0.5434321 -0.1673186 0.8177779 0.08902432
> summary(p)
Importance of components:
PC1  PC2 PC3 PC4
Standard deviation 1.5749 0.9949 0.59713 0.41645
Proportion of Variance 0.6201 0.2474 0.08914 0.04336
Cumulative Proportion 0.6201 0.8675 0.95664 1.00000
#計算標準化的主成分得分
> predict(p)cda數(shù)據(jù)分析師培訓
結(jié)果和手工統(tǒng)計的一樣。

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') } function initGt() { var handler = function (captchaObj) { captchaObj.appendTo('#captcha'); captchaObj.onReady(function () { $("#wait").hide(); }).onSuccess(function(){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); $('.getcheckcode').trigger('click'); }); window.captchaObj = captchaObj; }; $('#captcha').show(); $.ajax({ url: "/login/gtstart?t=" + (new Date()).getTime(), // 加隨機數(shù)防止緩存 type: "get", dataType: "json", success: function (data) { $('#text').hide(); $('#wait').show(); // 調(diào)用 initGeetest 進行初始化 // 參數(shù)1：配置參數(shù) // 參數(shù)2：回調(diào)，回調(diào)的第一個參數(shù)驗證碼對象，之后可以使用它調(diào)用相應的接口 initGeetest({ // 以下 4 個配置參數(shù)為必須，不能缺少 gt: data.gt, challenge: data.challenge, offline: !data.success, // 表示用戶后臺檢測極驗服務器是否宕機 new_captcha: data.new_captcha, // 用于宕機時表示是新驗證碼的宕機 product: "float", // 產(chǎn)品形式，包括：float，popup width: "280px", https: true // 更多配置參數(shù)說明請參見：http://docs.geetest.com/install/client/web-front/ }, handler); } }); } function codeCutdown() { if(_wait == 0){ //倒計時完成 $(".getcheckcode").removeClass('dis').html("重新獲取"); }else{ $(".getcheckcode").addClass('dis').html("重新獲取("+_wait+"s)"); _wait--; setTimeout(function () { codeCutdown(); },1000); } } function inputValidate(ele,telInput) { var oInput = ele; var inputVal = oInput.val(); var oType = ele.attr('data-type'); var oEtag = $('#etag').val(); var oErr = oInput.closest('.form_box').next('.err_txt'); var empTxt = '請輸入'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var errTxt = '請輸入正確的'+oInput.attr('placeholder')+'！'; var pattern; if(inputVal==""){ if(!telInput){ errFun(oErr,empTxt); } return false; }else { switch (oType){ case 'login_mobile': pattern = /^1[3456789]\d{9}$/; if(inputVal.length==11) { $.ajax({ url: '/login/checkmobile', type: "post", dataType: "json", data: { mobile: inputVal, etag: oEtag, page_ur: window.location.href, page_referer: document.referrer }, success: function (data) { } }); } break; case 'login_yzm': pattern = /^\d{6}$/; break; } if(oType=='login_mobile'){ } if(!!validateFun(pattern,inputVal)){ errFun(oErr,'') if(telInput){ $('.getcheckcode').removeClass('dis'); } }else { if(!telInput) { errFun(oErr, errTxt); }else { $('.getcheckcode').addClass('dis'); } return false; } } return true; } function errFun(obj,msg) { obj.html(msg); if(msg==''){ $('.login_submit').removeClass('dis'); }else { $('.login_submit').addClass('dis'); } } function validateFun(pat,val) { return pat.test(val); }