數(shù)據(jù)挖掘系列：什么是邏輯回歸訓(xùn)練模型？

在數(shù)據(jù)膨脹的當(dāng)今社會里，海量數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含價(jià)值日漸凸顯出來。如何有效的挖掘海量數(shù)據(jù)中的有效信息已經(jīng)成為各個(gè)領(lǐng)域面臨的共同問題。以互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)為代表的科技公司依據(jù)自身的實(shí)際需求，開始大量的應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘以及人工智能等算法獲取海量數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，并且已經(jīng)取得了很好的效果。

當(dāng)今社會已經(jīng)從過去的信息匱乏，轉(zhuǎn)變?yōu)樾畔⒎簽E的時(shí)代。由于網(wǎng)絡(luò)以及相關(guān)應(yīng)用的不斷普及，網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)逐漸呈現(xiàn)著”海量，高維”的趨勢，如何利用已有的機(jī)器學(xué)習(xí)或者數(shù)據(jù)挖掘的算法，獲取有效信息，已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界以及工業(yè)所共同關(guān)注的重點(diǎn)。國內(nèi)大數(shù)據(jù)技術(shù)服務(wù)商百分點(diǎn)公司已將機(jī)器學(xué)習(xí)的相關(guān)技術(shù)應(yīng)用到大數(shù)據(jù)分析中，在百分點(diǎn)合作的某一團(tuán)購網(wǎng)站，我們選取了10個(gè)基于商品和用戶的特征屬性，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)中的分類算法，構(gòu)建了一個(gè)基于用戶推薦的分類器。在實(shí)際應(yīng)用過程中，該團(tuán)購網(wǎng)站點(diǎn)擊率平均提升19%，下單率提升42%，直接下單率提升了近一倍，從而達(dá)到了提高推薦效果的目的。

在本篇文章中將以機(jī)器學(xué)習(xí)的經(jīng)典算法邏輯回歸模型作為預(yù)測模型，結(jié)合目前百分點(diǎn)為團(tuán)購網(wǎng)站開發(fā)的分類模型作為具體實(shí)例，具體講解一下如何在”海量、高維”數(shù)據(jù)中有效的訓(xùn)練模型。

什么是邏輯回歸模型？

機(jī)器學(xué)習(xí)算法中的邏輯回歸模型(Logic Regression, LR)，以下簡稱為LR模型，是一個(gè)被廣泛應(yīng)用在實(shí)際場景中的算法。在本篇文章主要考慮的對象是基于二元分類邏輯回歸預(yù)測模型，即分類器識別的類標(biāo)號為。假設(shè)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)為，其中，，可以將訓(xùn)練集看成是一個(gè)的矩陣，由于在本篇文章中主要針對的是高維的海量數(shù)據(jù)，但由于啞元變量的存在，數(shù)據(jù)中存在著大量的0/1值，因此可以將訓(xùn)練集的整體看成是一個(gè)高維的稀疏矩陣。

在介紹如何訓(xùn)練模型之前，首先簡單的介紹一下邏輯回歸模型。邏輯回歸模型是一種基于判別式的方法，它假定類的實(shí)例是線性可分的，通過直接估計(jì)判別式的參數(shù)，獲得最終的預(yù)測模型。邏輯回歸模型并不是對類條件密度建模，而是對類條件比率進(jìn)行建模。假定類條件對數(shù)似然比是線性的：

使用貝葉斯公式，我們有：

令表示為，因此我們可以得到邏輯回歸模型：

作為的估計(jì)。

訓(xùn)練邏輯回歸模型

當(dāng)我們確定使用LR模型并且選定了初始特征集，那么我們的下一步就是如何獲取最佳的評估參數(shù)，使得訓(xùn)練得到的LR模型可以獲得最佳的分類效果。這個(gè)過程也可以看做是一個(gè)搜索的過程，即在一個(gè)LR模型的解空間內(nèi)，如何查找一個(gè)與我們設(shè)計(jì)的LR模型最為匹配的解。為了達(dá)到能夠獲取對應(yīng)的最佳LR模型，我們需要設(shè)計(jì)一種搜索策略，考慮按照什么樣的準(zhǔn)則去選擇最優(yōu)的模型。

如何選擇最佳的LR模型，直觀的想法就是通過預(yù)測模型的結(jié)果與真實(shí)值的匹配程度評價(jià)預(yù)測模型的好壞。在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，使用損失函數(shù)(loss function)或者代價(jià)函數(shù)(cost function)來計(jì)算預(yù)測結(jié)果與真實(shí)值得匹配程度。損失函數(shù)是一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，根據(jù)不同的需求，可以設(shè)計(jì)不同的損失函數(shù)。在本篇文章中將作為損失函數(shù)，其中是預(yù)測模型f基于測試實(shí)例X的預(yù)測值，Y是測試實(shí)例x的真實(shí)類標(biāo)號的值。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的損失函數(shù)包括以下幾種：

• 0-1損失函數(shù):
• 平方損失函數(shù):
• 絕對損失函數(shù):
• 對數(shù)損失函數(shù)或?qū)?shù)似然損失函數(shù):

由于模型的輸入和輸出（X,Y）是隨機(jī)變量，遵循聯(lián)合分布P（X,Y），所以損失函數(shù)的期望是：

上面的期望公式表示的是理論預(yù)測模型關(guān)于聯(lián)合分布P（X,Y）在平均意義下的損失，稱為風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)(risk function)或期望損失(expected loss)。損失函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)實(shí)際上都是為了測量預(yù)測模型的分類能力，只是前者是從微觀層次上考慮，而后者是從宏觀上(平均意義上)考慮。因此我們可以獲得關(guān)于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的平均損失，稱為經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)(empiricalrisk)或經(jīng)驗(yàn)損失(empirical loss),記作:

其中是預(yù)測模型關(guān)于聯(lián)合分布的期望損失，而則是模型關(guān)于訓(xùn)練樣本的平均損失。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的大數(shù)定理，當(dāng)樣本容量很大的時(shí)候，可以將經(jīng)驗(yàn)損失作為期望損失。但是在訓(xùn)練模型的過程中，由于數(shù)據(jù)中存在著噪音數(shù)據(jù)或者數(shù)據(jù)偏移的問題，導(dǎo)致了訓(xùn)練模型的泛化性非常差，也就是機(jī)器學(xué)習(xí)中著名的過度擬合的問題。為了解決這個(gè)問題，需要規(guī)則化處理，人為增加約束條件，在經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)上添加上表示模型復(fù)雜度的正則化項(xiàng)(regularizer)或懲罰項(xiàng)(penalty term)，這種經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)被稱作結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化(Structural Risk Minimization, SRM)，可以使用下面的公式表示：

其中用來懲罰模型的復(fù)雜度，模型F越復(fù)雜，復(fù)雜度越大，是系數(shù)，用以權(quán)衡經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和模型的復(fù)雜度。

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，總結(jié)起來共有三類方法用來設(shè)計(jì)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)：

當(dāng)設(shè)計(jì)的模型很簡單，并且數(shù)據(jù)量也很大的時(shí)候，給定一組參數(shù)以后，可以使用最大似然評估方法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)訓(xùn)練得到相關(guān)的模型參數(shù)；

當(dāng)設(shè)計(jì)的模型很復(fù)雜，存在著隱含變量。這樣的情況可以使用EM算法評估模型的參數(shù)。一般分為兩個(gè)步驟，首先給定參數(shù)，對于隱含變量做期望，算出包括隱變量的似然函數(shù)；第二步，使用MLE方法，評估參數(shù)值，更新對應(yīng)的參數(shù)值；

當(dāng)模型并不是很復(fù)雜，但是數(shù)據(jù)非常少的時(shí)候，并且具有一定的先驗(yàn)知識的時(shí)候，可以使用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法評估模型的參數(shù)，也就是所謂的最大后驗(yàn)概率(Maximum A Posteriori，MAP)。首先基于先驗(yàn)知識，給定待估參數(shù)一個(gè)先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分布，然后根據(jù)貝葉斯公式，推算出參數(shù)的后驗(yàn)分布(posterior probability)，最后最大化這個(gè)后驗(yàn)概率，獲得對應(yīng)的參數(shù)值。

由于本篇文章針對的是“高維、海量”的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并且使用了相對簡單的LR模型作為預(yù)測模型，因此我們在訓(xùn)練模型的過程中使用了MLE方法，設(shè)計(jì)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù);其次由于本身的訓(xùn)練數(shù)據(jù)充足，因此在經(jīng)驗(yàn)函數(shù)中并沒有添加對應(yīng)的基于模型復(fù)雜的懲罰項(xiàng)(正則化)，在我們模型中其具體的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)如下所示：

下面的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)無約束的最優(yōu)化的問題。在基于海量數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型的時(shí)候，需要考慮的是如何高效的訓(xùn)練模型。在實(shí)際的開發(fā)過程中，個(gè)人認(rèn)為可以從兩個(gè)方面提高訓(xùn)練模型的效率。首先是對于數(shù)據(jù)在內(nèi)存的存儲結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，尤其是針對“高維、稀疏”矩陣的時(shí)候，在本次實(shí)驗(yàn)中我們應(yīng)用了R中的Matrix包中的稀疏矩陣格式，大幅度提高了算法計(jì)算效率。其次需要選擇相關(guān)的迭代算法，加快經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的收斂速度。在這里介紹幾種常用的迭代算法:

牛頓迭代算法中的牛頓-拉斐森迭代算法，該算法需要計(jì)算海森矩陣，因此算法需要花費(fèi)大量的時(shí)間，迭代時(shí)間較長。

擬牛頓迭代算法，使用近似算法，計(jì)算海森矩陣，從而降低算法每次迭代的時(shí)間，提高算法運(yùn)行的效率。在擬牛頓算法中較為經(jīng)典的算法有兩種：BFGS算法和L-BFGS算法。BFGS算法是利用原有的所有歷史計(jì)算結(jié)果，近似計(jì)算海森矩陣，雖然提高了整個(gè)算法的效率，但是由于需要保存大量歷史結(jié)果，因此該算法受到內(nèi)存的大小的局限，限制了算法的應(yīng)用范圍；而L-BFGS則是正是針對BFGS消耗內(nèi)存較大的特點(diǎn)，只保存有限的計(jì)算結(jié)果，大大降低了算法對于內(nèi)存的依賴。

在實(shí)際應(yīng)用中選擇何種迭代算法，需要根據(jù)實(shí)際需求以及數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)進(jìn)行選擇，在本次試驗(yàn)我們選取了牛頓-拉斐森迭代算法以及L-BFGS算法作為LR模型的迭代算法。

屬性選擇

當(dāng)學(xué)習(xí)算法迭代完成之后，我們可以獲對應(yīng)各個(gè)屬性的權(quán)重。接下來的任務(wù)我們需要對現(xiàn)有屬性與響應(yīng)變量之間的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，針對已有的訓(xùn)練模型對應(yīng)的屬性集進(jìn)行驗(yàn)證，刪除顯著性不符合閾值的特征。由于在構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的時(shí)候，使用了MLE方法，因此可以使用Wald Test對于計(jì)算得到的參數(shù)，進(jìn)行顯著性驗(yàn)證。在使用Wald Test之前，要確保期望值與評估值之間的差值符合正態(tài)分布。Wald統(tǒng)計(jì)變量的一般形式：

其中表示評估值，表示期望值，表示評估值方差。在本次試驗(yàn)中我們將原假設(shè)設(shè)定為，即表示現(xiàn)有的屬性與響應(yīng)變量無相關(guān)性，因此本實(shí)驗(yàn)的Wald統(tǒng)計(jì)值可以表示為：

其中是實(shí)際估計(jì)的參數(shù)值，是的標(biāo)準(zhǔn)方差。由于Wald統(tǒng)計(jì)值對應(yīng)卡方分布，因此可以利用卡方分布計(jì)算P值，如果P值大于指定的閾值，那么可以認(rèn)為原假設(shè)成立，即該屬性與響應(yīng)變量是顯著不相關(guān)，刪除該變量，否則保存該變量。在實(shí)際的訓(xùn)練過程中，每次驗(yàn)證屬性顯著性的時(shí)候，只挑選P值最大與人為設(shè)定的閾值進(jìn)行比較；如果選擇的P值不大于閾值，那么模型訓(xùn)練完畢；否則刪除選擇的P值對應(yīng)的屬性，更新預(yù)測模型。重新學(xué)習(xí)更新后的預(yù)測模型，推測對應(yīng)的權(quán)重值，然后再次對各個(gè)屬性進(jìn)行Wald Test驗(yàn)證。重復(fù)上面的過程，直到?jīng)]有任何變量的Wald Test對應(yīng)的P值都不大于人為設(shè)定的閾值為止。到此整個(gè)模型的訓(xùn)練過程結(jié)束。