深入淺出|深度學(xué)習(xí)算法之BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 詳細(xì)公式推導(dǎo)

所謂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，目前用得最廣泛的一個(gè)定義是“的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由具有適應(yīng)性簡(jiǎn)單單元組成的廣泛并行互連的網(wǎng)絡(luò)，它的組織能夠模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)對(duì)真實(shí)世界物體所做出的交互反應(yīng)”。

BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一種按照誤差逆向傳播算法訓(xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

神經(jīng)元模型

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最基本的單元是神經(jīng)元模型（neuron）。在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原始機(jī)制中，每個(gè)神經(jīng)元通常都有多個(gè)樹(shù)突（dendrite），一個(gè)軸突（axon）和一個(gè)細(xì)胞體（cell body），樹(shù)突短而多分支，軸突長(zhǎng)而只有一個(gè)；在功能上，樹(shù)突用于傳入其它神經(jīng)元傳遞的神經(jīng)沖動(dòng)，而軸突用于將神經(jīng)沖動(dòng)傳出到其它神經(jīng)元，當(dāng)樹(shù)突或細(xì)胞體傳入的神經(jīng)沖動(dòng)使得神經(jīng)元興奮時(shí)，該神經(jīng)元就會(huì)通過(guò)軸突向其它神經(jīng)元傳遞興奮。神經(jīng)元的生物學(xué)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

一直沿用至今的“M-P神經(jīng)元模型”正是對(duì)這一結(jié)構(gòu)進(jìn)行了抽象，也稱“閾值邏輯單元“，其中樹(shù)突對(duì)應(yīng)于輸入部分，每個(gè)神經(jīng)元收到n個(gè)其他神經(jīng)元傳遞過(guò)來(lái)的輸入信號(hào)，這些信號(hào)通過(guò)帶權(quán)重的連接傳遞給細(xì)胞體，這些權(quán)重又稱為連接權(quán)（connection weight）。細(xì)胞體分為兩部分，前一部分計(jì)算總輸入值（即輸入信號(hào)的加權(quán)和，或者說(shuō)累積電平），后一部分先計(jì)算總輸入值與該神經(jīng)元閾值的差值，然后通過(guò)激活函數(shù)（activation function）的處理，產(chǎn)生輸出從軸突傳送給其它神經(jīng)元。M-P神經(jīng)元模型如下圖所示：

與線性分類十分相似，神經(jīng)元模型最理想的激活函數(shù)也是階躍函數(shù)，即將神經(jīng)元輸入值與閾值的差值映射為輸出值1或0，若差值大于零輸出1，對(duì)應(yīng)興奮；若差值小于零則輸出0，對(duì)應(yīng)抑制。但階躍函數(shù)不連續(xù)，不光滑（定義域內(nèi)不完全可導(dǎo)），故在M-P神經(jīng)元模型中，采用Sigmoid函數(shù)來(lái)近似， Sigmoid函數(shù)將較大范圍內(nèi)變化的輸入值擠壓到 (0,1) 輸出值范圍內(nèi)，所以也稱為擠壓函數(shù)（squashing function）。

將多個(gè)神經(jīng)元按一定的層次結(jié)構(gòu)連接起來(lái)，就得到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它是一種包含多個(gè)參數(shù)的模型，比方說(shuō)10個(gè)神經(jīng)元兩兩連接，則有100個(gè)參數(shù)需要學(xué)習(xí)（每個(gè)神經(jīng)元有9個(gè)連接權(quán)以及1個(gè)閾值），若將每個(gè)神經(jīng)元都看作一個(gè)函數(shù)，則整個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是由這些函數(shù)相互嵌套而成。

多次前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有三部分組成，分別是輸入層(input layer)，隱藏層(hide layer)，輸出層(output layer)。隱藏層可以有，也可以沒(méi)有，輸入層和輸出層必須要有。沒(méi)有隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是線性的，只能處理線性可分的問(wèn)題（線性可分問(wèn)題從二維的角度就是分界線是一條直線，多維就是存在線性超平面將其分類）。一個(gè)沒(méi)有隱藏層且輸出層只有一個(gè)單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就相當(dāng)于線性的Logistic模型。

感知機(jī)與多層網(wǎng)絡(luò)

感知機(jī)（Perceptron）是由兩層神經(jīng)元組成的一個(gè)簡(jiǎn)單模型，但只有輸出層是M-P神經(jīng)元，即只有輸出層神經(jīng)元進(jìn)行激活函數(shù)處理，也稱為功能神經(jīng)元（functionalneuron）；輸入層只是接受外界信號(hào)（樣本屬性）并傳遞給輸出層（輸入層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)等于樣本的屬性數(shù)目），而沒(méi)有激活函數(shù)。這樣一來(lái)，感知機(jī)與之前線性回歸的思想基本是一樣的，都是通過(guò)對(duì)屬性加權(quán)與另一個(gè)常數(shù)求和，再使用sigmoid函數(shù)將這個(gè)輸出值壓縮到0-1之間，從而解決分類問(wèn)題。不同的是感知機(jī)的輸出層應(yīng)該可以有多個(gè)神經(jīng)元，從而可以實(shí)現(xiàn)多分類問(wèn)題，同時(shí)兩個(gè)模型所用的參數(shù)估計(jì)方法十分不同。

給定訓(xùn)練集，則感知機(jī)的n+1個(gè)參數(shù)（n個(gè)權(quán)重+1個(gè)閾值）都可以通過(guò)學(xué)習(xí)得到。閾值Θ可以看作一個(gè)輸入值固定為-1的啞結(jié)點(diǎn)的權(quán)重ωn+1，即假設(shè)有一個(gè)固定輸入xn+1=-1的輸入層神經(jīng)元，其對(duì)應(yīng)的權(quán)重為ωn+1，這樣就把權(quán)重和閾值統(tǒng)一為權(quán)重的學(xué)習(xí)了。簡(jiǎn)單感知機(jī)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：

感知機(jī)權(quán)重的學(xué)習(xí)規(guī)則如下：對(duì)于訓(xùn)練樣本（x，y），當(dāng)該樣本進(jìn)入感知機(jī)學(xué)習(xí)后，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)輸出值，若該輸出值與樣本的真實(shí)標(biāo)記不一致，則感知機(jī)會(huì)對(duì)權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，若激活函數(shù)為階躍函數(shù)，則調(diào)整的方法與Logistic回歸類似（基于梯度下降法）。

感知機(jī)是通過(guò)逐個(gè)樣本輸入來(lái)更新權(quán)重，首先設(shè)定好初始權(quán)重（一般為隨機(jī)），逐個(gè)地輸入樣本數(shù)據(jù)，若輸出值與真實(shí)標(biāo)記相同則繼續(xù)輸入下一個(gè)樣本，若不一致則更新權(quán)重，然后再重新逐個(gè)檢驗(yàn)，直到每個(gè)樣本數(shù)據(jù)的輸出值都與真實(shí)標(biāo)記相同。容易看出：感知機(jī)模型總是能將訓(xùn)練數(shù)據(jù)的每一個(gè)樣本都預(yù)測(cè)正確，和決策樹(shù)模型總是能將所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)都分開(kāi)一樣，感知機(jī)模型很容易產(chǎn)生過(guò)擬合問(wèn)題。

由于感知機(jī)模型只有一層功能神經(jīng)元，因此其功能十分有限，只能處理線性可分的問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，感知機(jī)的學(xué)習(xí)過(guò)程一定會(huì)收斂（converge），因此總是可以求出適當(dāng)?shù)臋?quán)值。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

由上面可以得知：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)主要蘊(yùn)含在權(quán)重和閾值中，多層網(wǎng)絡(luò)使用上面簡(jiǎn)單感知機(jī)的權(quán)重調(diào)整規(guī)則顯然不夠用了，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法即誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄕ菫閷W(xué)習(xí)多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而設(shè)計(jì)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法是迄今為止最成功的的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法。

一般而言，只需包含一個(gè)足夠多神經(jīng)元的隱層，就能以任意精度逼近任意復(fù)雜度的連續(xù)函數(shù)，故下面以訓(xùn)練單隱層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為例，介紹BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的算法思想。

上圖為一個(gè)單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法也使用梯度下降法（gradient descent），以單個(gè)樣本的均方誤差的負(fù)梯度方向?qū)?quán)重進(jìn)行調(diào)節(jié)?？梢钥闯觯築P算法首先將誤差反向傳播給隱層神經(jīng)元，調(diào)節(jié)隱層到輸出層的連接權(quán)重與輸出層神經(jīng)元的閾值；接著根據(jù)隱含層神經(jīng)元的均方誤差，來(lái)調(diào)節(jié)輸入層到隱含層的連接權(quán)值與隱含層神經(jīng)元的閾值。BP算法基本的推導(dǎo)過(guò)程與感知機(jī)的推導(dǎo)過(guò)程原理是相同的，下面給出調(diào)整隱含層到輸出層的權(quán)重調(diào)整規(guī)則的推導(dǎo)過(guò)程：

BP算法的最終目標(biāo)是要最小化整個(gè)訓(xùn)練集D上的累積誤差

學(xué)習(xí)率η∈（0，1）控制著沿反梯度方向下降的步長(zhǎng)，若步長(zhǎng)太大則下降太快容易產(chǎn)生震蕩，若步長(zhǎng)太小則收斂速度太慢，一般地常把η設(shè)置為0.1，有時(shí)更新權(quán)重時(shí)會(huì)將輸出層與隱含層設(shè)置為不同的學(xué)習(xí)率。BP算法的基本流程如下所示：

BP算法的更新規(guī)則是基于每個(gè)樣本的預(yù)測(cè)值與真實(shí)類標(biāo)的均方誤差來(lái)進(jìn)行權(quán)值調(diào)節(jié)，即BP算法每次更新只針對(duì)于單個(gè)樣例。需要注意的是：BP算法的最終目標(biāo)是要最小化整個(gè)訓(xùn)練集D上的累積誤差。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)matlab實(shí)現(xiàn)的基本步驟

1、數(shù)據(jù)歸一化

2、數(shù)據(jù)分類，主要包括打亂數(shù)據(jù)順序，抽取正常訓(xùn)練用數(shù)據(jù)、變量數(shù)據(jù)、測(cè)試數(shù)據(jù)

3、建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括設(shè)置多少層網(wǎng)絡(luò)（一般3層以內(nèi)既可以，每層的節(jié)點(diǎn)數(shù)（具體節(jié)點(diǎn)數(shù)，尚無(wú)科學(xué)的模型和公式方法確定，可采用試湊法，但輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)和需要輸出的量個(gè)數(shù)相等），設(shè)置隱含層的傳輸函數(shù)等

4、指定訓(xùn)練參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，這步非常重要

5、完成訓(xùn)練后，就可以調(diào)用訓(xùn)練結(jié)果，輸入測(cè)試數(shù)據(jù)，進(jìn)行測(cè)試

6、數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化

7、誤差分析、結(jié)果預(yù)測(cè)或分類，作圖等

應(yīng)用案例

問(wèn)題的matlab代碼：
P=[0.2286 0.1292 0.0720 0.1592 0.1335 0.0733 0.1159 0.0940 0.0522 0.1345 0.0090 0.1260 0.3619 0.0690 0.1828;
   0.2090 0.0947 0.1393 0.1387 0.2558 0.0900 0.0771 0.0882 0.0393 0.1430 0.0126 0.1670 0.2450 0.0508 0.1328;
   0.0442 0.0880 0.1147 0.0563 0.3347 0.1150 0.1453 0.0429 0.1818 0.0378 0.0092 0.2251 0.1516 0.0858 0.0670;
   0.2603 0.1715 0.0702 0.2711 0.1491 0.1330 0.0968 0.1911 0.2545 0.0871 0.0060 0.1793 0.1002 0.0789 0.0909;
   0.3690 0.2222 0.0562 0.5157 0.1872 0.1614 0.1425 0.1506 0.1310 0.0500 0.0078 0.0348 0.0451 0.0707 0.0880;
   0.0359 0.1149 0.1230 0.5460 0.1977 0.1248 0.0624 0.0832 0.1640 0.1002 0.0059 0.1503 0.1837 0.1295 0.0700;
   0.1759 0.2347 0.1829 0.1811 0.2922 0.0655 0.0774 0.2273 0.2056 0.0925 0.0078 0.1852 0.3501 0.1680 0.2668;
   0.0724 0.1909 0.1340 0.2409 0.2842 0.0450 0.0824 0.1064 0.1909 0.1586 0.0116 0.1698 0.3644 0.2718 0.2494;
   0.2634 0.2258 0.1165 0.1154 0.1074 0.0657 0.0610 0.2623 0.2588 0.1155 0.0050 0.0978 0.1511 0.2273 0.3220]';
T=[1 0 0;1 0 0;1 0 0;
   0 1 0;0 1 0;0 1 0;
   0 0 1;0 0 1;0 0 1]';
%輸入向量的最大值和最小值
threshold=[0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1;0 1];
net=newff(threshold,[31 3],{'tansig','logsig'},'trainlm');
%訓(xùn)練次數(shù)為1000，訓(xùn)練目標(biāo)為0.01，學(xué)習(xí)速率為0.1
net.trainParam.epochs=1000;
net.trainParam.goal=0.01;
LP.lr=0.1;
net = train(net,P,T);
%測(cè)試數(shù)據(jù)，和訓(xùn)練數(shù)據(jù)不一致
P_test=[0.2101 0.0950 0.1298 0.1359 0.2601 0.1001 0.0753 0.0890 0.0389 0.1451 0.0128 0.1590 0.2452 0.0512 0.1319;
        0.2593 0.1800 0.0711 0.2801 0.1501 0.1298 0.1001 0.1891 0.2531 0.0875 0.0058 0.1803 0.0992 0.0802 0.1002;
        0.2599 0.2235 0.1201 0.1171 0.1102 0.0683 0.0621 0.2597 0.2602 0.1167 0.0048 0.1002 0.1521 0.2281 0.3205]';
Y=sim(net,P_test)
%計(jì)算訓(xùn)練誤差res(P106)
t=[1 0 0;
   0 1 0;
   0 0 1];
error=Y-t
res=norm(error)