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數(shù)據(jù)挖掘算法:EM算法
2018-08-06
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數(shù)據(jù)挖掘算法:EM算法

1. 極大似然

極大似然（Maximum Likelihood）估計(jì)為用于已知模型的參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。

比如，我們想了解拋硬幣是正面（head）的概率分布θ；那么可以通過(guò)最大似然估計(jì)方法求得。假如我們拋硬幣10次，其中8次正面、2次反面；極大似然估計(jì)參數(shù)θ值：

其中，l(θ)為觀測(cè)變量序列的似然函數(shù)（likelihood function of the observation sequence）。對(duì)l(θ)求偏導(dǎo)

因?yàn)樗迫缓瘮?shù)l(θ)不是凹函數(shù)（concave），求解極大值困難。一般地，使用與之具有相同單調(diào)性的log-likelihood，如圖所示

凹函數(shù)（concave）與凸函數(shù)（convex）的定義如圖所示：

從圖中可以看出，凹函數(shù)“容易”求解極大值，凸函數(shù)“容易”求解極小值。

2. EM算法

EM算法（Expectation Maximization）是在含有隱變量（latent variable）的模型下計(jì)算最大似然的一種算法。所謂隱變量，是指我們沒(méi)有辦法觀測(cè)到的變量。

比如，有兩枚硬幣A、B，每一次隨機(jī)取一枚進(jìn)行拋擲，我們只能觀測(cè)到硬幣的正面與反面，而不能觀測(cè)到每一次取的硬幣是否為A；則稱每一次的選擇拋擲硬幣為隱變量。

用Y表示觀測(cè)數(shù)據(jù)，Z表示隱變量；Y和Z連在一起稱為完全數(shù)據(jù)( complete-data )，觀測(cè)數(shù)據(jù)Y又稱為不完全數(shù)據(jù)(incomplete-data)。觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)：

求模型參數(shù)的極大似然估計(jì)：

因?yàn)楹须[變量，此問(wèn)題無(wú)法求解。因此，Dempster等人提出EM算法用于迭代求解近似解。EM算法比較簡(jiǎn)單，分為兩個(gè)步驟：

E步（E-step），以當(dāng)前參數(shù)θ(i)計(jì)算Z的期望值

M步（M-step），求使Q(θ,θ(i))極大化的θ，確定第i+1次迭代的參數(shù)的估計(jì)值θ(i+1)

如此迭代直至算法收斂。關(guān)于算法的推導(dǎo)及收斂性證明，可參看李航的《統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法》及Andrew Ng的《CS229 Lecture notes》。這里有一些極大似然以及EM算法的生動(dòng)例子。

3. 實(shí)例

[2]中給出極大似然與EM算法的實(shí)例。如圖所示，有兩枚硬幣A、B，每一個(gè)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)取一枚拋擲10次，共5個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們可以觀測(cè)到每一次所取的硬幣，估計(jì)參數(shù)A、B為正面的概率θ=(θA,θB)，根據(jù)極大似然估計(jì)求解

如果我們不能觀測(cè)到每一次所取的硬幣，只能用EM算法估計(jì)模型參數(shù)，算法流程如圖所示：

隱變量Z為每次實(shí)驗(yàn)中選擇A或B的概率，則第一個(gè)實(shí)驗(yàn)選擇A的概率為

按照上面的計(jì)算方法可依次求出隱變量Z，然后計(jì)算極大化的θ(i)。經(jīng)過(guò)10次迭代，最終收斂。


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