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機器學習之分類算法之樸素貝葉斯分類
2018-06-23
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機器學習之分類算法之樸素貝葉斯分類

最近自己對機器學習比較感興趣,做個筆記,還請大牛不喜輕噴,多多指教。
樸素貝葉斯分類基于概率論中的貝葉斯原理:
P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B)
所謂樸素即是特征屬性之間相互獨立的對分類結(jié)果發(fā)生影響。
所以對應(yīng)的概率公式可改寫為P(c|x) = P(x|c)|p(c) / P(x)
其中:
    P(c) 是類‘先驗概率
    P(x|c) 是樣本x對于類標記c的類條件概率(或稱似然)
    P(x)叫做證據(jù)因子
由于樸素貝葉斯假定所有特征屬性獨立,所以
    P(x|c)= P(x1,x2,…xn|c) = P(x1|c)P(x2|c) …P(xn|c)
    P(x) = P(x1) * P(x2) * … * P(xn)
所以
    P(c|x) = P(x1,x2,…xn|c) = P(x1|c)P(x2|c) …P(xn|c) * P(c) /
    p(x)。 因為 P(c) / p(x)是固定值,所以我們一般只需要計算P(x|c),找出最大似然即可
Ps:
    對于離散屬性而言,P(x1|c) = 訓練集中屬性為x1且分類為c的數(shù)目|訓練集中分類c的數(shù)目
   

對于離散屬性而言,一般假定其概率分布為高斯分布
取個例1:
    癥狀  職業(yè)   疾病
  打噴嚏 護士   感冒
  打噴嚏 農(nóng)夫   過敏
  頭痛  建筑工人 腦震蕩
  頭痛  建筑工人 感冒
  打噴嚏 教師   感冒
  頭痛  教師   腦震蕩
現(xiàn)在又來了是一個打噴嚏的建筑工人。請問他患上感冒的概率有多大?
由上可知
求P(感冒|打噴嚏建筑工人) = P(建筑工人|感冒) P(打噴嚏|感冒) * P(感冒) / P(建筑工人) * P(打噴嚏)
    P(建筑工人|感冒) = 1/3
    P(打噴嚏|感冒) = 2/3
    P(感冒) = 3/6 = 1/2
    P(建筑工人) = 2/6 = 1/3
    P(打噴嚏) = 3/6 = 1/2

所以

    P(感冒|打噴嚏*建筑工人) = (1/3 * 2/3 * 1/2 ) / (1/3 * 1/2) = 2/3

再取個例2(來自機器學習(周志華)):

我們要求一個:

根據(jù)樸素貝葉斯定理:
我們有
P(好瓜=是|色澤=青綠,根蒂=蜷縮,敲聲=濁響,紋理=清晰,臍部=凹陷,觸感=硬滑,密度=0.697,含糖率=0.46) =
P(色澤=青綠|好瓜=是) * P(根蒂=蜷縮|好瓜=是) * P(敲聲=濁響|好瓜=是) * P(紋理=清晰|好瓜=是) * P(臍部=凹陷|好瓜=是) * P(觸感=硬滑|好瓜=是) * P(密度=0.697|好瓜=是) * P(含糖率=0.46|好瓜=是) * P(好瓜=是) / (P(色澤=青綠) * P(根蒂=蜷縮) * P(敲聲=濁響) * P(紋理=清晰) * P(臍部=凹陷) * P(觸感=硬滑) * P(密度=0.697) * P(含糖率=0.46))

P(好瓜=是) = 8/17
P(色澤=青綠|好瓜=是) = 3/8

(好瓜=是的瓜密度均值為0.574, 方差 = 0.129)
P(色澤=青綠|好瓜=是) = exp(-(0.697-0.574)^2 / 2*0.129)) / sqrt((2*π)*0.129) ≈ 1.959

結(jié)果P(好瓜=是|色澤=青綠,根蒂=蜷縮,敲聲=濁響,紋理=清晰,臍部=凹陷,觸感=硬滑,密度=0.697,含糖率=0.46) = 0.038
同理
P(好瓜=否|色澤=青綠,根蒂=蜷縮,敲聲=濁響,紋理=清晰,臍部=凹陷,觸感=硬滑,密度=0.697,含糖率=0.46) =0.000068

所以分類到好瓜中。


拉普拉斯修正(laplace correction)

特別的,如果樣本中有,但是訓練集中沒有,這樣就有可能導(dǎo)致分類不合理。
例如在例1 中 如果樣本中出現(xiàn)職業(yè)一個打噴嚏的學生,那么最后算出來的結(jié)果,P(感冒|打噴嚏*學生) = 0,很明顯是不對的。

拉普拉斯修正修正原理很簡單:設(shè)Ni對于分類為c第i個特征屬性的可能取到的類別數(shù)目
,那么:
P(xi|c) =( |Dc,xi|+1) / (|Dc|+Ni )
其中 |Dc,xi| 表示訓練集中分類為c的特征屬性為xi的數(shù)目, |Dc| 表示訓練集中分類為c的數(shù)目。

在例1 經(jīng)過修正后

P(建筑工人|感冒) = (1+1)/(3+4) = 2/7

P(打噴嚏|感冒) = (2+1)/(3+2) =3/5

P(感冒) = 3/6 = 1/2

P(建筑工人) = 2/6 =1/3

P(打噴嚏) = 3/6 = 1/2

P(感冒|打噴嚏建筑工人) = P(建筑工人|感冒)P(打噴嚏|感冒) * P(感冒) / P(建筑工人) * P(打噴嚏) = (2/7 * 3/71/2) / (1/31/2) = 2/35


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