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線性代數(shù)與數(shù)值方法--矩陣分解
2018-03-26
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線性代數(shù)與數(shù)值方法--矩陣分解

矩陣

正交：正交最早出現(xiàn)于三維空間中的向量分析。 在三維向量空間中， 兩個向量的內(nèi)積如果是零， 那么就說這兩個向量是正交的。

正交矩陣：正交矩陣是實數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是正規(guī)矩陣。如果：AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣， 若A為正交陣，則滿足以下條件:
1) AT是正交矩陣
2) AAT=E（E為單位矩陣）
3) A的各行是單位向量且兩兩正交
4) A的各列是單位向量且兩兩正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1

酉矩陣：n階復(fù)方陣U的n個列向量是U空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，則U是酉矩陣(Unitary Matrix)。顯然酉矩陣是正交矩陣往復(fù)數(shù)域上的推廣。

正規(guī)矩陣：正規(guī)矩陣是與自己的共軛轉(zhuǎn)置矩陣對易的復(fù)系數(shù)方塊矩陣，A*A=AA*。其中A*是A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的正規(guī)性是檢驗矩陣是否可對角化的一個簡便方法：任意正規(guī)矩陣都可在經(jīng)過一個酉變換（正交變換）后變?yōu)閷蔷仃?，反過來所有可在經(jīng)過一個酉變換后變?yōu)閷蔷仃嚨木仃嚩际钦?guī)矩陣。
正規(guī)矩陣的性質(zhì)：屬于正規(guī)矩陣不同特征值的特征向量兩兩正交。
定理1：在復(fù)數(shù)域上，A為正規(guī)矩陣的充分必要條件為A有n個兩兩正交的單位特征向量
定理2：在復(fù)數(shù)域上，A為正規(guī)矩陣的充分必要條件為A酉相似于對角矩陣

奇異值分解（SVD）

奇異值：設(shè)A為復(fù)數(shù)域內(nèi)m*n階矩陣，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，A*·A的n個特征值的算術(shù)平方根（即A*·A的特征值的開方）叫作矩陣A的奇異值。記為σi(A) 。

共軛復(fù)數(shù)：兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的的復(fù)數(shù)。
共軛轉(zhuǎn)置:轉(zhuǎn)置，取共軛。

奇異值分解，即任意一個MxN的實數(shù)矩陣A均可寫成：

其中p=min(m,n)，矩陣U和V是正交矩陣，

特征值分解

如果矩陣C是對稱矩陣，那么特可以寫成特征值分解的形式：

QR因子分解

QR因子分解是一項廣泛應(yīng)用于穩(wěn)定求解病態(tài)最小二乘問題的方法，同時也是一些更復(fù)雜方算法的基礎(chǔ)，比如SVD及特征值分解。
A=QR
Q是正交矩陣，QQT=I，R是上三角矩陣，且在對角線上的元素為正。
Q可由格拉姆-施密特方法獲得。
R=QTA

格拉姆-施密特正交化

The Gram–Schmidt process then works as follows

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