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統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)之?dāng)?shù)值分析方法
2018-02-24
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統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)之?dāng)?shù)值分析方法

最近補(bǔ)了一些統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識，大多都在這些年的學(xué)習(xí)中接觸過，這里做個總結(jié)，以便回頭方便看。

從以下幾個方面對數(shù)值進(jìn)行分析：

數(shù)值的位置

平均數(shù)與中位數(shù)

這個最常見的就是平均值和中位數(shù)了，平均值指的是數(shù)據(jù)在數(shù)值上的中心位置，是所有數(shù)和的平均，而中位數(shù)是一個樣本序列在數(shù)值上的中間，序列長度為奇數(shù)是，中位數(shù)就是最中間的那個。我們可以吧平均數(shù)理解為樣本序列在數(shù)學(xué)上的中間位置，把中位數(shù)理解為樣本序列在物理上的中間位置。

加權(quán)平均數(shù)

權(quán)值對于學(xué)過算法或者圖論的小伙伴都不陌生，權(quán)值不同則認(rèn)為每個數(shù)據(jù)的權(quán)值（可以簡單理解為重要性）不同，在上邊提到的平均數(shù)中是認(rèn)為每個數(shù)的權(quán)值相同。那加權(quán)平均數(shù)就是求平均時對每個數(shù)值乘上了他的權(quán)值。

ps,加權(quán)的樣本序列就比普通的樣本序列多了一維的信息量。

幾何平均數(shù)

這是個很有意思的平均數(shù)，在之前并沒有接觸過，它是n個數(shù)值乘積的n次方根，既然是幾何平均數(shù)，那小伙伴們可以把它放在歐幾里得空間來理解它的意義。

眾數(shù)

樣本序列中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，這個在一些基本算法的面試題中經(jīng)常出現(xiàn)，比如怎么在海量數(shù)據(jù)中找出重復(fù)次數(shù)最多的一個？（這個主要是采用分而治之的思想，外加hash等方法，有興趣的可以百度一下）

四分位數(shù)

四分位數(shù)是百分位數(shù)的一種特殊情況，但是這個數(shù)值的位置具有比較高的工程使用價值，在統(tǒng)計(jì)分析中出現(xiàn)頻率很高，比如后邊用到的箱形分析法等跟此關(guān)系很大。

數(shù)值的離散程度

數(shù)據(jù)的離散程度也可以成為數(shù)據(jù)的變異程度，學(xué)過聚類算法的小伙伴說離散程度應(yīng)該比變異程度更容易理解一些。有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)（MAE、MSE等指標(biāo)對機(jī)器學(xué)習(xí)的小伙伴應(yīng)該都不陌生）。這個變異程度可以放在歐幾里得幾何空間來理解，都是描述數(shù)值之間分散的程度。
注意：1.極值是最容易計(jì)算的，但是它比較容易受到異常值影響，單獨(dú)計(jì)算時的工程意義并不大。
2.四分位數(shù)間距能很好的避免異常值影響，甚至能進(jìn)一步的檢測異常值。（箱形法）

3.樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)差是方差的正平方根。

分布形態(tài)和相對位置

偏度

偏度是分布形態(tài)的最常用度量。偏度的計(jì)算公式這里就不貼出來了，也可以通過平均數(shù)和中位數(shù)的關(guān)系來判斷偏度。其關(guān)系如下所示：
偏度為正值 = 數(shù)據(jù)右偏 = （平均數(shù)>中位數(shù)）
偏度為0 = 數(shù)據(jù)對稱 = （平均數(shù)=中位數(shù)）

偏度為負(fù)值 = 數(shù)據(jù)左偏 = （平均數(shù)<中位數(shù)）

切比雪夫定理

學(xué)概率論的時候都接觸過這個，這里就不做過多解釋。他能幫我們指出與平均數(shù)的距離在某個特定個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)據(jù)值所占的比例。（與平均數(shù)的距離在z個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)據(jù)項(xiàng)所占比例至少為（1-1/z^2），其中z是大于1的任何實(shí)數(shù)）。

異常點(diǎn)的檢測

異常點(diǎn)也成為離群點(diǎn)（outlier），對于機(jī)器學(xué)習(xí)的小伙伴也不陌生，在統(tǒng)計(jì)工程上常用的方法有簡單的統(tǒng)計(jì)量分析，比如最大值最小值是否超出合理的范圍，還有就是比較經(jīng)典的箱形法。

以上方法是基于統(tǒng)計(jì)的方法，其在多維數(shù)據(jù)上表現(xiàn)的很無力。除此之外還有基于位置，基于偏差和基于密度的方法。還有一些比較新的論文，是基于信息熵（Correntropy）和深度學(xué)習(xí)的異常點(diǎn)檢測算法。有興趣的小伙伴可以下一些論文看看。


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