Python語言描述機器學習之Logistic回歸算法

本文介紹機器學習中的Logistic回歸算法，我們使用這個算法來給數(shù)據(jù)進行分類。Logistic回歸算法同樣是需要通過樣本空間學習的監(jiān)督學習算法，并且適用于數(shù)值型和標稱型數(shù)據(jù)，例如，我們需要根據(jù)輸入數(shù)據(jù)的特征值（數(shù)值型）的大小來判斷數(shù)據(jù)是某種分類或者不是某種分類。

一、樣本數(shù)據(jù)

在我們的例子中，我們有這樣一些樣本數(shù)據(jù)：

樣本數(shù)據(jù)有3個特征值：X0X0，X1X1，X2X2

我們通過這3個特征值中的X1X1和X2X2來判斷數(shù)據(jù)是否符合要求，即符合要求的為1，不符合要求的為0。

樣本數(shù)據(jù)分類存放在一個數(shù)組中

我們在logRegres.py文件中編寫如下函數(shù)來準備數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)打印觀察一下：

#coding=utf-8
from numpy import *
def loadDataSet():
 dataMat = []; labelMat = []
 fr = open('testSet.txt')
 for line in fr.readlines():
  lineArr = line.strip().split()
  dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
  labelMat.append(int(lineArr[2]))
 return dataMat,labelMat
if __name__=='__main__':
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 print 'dataMat:\n',dataMat

我們來觀察一下這個數(shù)據(jù)樣本： 
dataMat:
[[1.0, -0.017612, 14.053064], [1.0, -1.395634, 4.662541], [1.0, -0.752157, 6.53862], [1.0, -1.322371, 7.152853], [1.0, 0.423363, 11.054677], [1.0, 0.406704, 7.067335], [1.0, 0.667394, 12.741452], [1.0, -2.46015, 6.866805], [1.0, 0.569411, 9.548755], [1.0, -0.026632, 10.427743], [1.0, 0.850433, 6.920334], [1.0, 1.347183, 13.1755], [1.0, 1.176813, 3.16702], [1.0, -1.781871, 9.097953], [1.0, -0.566606, 5.749003], [1.0, 0.931635, 1.589505], [1.0, -0.024205, 6.151823], [1.0, -0.036453, 2.690988], [1.0, -0.196949, 0.444165], [1.0, 1.014459, 5.754399], [1.0, 1.985298, 3.230619], [1.0, -1.693453, -0.55754], [1.0, -0.576525, 11.778922], [1.0, -0.346811, -1.67873], [1.0, -2.124484, 2.672471], [1.0, 1.217916, 9.597015], [1.0, -0.733928, 9.098687], [1.0, -3.642001, -1.618087], [1.0, 0.315985, 3.523953], [1.0, 1.416614, 9.619232], [1.0, -0.386323, 3.989286], [1.0, 0.556921, 8.294984], [1.0, 1.224863, 11.58736], [1.0, -1.347803, -2.406051], [1.0, 1.196604, 4.951851], [1.0, 0.275221, 9.543647], [1.0, 0.470575, 9.332488], [1.0, -1.889567, 9.542662], [1.0, -1.527893, 12.150579], [1.0, -1.185247, 11.309318], [1.0, -0.445678, 3.297303], [1.0, 1.042222, 6.105155], [1.0, -0.618787, 10.320986], [1.0, 1.152083, 0.548467], [1.0, 0.828534, 2.676045], [1.0, -1.237728, 10.549033], [1.0, -0.683565, -2.166125], [1.0, 0.229456, 5.921938], [1.0, -0.959885, 11.555336], [1.0, 0.492911, 10.993324], [1.0, 0.184992, 8.721488], [1.0, -0.355715, 10.325976], [1.0, -0.397822, 8.058397], [1.0, 0.824839, 13.730343], [1.0, 1.507278, 5.027866], [1.0, 0.099671, 6.835839], [1.0, -0.344008, 10.717485], [1.0, 1.785928, 7.718645], [1.0, -0.918801, 11.560217], [1.0, -0.364009, 4.7473], [1.0, -0.841722, 4.119083], [1.0, 0.490426, 1.960539], [1.0, -0.007194, 9.075792], [1.0, 0.356107, 12.447863], [1.0, 0.342578, 12.281162], [1.0, -0.810823, -1.466018], [1.0, 2.530777, 6.476801], [1.0, 1.296683, 11.607559], [1.0, 0.475487, 12.040035], [1.0, -0.783277, 11.009725], [1.0, 0.074798, 11.02365], [1.0, -1.337472, 0.468339], [1.0, -0.102781, 13.763651], [1.0, -0.147324, 2.874846], [1.0, 0.518389, 9.887035], [1.0, 1.015399, 7.571882], [1.0, -1.658086, -0.027255], [1.0, 1.319944, 2.171228], [1.0, 2.056216, 5.019981], [1.0, -0.851633, 4.375691], [1.0, -1.510047, 6.061992], [1.0, -1.076637, -3.181888], [1.0, 1.821096, 10.28399], [1.0, 3.01015, 8.401766], [1.0, -1.099458, 1.688274], [1.0, -0.834872, -1.733869], [1.0, -0.846637, 3.849075], [1.0, 1.400102, 12.628781], [1.0, 1.752842, 5.468166], [1.0, 0.078557, 0.059736], [1.0, 0.089392, -0.7153], [1.0, 1.825662, 12.693808], [1.0, 0.197445, 9.744638], [1.0, 0.126117, 0.922311], [1.0, -0.679797, 1.22053], [1.0, 0.677983, 2.556666], [1.0, 0.761349, 10.693862], [1.0, -2.168791, 0.143632], [1.0, 1.38861, 9.341997], [1.0, 0.317029, 14.739025]]
labelMat:
[0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0]

樣本數(shù)據(jù)dataMat的第一列，也就是我們的特征值X0X0全部為1，這個問題我們之后在計算回歸參數(shù)時需要注意理解。所有的樣本數(shù)據(jù)一共100條，對應的分類結果也是100個。

那么，我們現(xiàn)在的問題是：
我們要找到樣本空間中的特征值與分類結果的關系。設計一個函數(shù)或者功能，實現(xiàn)在輸入一組特征值后，能夠根據(jù)樣本空間特征值與分類結果的關系，自動為輸入的數(shù)據(jù)進行分類，即得到結果要么是1，要么是0。

二、Sigmoid函數(shù)

為了解決上一節(jié)我們提到的問題，我們這里先介紹一下Sigmoid函數(shù)：

這個函數(shù)有如下幾個特征：

當z=0z=0時，值為0.50.5
當zz不斷增大時，值將趨近于1
當zz不斷減小時，值將趨近于0
我們來看一下函數(shù)的曲線圖：

我們如果將樣本空間的3個特征值X0X0、X1X1和X2X2的值代入到函數(shù)中，計算出一個結果。那么這個結果將是接近與我們的分類結果的（0到1之間的一個數(shù)值）。如果這個結果接近0那么我們就認為分類為0，如果結果接近1我們就認為分類為1。

以什么方式代入到函數(shù)中呢？其實簡單的相加就可以，因為zz不斷增大或者減小時，函數(shù)的值就相應的趨近于1或者0。我們使z=x0+x1+x2z=x0+x1+x2

但是實際的情況是我們的計算結果和實際的分類值，會有誤差，甚至是完全不正確。為了矯正這個問題，我們?yōu)闃颖究臻g的3個特征值X0X0、X1X1和X2X2，一一定義一個回歸系數(shù)w0w0、w1w1和w2w2，使這個誤差減小。即使z=w0x0+w1x1+w2x2

其實不難想象，這組ww回歸系數(shù)的值決定了我們計算結果的準確性，甚至是正確性。也就是說，這組ww的值反應了樣本空間分類的規(guī)則。
那么，我們在輸入一組樣本之外的數(shù)據(jù)時，配合正確的ww回歸系數(shù)，我們就能得到比較接近樣本空間分類規(guī)則的分類結果。
問題又來了，我們怎么來得到這樣一組ww回歸系數(shù)呢？

三、梯度上升法

梯度上升法，是在函數(shù)的梯度方向上，不斷的迭代計算參數(shù)值，以找到一個最大的參數(shù)值。迭代公式如下：

其中，αα為步長，Δσ(w)Δσ(w)為σ(w)σ(w)函數(shù)梯度。關于梯度的推導請參考這里。作者的數(shù)學能力有限，就不做說明了。

最后，我們可以得到梯度的計算公式：

那么，迭代公式如下：

公式說明：

wk+1wk+1為本次迭代XX特征項的回歸系數(shù)結果
wkwk為上一次迭代XX特征項的回歸系數(shù)結果
αα為每次迭代向梯度方向移動的步長
xixi為XX特征項中第i個元素
yiyi是樣本中第i條記錄的分類樣本結果
σ(xi,wk)σ(xi,wk)是樣本中第i條記錄，使用sigmoid函數(shù)和wkwk作為回歸系數(shù)計算的分類結果
[yi?σ(xi,wk)][yi?σ(xi,wk)]是樣本第i條記錄對應的分類結果值,與sigmoid函數(shù)使用wkwk作為回歸系數(shù)計算的分類結果值的誤差值。

現(xiàn)在，我們有了計算回歸系數(shù)的公式，下面我們在logRegres.py文件中來實現(xiàn)一個函數(shù)，實現(xiàn)計算樣本空間的回歸系數(shù)，并打印一下我們的結果：

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
 dataMatrix = mat(dataMatIn)    #100行3列
 #print dataMatrix
 labelMat = mat(classLabels).transpose() #100行1列
 #print 'labelMat:\n',labelMat
 print 'labelMat 的形狀:rowNum=',shape(labelMat)[0],'colNum=',shape(labelMat)[1]
 rowNum,colNum = shape(dataMatrix)
 alpha = 0.001
 maxCycles = 500
 weights = ones((colNum,1)) #3行1列
 #print shape(dataMatrix)
 #print shape(weights)
 #print shape(labelMat)
 for k in range(maxCycles):    #heavy on matrix operations
  h = sigmoid(dataMatrix*weights)  #100行1列
  #print h
  error = (labelMat - h)    #vector subtraction
  weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #3行1列
 return weights
if __name__=='__main__':
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 #weights=gradAscent(dataMat,labelMat)
 #print 'dataMat:\n',dataMat
 #print 'labelMat:\n',labelMat
 print weights
打印結果:
回歸系數(shù)：
[[ 4.12414349]
 [ 0.48007329]
 [-0.6168482 ]]

為了驗證我們計算的回顧系數(shù)的準確性，我們觀察一下樣本空間的散點圖和回歸系數(shù)的擬合曲線。我們以z(x1,x2)=w0+w1x1+w2x2作為我們的擬合函數(shù)，在坐標系中畫出它的擬合曲線。以樣本空間中X1X1和X2X2的值作為橫坐標和縱坐標，畫出樣本空間的散點。代碼如下：
def plotBestFit(weights):
 import matplotlib.pyplot as plt
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 dataArr = array(dataMat)
 n = shape(dataArr)[0]
 xcord1 = []; ycord1 = []
 xcord2 = []; ycord2 = []
 for i in range(n):
  if int(labelMat[i])== 1:
   xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
  else:
   xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
 fig = plt.figure()
 ax = fig.add_subplot(111)
 ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
 ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
 x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
 y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
 y = y.transpose()
 ax.plot(x, y)
 plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
 plt.show()
if __name__=='__main__':
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 weights=gradAscent(dataMat,labelMat)
 print '回歸系數(shù)：\n',weights
 plotBestFit(weights)

運行后，我們得到如下圖片：

通過我們的觀察，我們的這個回歸系數(shù)的算法還是比較準確的，擬合曲線將樣本數(shù)據(jù)分成兩部分，并且符合樣本的分類規(guī)則。

接下來，我們來實現(xiàn)一個分類器，并測試這個分類器：

def classify0(targetData,weights):
 v = sigmoid(targetData*weights)
 if v>0.5:
  return 1.0
 else :
  return 0
def testClassify0():
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 examPercent=0.7
 row,col=shape(dataMat)
 exam=[]
 exam_label=[]
 test=[]
 test_label=[]
 for i in range(row):
  if i < row*examPercent:
   exam.append(dataMat[i])
   exam_label.append(labelMat[i])
  else:
   test.append(dataMat[i])
   test_label.append(labelMat[i])
 weights=gradAscent(exam,exam_label)
 errCnt=0
 trow,tcol=shape(test)
 for i in range(trow):
  v=int(classify0(test[i],weights))
  if v != int(test_label[i]):
   errCnt += 1
   print '計算值：',v,' 原值',test_label[i]
 print '錯誤率：',errCnt/trow
if __name__=='__main__':
 #dataMat,labelMat=loadDataSet()
 #weights=gradAscent(dataMat,labelMat)
 ##print 'dataMat:\n',dataMat
 ##print 'labelMat:\n',labelMat
 #print '回歸系數(shù)：\n',weights
 #plotBestFit(weights)
 testClassify0()

分類器的實現(xiàn)很簡單。我們使用之前的樣本數(shù)據(jù)中的70條數(shù)據(jù)作為我們測試的樣本數(shù)據(jù)，計算出回歸系數(shù)。然后用分類器對剩下的30條記錄進行分類，然后將結果和樣本數(shù)據(jù)進行對比。最后打印出錯誤率。我們可以看到，錯誤率是0，近乎完美！我們可以修改測試樣本在原樣本空間的比例多測試幾遍。那么，結論是我們的算法的準確率還不錯！

那么，到這里問題就解決了嗎？好像還差一點什么。我們來仔細研究一下我們計算回歸系數(shù)的方法，不難發(fā)現(xiàn)，這個過程中我們用樣本數(shù)據(jù)組成的矩陣進行了矩陣乘法。也就是說，為了計算回歸系數(shù)，我們遍歷了整個樣本數(shù)據(jù)。

我們的問題又來了，我們例子中的樣本數(shù)據(jù)只有100條，如果處理成千上萬的樣本數(shù)據(jù)，我們的計算回歸系數(shù)的函數(shù)的計算復雜度會直線上升。下面我們來看看如何優(yōu)化這個算法。

四、優(yōu)化梯度上升算法——隨機梯度上升法

我們在理解了回歸系數(shù)迭代計算的公式

和我們實現(xiàn)的程序之后。我們將計算回歸系數(shù)的方法進行如下改進：

def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
 m,n = shape(dataMatrix)
 alpha = 0.01
 weights = ones((n,1)) #initialize to all ones
 for i in range(m):
  h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
  error = classLabels[i] - h
  weights = weights + alpha * error * mat(dataMatrix[i]).transpose()
 return weights

每一次迭代計算回歸系數(shù)時，只使用樣本空間中的一個樣本點來計算。我們通過程序生成一個樣本散點和擬合曲線的圖來看一下這個算法的準確程度：

不難看出跟之前的算法相差還是比較大的。原因是之前的算法是通過500次迭代算出的結果，后者只經(jīng)過了100次迭代。那么這里要說明的問題是，回歸系數(shù)在隨著迭代次數(shù)的增加是趨于收斂的，并且收斂的過程是存在波動的。說白了，就是迭代的次數(shù)越多，越接近我們想要的那個值，但是由于樣本的數(shù)據(jù)是非線性的，這個過程也會有一定的誤差。具體的回歸系數(shù)和迭代次數(shù)的關系大家可以參考一些教材，例如《機器學習實戰(zhàn)》中的描述，這里就不做詳細介紹了。
我們這里只介紹一下如何改進我們的算法，使我們的算法能夠快速的收斂并減小波動。方法如下：

每次迭代隨機的抽取一個樣本點來計算回歸向量
迭代的步長隨著迭代次數(shù)增大而不斷減少，但是永遠不等于0

改進代碼，并打印出擬合曲線和樣本散點圖：

def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
 m,n = shape(dataMatrix)
 weights = ones((n,1)) #initialize to all ones
 for j in range(numIter):
  dataIndex = range(m)
  for i in range(m):
   alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001 #apha decreases with iteration, does not
   randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
   h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
   error = classLabels[randIndex] - h
   weights = weights + alpha * error * mat(dataMatrix[randIndex]).transpose()
   del(dataIndex[randIndex])
 return weights
if __name__=='__main__':
 dataMat,labelMat=loadDataSet()
 #weights=stocGradAscent0(dataMat,labelMat)
 weights=stocGradAscent1(dataMat,labelMat)
 #weights=gradAscent(dataMat,labelMat)
 #print 'dataMat:\n',dataMat
 #print 'labelMat:\n',labelMat
 #print '回歸系數(shù)：\n',weights
 plotBestFit(weights)
 #testClassify0()

默認是150迭代的樣本散點圖和擬合曲線圖：

不難看出準確程度與第一個算法很接近了！

五、總結

Logistic回歸算法主要是利用了Sgimoid函數(shù)來為數(shù)據(jù)分類，分類的準確的關鍵取決于從樣本空間中計算出的回歸系數(shù)。我們使用梯度上升法來計算回歸系數(shù)，并采用隨機梯度上升法來改進了算法的性能。