時(shí)間序列數(shù)據(jù)(Time Series Data)是按時(shí)間排序的數(shù)據(jù)，利率、匯率和股價(jià)等都是時(shí)間序列數(shù)據(jù)。時(shí)間序列數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔可以是分和秒(如高頻金融數(shù)據(jù))，也可以是日、周、月、季度、年以及甚至更大的時(shí)間單位。數(shù)據(jù)分析解決方案提供商 New Relic 在其博客上介紹了為時(shí)間序列數(shù)據(jù)優(yōu)化 K-均值聚類(lèi)速度的方法。筆者對(duì)本文進(jìn)行了編譯介紹。

在 New Relic，我們每分鐘都會(huì)收集到 13.7 億個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。我們?yōu)槲覀兊目蛻?hù)收集、分析和展示的很大一部分?jǐn)?shù)據(jù)都是時(shí)間序列數(shù)據(jù)。為了創(chuàng)建應(yīng)用與其它實(shí)體(比如服務(wù)器和容器)之間的關(guān)系，以便打造 New Relic Radar 這樣的新型智能產(chǎn)品，我們正在不斷探索更快更有效的對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)分組的方法。鑒于我們所收集的數(shù)據(jù)的量是如此巨大，更快的聚類(lèi)時(shí)間至關(guān)重要。

加速 k-均值聚類(lèi)

k-均值聚類(lèi)是一種流行的分組數(shù)據(jù)的方法。k-均值方法的基本原理涉及到確定每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離并將它們分組成有意義的聚類(lèi)。我們通常使用平面上的二維數(shù)據(jù)來(lái)演示這個(gè)過(guò)程。以超過(guò)二維的方式聚類(lèi)當(dāng)然是可行的，但可視化這種數(shù)據(jù)的過(guò)程會(huì)變得更為復(fù)雜。比如，下圖給出了 k-均值聚類(lèi)在兩個(gè)任意維度上經(jīng)過(guò)幾次迭代的收斂情況：

不幸的是，這種方法并不能很好地用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，因?yàn)樗鼈兺ǔＪ请S時(shí)間變化的一維數(shù)據(jù)。但是，我們?nèi)匀豢梢允褂靡恍┎煌暮瘮?shù)來(lái)計(jì)算兩個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間的距離因子(distance factor)。在這些案例中，我們可以使用均方誤差(MSE)來(lái)探索不同的 k-均值實(shí)現(xiàn)。在測(cè)試這些實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中，我們注意到很多實(shí)現(xiàn)的表現(xiàn)水平都有嚴(yán)重的問(wèn)題，但我們?nèi)匀豢梢匝菔炯铀?k-均值聚類(lèi)的可能方法，在某些案例中甚至能實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)量級(jí)的速度提升。

這里我們將使用 Python 的 NumPy 軟件包。如果你決定上手跟著練習(xí)，你可以直接將這些代碼復(fù)制和粘貼到 Jupyter Notebook 中。讓我們從導(dǎo)入軟件包開(kāi)始吧，這是我們一直要用到的東西：

    import time
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline

在接下來(lái)的測(cè)試中，我們首先生成 10000 個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，每個(gè)數(shù)據(jù)的樣本長(zhǎng)度為 500。然后我們向隨機(jī)長(zhǎng)度的正弦波添加噪聲。盡管這一類(lèi)數(shù)據(jù)對(duì) k-均值聚類(lèi)方法而言并不理想，但它足以完成未優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)。

    n = 10000
    ts_len = 500
    phases = np.array(np.random.randint(0, 50, [n, 2]))
    pure = np.sin([np.linspace(-np.pi * x[0], -np.pi * x[1], ts_len) for x in phases])
    noise = np.array([np.random.normal(0, 1, ts_len) for x in range(n)])
    signals = pure * noise
    # Normalize everything between 0 and 1
    signals += np.abs(np.min(signals))
    signals /= np.max(signals)
    plt.plot(signals[0])

第一個(gè)實(shí)現(xiàn)

讓我們從最基本和最直接的實(shí)現(xiàn)開(kāi)始吧。euclid_dist 可以為距離函數(shù)實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡(jiǎn)單的 MSE 估計(jì)器，k_means 可以實(shí)現(xiàn)基本的 k-均值算法。我們從我們的初始數(shù)據(jù)集中選擇了 num_clust 隨機(jī)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為質(zhì)心(代表每個(gè)聚類(lèi)的中心)。在 num_iter 次迭代的過(guò)程中，我們會(huì)持續(xù)不斷地移動(dòng)質(zhì)心，同時(shí)最小化這些質(zhì)心與其它時(shí)間序列數(shù)據(jù)之間的距離。

    def euclid_dist(t1, t2):
            return np.sqrt(((t1-t2)**2).sum())
    def k_means(data, num_clust, num_iter):
       centroids = signals[np.random.randint(0, signals.shape[0], num_clust)]
       for n in range(num_iter):
           assignments={}
           for ind, i in enumerate(data):
               min_dist = float('inf')
               closest_clust = None
               for c_ind, j in enumerate(centroids):
                   dist = euclid_dist(i, j)
                   if dist < min_dist:
                      min_dist = dist
                      closest_clust = c_ind
               if closest_clust in assignments:
                   assignments[closest_clust].append(ind)
               else:
                   assignments[closest_clust]=[]
                   assignments[closest_clust].append(ind)
           for key in assignments:
               clust_sum = 0
               for k in assignments[key]:
                   clust_sum = clust_sum + data[k]
               centroids[key] = [m / len(assignments[key]) for m in clust_sum]
       return centroids

    t1 = time.time()
    centroids = k_means(signals, 100, 100)
    t2 = time.time()
    print("Took {} seconds".format(t2 - t1))
     
    Took 1138.8745470046997 seconds

聚類(lèi)這些數(shù)據(jù)用去了接近 20 分鐘。這不是很糟糕，但肯定算不上好。為了在下一個(gè)實(shí)現(xiàn)中達(dá)到更快的速度，我們決定去掉盡可能多的 for 循環(huán)。

向量化的實(shí)現(xiàn)

k-均值算法要求每個(gè)質(zhì)心和數(shù)據(jù)點(diǎn)都成對(duì)地進(jìn)行比較。這意味著在我們之前的迭代中，我們要將 100 個(gè)質(zhì)心和 10000 個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)分別進(jìn)行比較，也就是每次迭代都要進(jìn)行 100 萬(wàn)次比較。請(qǐng)記住每次比較都涉及到兩個(gè)包含 500 個(gè)樣本的集合。因?yàn)槲覀兊?100 次，那就是說(shuō)我們總共比較了 1 億次——對(duì)于單個(gè) CPU 而言算是相當(dāng)大的工作量了。盡管 Python 是一種還算高效的語(yǔ)言，但效率還趕不上用 C 語(yǔ)言寫(xiě)的指令。正是由于這個(gè)原因，NumPy 的大部分核心運(yùn)算都是用 C 語(yǔ)言寫(xiě)的，并且還進(jìn)行了向量化以最小化由循環(huán)帶來(lái)的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)。

我們來(lái)探索一下我們可以如何向量化我們的代碼，從而去掉盡可能多的循環(huán)。

首先，我們將代碼分成不同的功能模塊。這能讓我們更好地理解每個(gè)部分所負(fù)責(zé)的工作。接下來(lái)，我們修改 calc_centroids 步驟以便僅在質(zhì)心上迭代(而不是在每個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)上)。這樣，我們將所有時(shí)間序列數(shù)據(jù)和一個(gè)質(zhì)心傳遞給 euclid_dist。我們還可以預(yù)先分配 dist 矩陣，而不是將其當(dāng)成一個(gè)詞典進(jìn)行處理并隨時(shí)間擴(kuò)展它。NumPy 的 argmin 可以一次性比較每個(gè)向量對(duì)。

在 move_centroids 中，我們使用向量運(yùn)算去掉了另一個(gè) for 循環(huán)，而且我們只在獨(dú)特的質(zhì)心集上迭代。如果我們丟失了一個(gè)質(zhì)心，我們就通過(guò)從我們的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集中進(jìn)行隨機(jī)選擇來(lái)加入合適的數(shù)字(這在實(shí)際應(yīng)用的實(shí)踐中很罕見(jiàn))。

最后，我們添加一個(gè)提前停止(early stopping)來(lái)檢查 k_means——如果質(zhì)心不再更新，就停止迭代。

來(lái)看看代碼：

    def euclid_dist(t1, t2):
       return np.sqrt(((t1-t2)**2).sum(axis = 1))
    def calc_centroids(data, centroids):
       dist = np.zeros([data.shape[0], centroids.shape[0]])
       for idx, centroid in enumerate(centroids):
           dist[:, idx] = euclid_dist(centroid, data)
       return np.array(dist)
    def closest_centroids(data, centroids):
       dist = calc_centroids(data, centroids)
       return np.argmin(dist, axis = 1)
    def move_centroids(data, closest, centroids):
       k = centroids.shape[0]
       new_centroids = np.array([data[closest == c].mean(axis = 0) for c in np.unique(closest)])
       if k - new_centroids.shape[0] > 0:
          print("adding {} centroid(s)".format(k - new_centroids.shape[0]))
          additional_centroids = data[np.random.randint(0, data.shape[0], k - new_centroids.shape[0])]
          new_centroids = np.append(new_centroids, additional_centroids, axis = 0)
       return new_centroids
    def k_means(data, num_clust, num_iter):
       centroids = signals[np.random.randint(0, signals.shape[0], num_clust)]
       last_centroids = centroids
       for n in range(num_iter):
           closest = closest_centroids(data, centroids)
           centroids = move_centroids(data, closest, centroids)
           if not np.any(last_centroids != centroids):
              print("early finish!")
              break
           last_centroids = centroids
       return centroids

    t1 = time.time()
    centroids = k_means(signals, 100, 100)
    t2 = time.time()
    print("Took {} seconds".format(t2 - t1))

    adding 1 centroid(s)
    early finish!
    took 206.72993397712708 seconds

耗時(shí) 3.5 分鐘多一點(diǎn)。很不錯(cuò)!但我們還想完成得更快。

k-means++ 實(shí)現(xiàn)

我們的下一個(gè)實(shí)現(xiàn)使用了 k-means++ 算法。這個(gè)算法的目的是選擇更優(yōu)的初始質(zhì)心。讓我們看看這種優(yōu)化方法有沒(méi)有用……
    def init_centroids(data, num_clust):
       centroids = np.zeros([num_clust, data.shape[1]])
       centroids[0,:] = data[np.random.randint(0, data.shape[0], 1)]
       for i in range(1, num_clust):
           D2 = np.min([np.linalg.norm(data - c, axis = 1)**2 for c in centroids[0:i, :]], axis = 0)
           probs = D2/D2.sum()
           cumprobs = probs.cumsum()
           ind = np.where(cumprobs >= np.random.random())[0][0]
           centroids[i, :] = np.expand_dims(data[ind], axis = 0)
       return centroids
    def k_means(data, num_clust, num_iter):
       centroids = init_centroids(data, num_clust)
       last_centroids = centroids
       for n in range(num_iter):
           closest = closest_centroids(data, centroids)
           centroids = move_centroids(data, closest, centroids)
           if not np.any(last_centroids != centroids):
               print("Early finish!")
               break
           last_centroids = centroids
       return centroids

    t1 = time.time()
    centroids = k_means(signals, 100, 100)
    t2 = time.time()
    print("Took {} seconds".format(t2 - t1))

    early finish!
    took 180.91435194015503 seconds

相比于我們之前的迭代，加入 k-means++ 算法能得到稍微好一點(diǎn)的性能。但是，當(dāng)我們將其并行化之后，這種優(yōu)化方法才真正開(kāi)始帶來(lái)顯著回報(bào)。

并行實(shí)現(xiàn)

到目前為止，我們所有的實(shí)現(xiàn)都是單線程的，所以我們決定探索 k-means++ 算法的并行化部分。因?yàn)槲覀冊(cè)谑褂?Jupyter Notebook，所以我們選擇使用用于并行計(jì)算的 ipyparallel 來(lái)管理并行性(ipyparallel 地址：https://github.com/ipython/ipyparallel)。使用 ipyparallel，我們不必?fù)?dān)心整個(gè)服務(wù)器分叉，但我們需要解決一些特殊問(wèn)題。比如說(shuō)，我們必須指示我們的工作器節(jié)點(diǎn)加載 NumPy。

    import ipyparallel as ipp
    c = ipp.Client()
    v = c[:]
    v.use_cloudpickle()
    with v.sync_imports():
       import numpy as np

在這一個(gè)實(shí)現(xiàn)中，我們的重點(diǎn)放在并行化的兩個(gè)方面。首先，calc_centroids 有一個(gè)在每個(gè)質(zhì)心上迭代并將其與我們的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行比較的循環(huán)。我們使用了 map_sync 來(lái)將這些迭代中的每一個(gè)發(fā)送到我們的工作器。

接下來(lái)，我們并行化 k-means++ 質(zhì)心搜索中一個(gè)相似的循環(huán)。注意其中對(duì) v.push 的調(diào)用：因?yàn)槲覀兊?lambda 引用的數(shù)據(jù)，我們需要確保它在工作器節(jié)點(diǎn)上是可用的。我們通過(guò)調(diào)用 ipyparallel 的 push 方法來(lái)將該變量復(fù)制到工作器的全局范圍中，從而實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)。

看看代碼：

    def calc_centroids(data, centroids):
            return np.array(v.map_sync(lambda x: np.sqrt(((x - data)**2).sum(axis = 1)), centroids))
    def closest_centroids(points, centroids):
       dist = calc_centroids(points, centroids)
       return np.argmin(dist, axis=0)
    def init_centroids(data, num_clust):
       v.push(dict(data=data))
       centroids = np.zeros([num_clust, data.shape[1]])
       centroids[0,:] = data[np.random.randint(0, data.shape[0], 1)]
       for i in range(1, num_clust):
           D2 = np.min(v.map_sync(lambda c: np.linalg.norm(data - c, axis = 1)**2, centroids[0:i,:]), axis = 0)
           probs = D2/D2.sum()
           cumprobs = probs.cumsum()
           ind = np.where(cumprobs >= np.random.random())[0][0]
           centroids[i, :] = np.expand_dims(data[ind], axis = 0)
       return centroids

    t1 = time.time()
    centroids = k_means(signals, 100, 100)
    t2 = time.time()
    print("Took {} seconds".format(t2 - t1))

    adding 2 centroid(s)
    early finish!
    took 143.49819207191467 seconds

結(jié)果只有兩分鐘多一點(diǎn)，這是我們目前實(shí)現(xiàn)的最快速度!

接下來(lái)：更快!

在這些測(cè)試中，我們都只使用了中央處理器(CPU)。CPU 能提供方便的并行化，但我們認(rèn)為再多花點(diǎn)功夫，我們就可以使用圖形處理器(GPU)來(lái)實(shí)現(xiàn)聚類(lèi)，且速度將得到一個(gè)數(shù)量級(jí)的提升。我們也許可以使用 TensorFlow 來(lái)實(shí)現(xiàn)，這是一個(gè)用于數(shù)值計(jì)算和機(jī)器學(xué)習(xí)的開(kāi)源軟件。實(shí)際上，TensorFlow 已經(jīng)包含了 k-均值實(shí)現(xiàn)，但我們基本上肯定還是需要對(duì)其進(jìn)行調(diào)整才能將其用于時(shí)間序列聚類(lèi)。不管怎樣，我們都不會(huì)停下尋找更快更高效的聚類(lèi)算法的步伐，以幫助管理我們的用戶(hù)的數(shù)據(jù)。