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樣本統(tǒng)計(jì)量與總體的關(guān)系，抽樣分布的概念性質(zhì)
2017-07-23
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樣本統(tǒng)計(jì)量與總體的關(guān)系，抽樣分布的概念性質(zhì)

本文對(duì)抽樣分布的概念、無偏差和最小偏差等性質(zhì)，以及中心極限定理和樣本比例的抽樣分布進(jìn)行總結(jié)。

1  抽樣分布基本概念

參數(shù)（parameter）：參數(shù)是對(duì)總體的數(shù)值描述，因?yàn)槭强傮w，所以值經(jīng)常是未知的。
樣本統(tǒng)計(jì)量（sample statistics）：樣本的數(shù)值描述，利用樣本計(jì)算而來。

常見的參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量如下表所示。


抽樣分布(sampling distribution):統(tǒng)計(jì)量的概率分布，根據(jù)n個(gè)測(cè)量值的樣本計(jì)算得到。

2 抽樣分布的性質(zhì)

性質(zhì)一：無偏性

無偏估計(jì)（unbisaed estimate)：樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布均值和要估計(jì)的總體參數(shù)相等，就認(rèn)為這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是參數(shù)的無偏估計(jì)。
有偏估計(jì)（biased estimate）：抽樣分布的均值和要顧及的參數(shù)不相等，就認(rèn)為這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是參數(shù)的有偏估計(jì)。

性質(zhì)二：最小方差

如果兩組統(tǒng)計(jì)量的抽樣分部都無偏，我們更加傾向選擇標(biāo)注差最小的，抽樣分部的標(biāo)準(zhǔn)差也被成為統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error of the statistic）。

3 樣本均值的抽樣分布和中心極限定理

3.1xˉ的抽樣分部的性質(zhì)：

xˉ的抽樣分布的性質(zhì)：
1.抽樣分部的均值等于抽樣總體的均值，
2.抽樣分部的標(biāo)準(zhǔn)差等于：
（標(biāo)準(zhǔn)差σxˉ一般被稱為均值的標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error of the mean）。
3.正態(tài)分布的抽樣分布：如果從一個(gè)服從正態(tài)分布的總體中選取一個(gè)有n個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本，那么xˉ的抽樣分布也是一個(gè)正態(tài)分布。

3.2 中心極限定理

從一個(gè)均值為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的總體中選取一個(gè)有n個(gè)觀測(cè)值的隨機(jī)樣本。那么當(dāng)n足夠大時(shí)，xˉ的抽樣分布將近似服從均值、標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布。并且樣本量越大，對(duì)xˉ的抽樣分布的正太近似越好。

4 樣本比例的抽樣分布

和樣本均值是總體均值的良好估計(jì)一樣，樣本比例（記為p^），是總體比例p的良好估計(jì)。和樣本均值的抽樣分布有著類似的性質(zhì)。

p^的抽樣分布性質(zhì)：
1. 抽樣分布的均值等于二項(xiàng)比例p，也就是。因此，p^是p的無偏估計(jì)。
2. 抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差等于
對(duì)于大樣本，抽樣分布近似于正太。



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